Дифференциальные формы в физике

[Munin]

За "другого Бёрке" +1
(Бёрке тот же самый, книжка другая)

[Ascold]

По поводу Шутца - книжка в плане понятности(по моему мнению провинциального радиофизика) написана неровно: сами многообразия, векторные поля, базисы, тензоры, производные Ли введены там хорошо, а вот группы, идеалы и интегрирование диф. форм - не осилил я по этой книжке, так что беру на заметку упомянутую в теме литературу.
Если автора темы напрягают более простые вещи из тензоров(типа символ Леви-Чивиты - это тензор или нет, или как можно ввести наглядные ко- и контрвариантные координаты в обычном евклидовом пространстве), то есть весьма ясная книга Коренева "Тензорное исчисление". Она на ту же тему и в том же стиле, что тензоры в ЛЛ2, но написана гораздо подробнее.

[misha.physics]

Спасибо всем за советы. Думаю мне надо обьяснить какая у меня ситуация. А то я начал спрашивать о том что такое дифференциальная форма, потом о сопряженном пространстве и т.д. и складывается впечатление что я сам не знаю чего хочу. Я понимаю что я не могу заполнить все свои пробелы на форуме, это меня только запутывает, для этого нужно только читать книги соответствующего уровня.
История такова, моя дипломная работа по сути состоит в ОТО, по предварительным данным о решении уравнения Ейнштейна-Гильберта в окрестности черной дыри (но это жестко не закреплено, но направление такое). Мой научный руководитель сказал мне что нужен математический аппарат - дифференциальная геометрия, как я узнал позже, на этом форуме - риманова геометрия. И я решил начать с фундаментальной книги МТУ (думаю это потому что мне присущий максимализм, хочется начинать все сначала и постепенно), увидел что там дается этот аппарат, я начал читать и дошел до места где вводятся дифференциальные формы (до этого места трудностей не возникало, а теперь стало практичесски все непонятно), понял что там мне с ними трудно, а они нужны. Сейчас вы посоветовали мне много книг по этому предмету, а я ещё не определился что мне читать.
Munin, спасибо за програму. Я вчера начал читать Уиллера, дошел до синхронизации часов, до жесткой решетки в углах которой мы разместили часы, и тут мне стало скучно и я прервался (может зря, но я подумал что там нету дифформ, то что мне нужно чтобы продолжить читать МТУ, а о основах СТО я читал перед этим в Иродове, а поскольку время уходит я подумал что это для меня сейчас роскошь. Время обучения не безгранично).
Относительно моего уровня: все что я знаю о матанализе, линейной алгебре, тензорах это в основном книги "Курса высшей математики и математической физики" Ильина, Позняка, Будака, Фомина... Книги типа Зорича, Дубровина-Новикова-Фоменка принимаються намного тяжелее, и я их не читал (не по зубам они мне). Ландау-Лифшиц для меня слишком энциклопедичесский, тяжело резко перейти на такой стиль изложения. До её чтения нужно знать то чего я не знаю. Легче читаются более разжеванные книги, наверное это связано с моим мышлением, и поиском аналогий (думаю это оправдано тем что я физик а не математик). Например, когда в линейной алгебре на втором курсе нам рассказывали о линейных операторах, им сопряженных, о их собственных значениях я не знал для чего это все нужно, и в следствие не читал о них дополнительно. Вообще это кажется методологической проблемой в преподавание математики физикам, ведь когда слушаеш лекцию по физике то хоть понимаеш что ми хотим сделать (иногда), а когда это все держится на математике которая раньше не мотивировалась приходится заниматся самообучением. И при всем этом я хочу заниматься физикой, и хочу учится. И то что я на 5 курсе не знаю того что должен знать меня угнетает.
Вот сейчас присмотрелся к книгам Коренева (которую мне посоветовали) и Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ".
Извините что так много напечатал, хотел высказаться, а этот форум меня мотивировал задолго до моей регистрации здесь. Поэтому не хочу вас мучить, а то сейчас так получается что я вас спрашиваю: обьясните все :) Буду методом проб и ошибок подбирать материал моего уровня, и если возникнут конкретные тематичесские вопросы буду задавать.

[amon]

misha.physics,
В свете вышеизложенного - читайте Рашевского. IMHO, он Вам лучше всего подойдет.

[Munin]

За Тейлора-Уилера извините. Сам не пойму, зачем я его упомянул. Конечно, он полезен для понимания СТО, но в данной задаче не нужен.

Думаю, вам надо взять Ландау-Лифшица-2 и прочитать вот эти параграфы: § 6 (включая задачи!) и §§ 82-87. Надеюсь, электромагнитное поле в СТО вы знаете.

