Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[PAV]

ASFK писал(а):

Состояние ящика в исходной задаче (Литллвуда) мы тоже не определяем в полдень (в условии) - мы его находим и доказываем, что он пустой

Это не так. Мы явно определяем состояние в полдень каждого из имеющихся шаров - они все не в ящике. Тем самым определено и состояние ящика, поскольку это состояние - это набор индикаторов того, лежит ли в ящике конкретный шар или нет.

Еще раз почитайте мое пояснение к исходной задаче. В ней мы определили индикаторную функцию конкретного шара, причем определили ее во все моменты времени. Количество шаров в ящике есть бесконечная сумма таких функций, поэтому оно также определено во все моменты времени.

[ASFK]

TOTAL писал(а):

ASFK писал(а):

В нашей же задаче, повторяю, шар будет существовать в полдень, так как он наступит. И он должен быть покрашен в какой-то цвет.

Объясняю, хотя уже много раз Вам объясняли. Если Вы хотите сделать свою задачу аналогичной исходной, то из условия Вашей задачи должно следовать что вся краска должна быть удалена с шара до полудня. У Вас этого в условии нет. Если вставите это в условие, то шар окажется неокрашенным в полдень.

А если не удалена? А именно то, что сказал я, что каждый новый слой краски накладывается на предыдущий (можно считать, что толщина каждого нового слоя убывает с каждым шагом в два раза, чтобы размер шара не рос до бесконечности). Может ли увидеть налюдатель, что шар в полдень окрашен в чёрный цвет? Нет, не может, так как каждый молекула чёрных чернил будет навсегда погребён под другими слоями краски. Так или не так? Если не так, то скажите, чем это хуже, чем рассуждение о том, что каждый шар будет вынут в полдень (в исходной задаче). Если так - то да, шар не может быть покрашен в чёрный цвет, точно так же не может быть покрашен и в белый цвет. А что же увидит в полдень наблюдатель, смотрящий на шар?

[TOTAL]

ASFK писал(а):

А если не удалена? А именно то, что сказал я

Согласны, что если не удалена, то это другая задача?

Если же краску не удалять, то состояние в полдень просто не определено. И не может быть определено из имеющихся данных, данных не хватает. Поэтому ничему не противоречит утверждение, что в полдень наблюдатель, смотрящий в ящик, увидит не шар белого или черного цвета, а оранжевый футбольный мяч.

[PAV]

ASFK, Вы согласны с рассуждением, которое использует индикаторные функции?

Добавлено спустя 19 минут 32 секунды:

В том случае, когда каждый слой краски стирается с шара перед нанесением предыдущего, задача в точности эквивалентна исходной. Шар может находиться в состоянии "неокрашено" (что соответствует пустоте ящика в исходной задаче), и именно в этом состоянии он и будет находиться в полдень.

Если же слои краски накладываются один на другой, то ситуация такова. Во все моменты времени до полудня на шар нанесено конечное число слоев краски. Каждый слой имеет порядковый номер и в данном конечном подмножестве натуральных чисел существует максимальный элемент. Он и определяет внешний (последний) слой. В полдень же на шар оказывается нанесено бесконечное число слоев краски. Порядковые номера этих слоев - это все натуральные числа, среди которых максимального нет. Поэтому понятие "последний слой" не определено и, соответственно, не определен цвет шара.

[TOTAL]

На идее с красками получается даже интереснее парадокс, чем у Литллвуда. Его так можно переделать. За $1/n$ минуты до полудня в ящик запрыгивает шар с номером $n$ и съедает находящийся там шар с номером $n-1$. Будет ли в ящике в полдень шар? С одной стороны, все шары съедены, но с другой стороны, кто их съел?

[Профессор Снэйп]

Илья Муромец бьётся со Змеем Горынычем. Вместо каждой срубленной головы у Змея вырастает 10 новых. Успеет ли он победить супостата к обеду?