Альтернативно (или параллельно)
Бёрке. Пространство-время, геометрия, космология.
главы 2 и 3.

Между прочим, перечисленные вещи есть даже в старом-добром Ильине-Позняке (!) в параграфах "мелким шрифтом":

Линейная алгебра. § 7.5 Полилинейные формы. и глава 8 Тензоры.
Основы математического анализа. Часть 2. Глава 7, дополнение: Дифференциальные формы в евклидовом пространстве.

misha.physics в сообщении #1201664 писал(а):

Например, когда в линейной алгебре на втором курсе нам рассказывали о линейных операторах, им сопряженных, о их собственных значениях я не знал для чего это все нужно, и в следствие не читал о них дополнительно.

Это повод вернуться и бегло перечитать материал. Разумеется, это всё крайне важно. Но например, в курсе квантовой механики обычно всё это повторяют :-)

misha.physics в сообщении #1201664 писал(а):

Вообще это кажется методологической проблемой в преподавание математики физикам

Да, и хорошо известной, увы :-(

misha.physics в сообщении #1201664 писал(а):

Вот сейчас присмотрелся к книгам Коренева (которую мне посоветовали) и Рашевского "Риманова геометрия и тензорный анализ".

Рашевский тоже известная рекомендация. Хотя я как-то по Ландау нахватался, и Рашевский был мне уже неинтересен.

misha.physics в сообщении #1201664 писал(а):

Ландау-Лифшиц для меня слишком энциклопедичесский, тяжело резко перейти на такой стиль изложения.

А вот кстати, тренируйтесь читать Ландау! Это хороший образец того, что должен уметь читать физик. Заодно, он приучает читать с умом, с работой: не взахлёб, как детектив, а с ручкой и бумажкой, повторяя за автором выкладки, и разбираясь в намёках и отсылках.

[Red_Herring]

misha.physics в сообщении #1201664 писал(а):

Например, когда в линейной алгебре на втором курсе нам рассказывали о линейных операторах, им сопряженных, о их собственных значениях я не знал для чего это все нужно, и в следствие не читал о них дополнительно. Вообще это кажется методологической проблемой в преподавание математики физикам, ведь когда слушаеш лекцию по физике то хоть понимаеш что ми хотим сделать (иногда), а когда это все держится на математике которая раньше не мотивировалась приходится заниматся самообучением.

Это не только физикам. Мотивировки, в первую очередь из физики, очень полезны, даже когда курс читается математикам. Причём надо разнообразные мотивировки. Интерес к тем же собственным значениям и функциям операторов появился до квантовой механики, (с.з. = квадраты частот). Например, в книге Лорда Рейли "Теория Звука" появившейся впервые в конце 19го века, они систематически упоминаются ; а есть еще колебания струн, мембран, пластин--всё изучалось в 19ом веке. Пластины Хладни без с. функций не объяснишь –– и объяснение было дано Софией Жермайн в начале 19го века.

[maximav]

Пять копеек для ТС. Вас мучает один очень хороший и очень правильный вопрос. Что такое, зачем и откуда сопряженноп пр-во. Пока вы не сообразите ответ понимания не будет. Выбросьте сейчас из головы название функционал и удары колокола из МТУ. Это только мозг сбивает с толку. Здесь про векторы-ковекторы очень много писали, ищите. Для начала возьмите любую пару привычных вам векторов и посчитайте угол между ними по привычной вам формуле. Потом поменяйте как-нибудь систему координат и сделайте тоже самое. Вас ждет сюрприз. Он и будет разгадкой на вопросы выше. Там далее вам объяснят или прочтете где здесь. Без этого начала не проскочите. После разгадки вам по-прежнему НЕ потребуется знать про функционал и дурацкие удары колокола. Но вы прекрасно и навечно поймете почему у одних индексы вверху, а у других внизу. Остальное - дело техники и набивания руки. Чтобы вам тут про "любимые математиками" функционалы не писали, смело пропускайте. Даже если засомневаетесь в этой крамоле я вам ее могу повторить. Названия и определения ничего никогда никому не объясняли. Не изменяйте этому незыблемому правилу, как бы математики вам не внушали "по определению".

[Xaositect]

maximav в сообщении #1201863 писал(а):

Здесь про векторы-ковекторы очень много писали, ищите.

Несколько тем:
topic73341.html
topic63670.html
topic62438.html

[Red_Herring]

Xaositect в сообщении #1201869 писал(а):

Выбросьте сейчас из головы название функционал и удары колокола из МТУ. Это только мозг сбивает с толку. Здесь про векторы-ковекторы очень много писали, ищите. Для начала возьмите любую пару привычных вам векторов и посчитайте угол между ними по привычной вам формуле.

Поначалу действительно можно выбросить термин "функционал". Но вот углы считать не надо, потому что для нахождения угла требуется найти не только скалярное произведение, но и длины векторов. Но существуют задачи, упоминавшиеся выше, в которых надо считать только скалярное произведение.

Ну а когда появится понимание, что нужны векторы (как минимум) двух типов, и эти вектора "спариваются" между собой, а "спаривать" вектора одного и того же типа не комильфо (если в пространстве не скалярного произведения), тогда и слова "линейная форма" и/или "линейный функционал" не будут вызывать отторжения. И к этим словам придётся привыкнуть.

[Munin]

Слово "функционал", конечно, громкое и пугающее, но это всё убивается приставкой "линейный". После этого оказывается, что эти "линейные функционалы" не сложнее (и не страшнее) векторов.

[misha.physics]

maximav, спасибо. А проверять угол надо в косоугольной системе координат? Потому что в прямоугольной декартовой ответ очевиден: угол остается инвариантным. Я только что проверил для двух единичных векторов на плоскости. Хотя ничего другого я не ожидал. Но я пока не понял как это мне поможет понять для чего нужны индексы сверху и снизу. В ЛЛ2 они вводятся, как я понял, для того чтобы использовать нотацию Ейнштейна, а из-за того что у нас метрика псевдоэвклидова без величин типа $x_i=-x^i, i=1,2,3$ не обойтись.
Кстати, может то что нам нужны векторы двух сортов связано с тем, что в косоугольной системе координат у нас есть два естественных способа определить их координаты: опустить прямую перпендикулярно первой оси или паралельно другой оси?
Munin, я последовал вашему совету и начал знакомство с тензорами в ЛЛ2, пока возник такой вопрос (к всем):
Пусть у нас есть 4-тензор второго ранга $T=(T^{ik})$. Это обьект, компоненты которого преобразуються так как произведение компонент 4-вектора. То есть $T^{\prime ik}=f(T^{mn})}$, и $A^{\prime i}B^{\prime k}=f(A^mB^n)$, где $f$ - одна и та же характеристика. Если мы рассматриваем преобразования Лоренца, то фунция $f$ сводится к умножению старой координаты на $L^i_mL^k_n$, где $L^i_j$ - коеффициенты матрицы преобразований Лоренца. Теперь если положить $A^m=x, B^n=y$, то $A^{\prime i}B^{\prime k}=x^{\prime}y^{\prime}=x^{\prime}y$, и положить $T^{mn}=A^mB^n=xy$, то получается $T^{\prime ik}=x^{\prime}y$. То есть, можно ли создавать компоненты тензоров из компонент векторов: $T^{ik}=x^ix^k$. И всегда ли координаты тензора можно представить как произведение координат вектора?

А это ничего что я сейчас спрашиваю о вещах не связанных с заголовком темы?

[Munin]

misha.physics в сообщении #1201915 писал(а):

А проверять угол надо в косоугольной системе координат?

Да, конечно. (Например, в системе координат, в которой оси нормальны, но растянуты в разное число раз.)

misha.physics в сообщении #1201915 писал(а):

В ЛЛ2 они вводятся, как я понял, для того чтобы использовать нотацию Ейнштейна

Можно её использовать и для "одинаковых" индексов. Так часто поступают, если не хотят возиться с косоугольными с.к. (Например, так любил поступать Фейнман, и некоторые книги по КТП написаны в таком же стиле.) Обычно все индексы пишутся снизу, и просто должны быть либо по одному, либо по два.

misha.physics в сообщении #1201915 писал(а):

Кстати, может то что нам нужны векторы двух сортов связано с тем, что в косоугольной системе координат у нас есть два естественных способа определить их координаты: опустить прямую перпендикулярно первой оси или паралельно другой оси?

В опщем, да. Можно и так думать.

Но эта идея работает в том случае, если само пространство векторов у нас снабжено "структурой векторного произведения", и значит, самим понятием перпендикулярности. Если не снабжено - то у нас остаётся только один способ - и возникают новые сущности, ковекторы, которые воплощают "другой способ" без фактического рисования перпендикуляров.

-- 19.03.2017 23:38:17 --

misha.physics в сообщении #1201915 писал(а):

То есть, можно ли создавать компоненты тензоров из компонент векторов: $T^{ik}=x^ix^k$. И всегда ли координаты тензора можно представить как произведение координат вектора?

Да, можно.
Нет, не всегда.

Дело вот в чём. Такие произведения образуют базис в линейном пространстве этих тензоров. То есть, тензор всегда можно разложить в сумму таких произведений. Но - не обязательно - в одно такое произведение.

Приведу примеры на языке матриц. Если у нас матрица раскладывается в произведение столбца на строку

$$\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}c_1&c_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_1 c_1&b_1 c_2\\b_2 c_1&b_2 c_2\end{pmatrix},$$

то между её компонентами имеются некие соотношения:

$$a_{11}a_{22}=a_{12}a_{21}\qquad(\textit{больше соотношений в многомерном случае}),$$

которые в общем случае не обязаны выполняться, если у нас компоненты матрицы произвольны. И например, матрица

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$$

не раскладывается в такое произведение, а только в сумму таких произведений:

$$\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}.$$

[Metford]

misha.physics
Меня тут пару дней не было, поэтому на Ваш прямой вопрос ко мне фактически ответили за меня. С того момента многое, как я погляжу, изменилось - на кое-что отреагирую.

1. Знакомство с дифференциальной геометрией нужно начинать с Рашевского - точка. Это красиво, понятно написанная математика, как раз подойдёт для физика. И ни в коем случае не начинать изучение символов Кристоффеля, например, как побочного продукта из ОТО.
2. "Хвосты" из линейной алгебры придётся подобрать. И чем скорее, тем лучше. Я всегда пропагандирую книгу Ефимова и Розендорна "Линейная алгебра и многомерная геометрия". А чтобы разобраться с сопряжённым пространством прежде всего нужно перестать смотреть в этом контексте на линейные функции как на нечто, "куда нужно подставлять буковку $x$". В сопряжённом пространстве сам функционал - это элемент пространства. Чтобы проникнуться этим определением, самое хорошее - разбираясь с теоремами пытаться по возможности иллюстрировать их конкретными примерами. Это всегда не вредно, а тут - особенно полезно. Боюсь ошибиться, но по-моему в задачнике Проскурякова по линейной алгебре можно найти задачи по этой теме.
3.

misha.physics в сообщении #1201915 писал(а):

Но я пока не понял как это мне поможет понять для чего нужны индексы сверху и снизу.

Могу подбросить ещё более формальную причину. С величинами, у которых индекс только верхний или только нижний, нельзя составить величин, которые не меняются при переходе из одной системы координат в другую. То, что такие величины есть - факт. Значит, должны быть величины двух типов, преобразующихся "противоположным образом". Их нужно как-то различить. Вообще, классический пример - это сравнить преобразование градиента скалярной величины и обычного радиус-вектора. Его ещё при изучении механики приводят.
4.

misha.physics в сообщении #1201915 писал(а):

То есть, можно ли создавать компоненты тензоров из компонент векторов: $T^{ik}=x^ix^k$.

Можно. Получается тензор, у которого валентность равна сумме валентностей тензоров-сомножителей. Кстати, можете тензор, который Вы сами привели в пример, выписать явно и полюбоваться на него. А потом найти в ЛЛ-2 тензор квадрупольного момента, тоже выписать его - и ответ на второй вопрос станет ну совсем очевиден.
А вот подробности - как раз в линейной алгебре. Или в книге Ефимова, которую я давеча Вам советовал.

[misha.physics]

Metford, спасибо вам, что вы вернулись к этой теме. Завтра же без оговорок начну читать Рашевского из самого начала. Книгу Ефимова и Розендорна "Линейная алгебра и многомерная геометрия" знаю. Отличная книга. Когда-то начал читать и она мне очень понравилась, жаль что я не прочитал её тогда до конца, надо будет обязательно вернуться.
Сегодня, слушая скучную пару, у меня возникла идея относительно линейных форм.
Пусть у нас есть линейное векторное пространство $V$, в котором живут елементы (векторы): $x, y, z,...$. Выберем базис $\vec{e}_i$, тогда $x=x^1\vec{e}_1+...+x^n\vec{e}_n$. При переходе к новой с.к. $x^{i \prime}=T^i_kx^k$, где $T$ - матрица перехода от нового базиса (штрихованого) к старому. Отсюда видно что мы не можем из координат векторов образовать скалярный инваринт. А вот если мы каждому вектору линейного пространства поставим за-каким то правилом (за каким ещё не знаю) обьект $a$, так что $a$ действует (не знаю почему именно так) на $x$: $a(x)=\sum x^ia_i$, где $a_i$ это $a(\vec{e}_i)$ то числа $a_i$ можно рассматривать как компоненты некоторого обьекта (похоже это и есть ковектор, и та же линейная форма, и тот же функционал). И эти обьекты образуют некоторое линейное пространство (сопряженное даному). И если мы теперь докажем что при переходе в штрихованую систему $a_{i \prime}=S^k_ia_k$, где $S$ - матрица обратная $T$ то мы получим что $x^ia_i=x^{i \prime}a_{i \prime}=inv$. То есть теперь мы можем образовать инвариант, а это важно, может это и есть одна из причин рассматривать сопряженное пространство и его ковекторы. Здесь есть много пробелов, например, я ещё не понял как обьект $a$ действует на базисные векторы, но думаю лучше я буду читать об этом в книге, так будет систематичнее и полезнне. Но есть сейчас то, что сбивает меня с толку. В учебниках говорят что линейная форма $a$ это функция: $a(x)=\sum x^ia_i$, но так получается что $a$ это число и он не может образовать n-мерное линейное пространство. Я понимаю что $a=(a_1,...a_n)$, но как быть с предыдущей равностю $a(x)=suma=scalar$. Или это какая-то символичесская равность? Похоже определяют и билинейные формы и... и это запутывает.

[Metford]

misha.physics в сообщении #1202263 писал(а):

А вот если мы каждому вектору линейного пространства поставим за-каким то правилом (за каким ещё не знаю) обьект $a$, так что $a$ действует (не знаю почему именно так) на $x$: $a(x)=\sum x^ia_i$, где $a_i$ это $a(\vec{e}_i)$ то числа $a_i$ можно рассматривать как компоненты некоторого обьекта (похоже это и есть ковектор, и та же линейная форма, и тот же функционал). И эти обьекты образуют некоторое линейное пространство (сопряженное даному). И если мы теперь докажем что при переходе в штрихованую систему $a_{i \prime}=S^k_ia_k$, где $S$ - матрица обратная $T$ то мы получим что $x^ia_i=x^{i \prime}a_{i \prime}=inv$. То есть теперь мы можем образовать инвариант, а это важно, может это и есть одна из причин рассматривать сопряженное пространство и его ковекторы.

Собственно, именно это я говорил с самого начала и в последнем своём сообщении. Начинает что-то складываться, это хорошо

misha.physics в сообщении #1202263 писал(а):

В учебниках говорят что линейная форма $a$ это функция: $a(x)=\sum x^ia_i$, но так получается что $a$ это число и он не может образовать n-мерное линейное пространство.

А Вы не путайте понятие линейной формы с её значением на конкретном векторе. Форма - это такой чёрный ящик условный, в который Вы можете запихнуть вектор, а он выдаст число. Но дело-то в том, что число будет существенно зависеть от того, какой вектор в этот ящик запихнуть. Кроме того, вот опять же: не привязывайтесь к этому вектору, который форма переводит в число. Вы лучше подумайте о том, как эту самую форму задать, чтобы явно было видно, что множество всех линейных форм образует линейное пространство?
Элемент всякого линейного пространства можно разложить по выбранному базису. Т.е. в случае пространства линейных форм речь идёт о выборе некоторого количества линейных функций. Тогда все остальные функции получатся в виде линейных комбинаций этих выбранных. Если говорить в более привычном Вам контексте вектора, на который форма действует, то выглядит это так:

$$(\alpha_1 f^1+...+\alpha_n f^n)(x)=\alpha_1 f^1(x)+...+\alpha_n f^n(x).$$

Сравните с определением линейной функции и почувствуйте разницу. Здесь не аргумент раскладывается по базису векторов, а функция раскладывается по базису функций. А вот дальше уже можно разложить вектор $x$ по базису в его пространстве - и тогда встанет вопрос: как действуют базисные формы на базисные векторы. В принципе, это вопрос определения, но удобно ввести базисные формы так, чтобы при действии на вектор они выделяли его соответствующую компоненту:

$$f^k(x)=f^k(x^ie_i)=x^i\cdot f^k(e_i)==x^i\cdot\delta^k_i=x^k.$$

Вот там, где я двойное равно поставил, фактически и заложено то самое специальное определение базисных форм - получается базис, дуальный к базису $\{e_i\}$. А когда базисные формы заданы, то любую форму можно задать её коэффициентами разложения по этим базисным формам. Записываете их в строку, получаете Ваш ковектор. И явно видно, что получился элемент $n$-мерного пространства.

P.S. Чувствую, наверное, не очень ясно мысль выразил. Если что - спрашивайте, уточняйте. Разберёмся...