Да, успеет, если правильно определит, в каком порядке головы рубить

[PAV]

Профессор Снэйп,

[ZVS]

Профессор Снэйп писал(а):

Илья Муромец бьётся со Змеем Горынычем. Вместо каждой срубленной головы у Змея вырастает 10 новых. Успеет ли он победить супостата к обеду?

Да, успеет, если правильно определит, в каком порядке головы рубить

И ведь никто профессора не поправит!
Строго говорить следует так:рассмотрим математическую модель Ильи Муромца, бьющегося с моделью Змея Горыныча.. Сразу видно "где собака порылась" ежели что не так..

[TOTAL]

ZVS писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Илья Муромец бьётся со Змеем Горынычем. Вместо каждой срубленной головы у Змея вырастает 10 новых. Успеет ли он победить супостата к обеду?

Да, успеет, если правильно определит, в каком порядке головы рубить

Строго говорить следует так:рассмотрим математическую модель Ильи Муромца, бьющегося с моделью Змея Горыныча..

Мне тоже не всё понятно. Какова роль Змея Горыныча в этой битве? Только головы подставлять? Или он ведёт себя более активно? Например, может он Илье Муромцу откусить руку, которой тот мечём размахивает? Если да, то вырастают ли на месте откушенной руки 10 новых? Судя по ответам к предыдущим парадоксам ни Змей, ни Илья в обед не смогут быть наблюдаемы во чистом поле. Точнее сказать, у Змея будут отрублены все головы, а у Ильи откушены все руки. Так что Илья еще с чьей-нибудь помощью пообедать сможет, а бедный Змей останется голодным.

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Какова роль Змея Горыныча в этой битве? Только головы подставлять? Или он ведёт себя более активно? Например, может он Илье Муромцу откусить руку, которой тот мечом размахивает?

Откусить --- это вряд ли. Попытаться, конечно, может. Но на то Илюша и сказочный богатырь, что не давать кому попало себе руки откусывать.

[PAV]

Часть обсуждения, отклоняющаяся от обсуждаемой задачи, отделена в самостоятельную тему.

[VAL]

Предлагаю вниманию обитателей форума еще одну вариацию на тему "Парадокс Литлвуда"

Цитата:

─ ~PUZZLE.ARCHIVE (2:5055/137.37) ──────
Msg : 3059 of 3696
From : Oleg Polubasoff 2:5020/400 22 May 02 21:36:12
To : All 23 May 02 07:42:36
Subj : [мат. - **] - Дело о похищении шаров
────────────────────────────────
From: "Oleg Polubasoff" <[e-mail]>

Hi All!

- Встать, Суд идет, - взвизгнул бейлиф, и все поднялись со своих мест.
Судья Бланк Сет вышел из своего кабинета, поднялся на возвышение,
поправил на носу очки и внимательно осмотрел переполненный зал заседаний.
Бейлиф проговорил стандартную фразу, которой начинались все судебные
процессы.
В ту самую минуту, когда молоток судьи опустился со стуком на стол, в
противоположном конце зала отворилась дверь, и полицейские ввели Ассистента.
Через другую дверь ввели Математика.
Оба они содержались в тюрьме: Ассистент в качестве основного свидетеля,
а Математик - как обвиняемый в похищении в особо крупном размере. Сейчас они
впервые увиделись после ареста.
Шепелявый голос судьи попытался нарушить напряженную тишину в зале:
- Слушается дело Фифтифьючечной Шариковой, Ящечной и Коробочной
компании против Математика.
- Обвинитель готов, - прогремел Прокурор.
- Защитник готов, - заявил Адвокат.
- Прошу начинать.

- Ваша Честь, первым свидетелем со стороны обвинения вызывается
гражданин Завсклад, он же Кладовщик, он же Товаровед.
- С удовольствием послушаем гражданина Завсклада.

- Hи виноватый я нифчом! Эти тураки...
- Пожалуйста, будьте корректнее!
- Эти туниятсы..
- Корректнее!
- Кароче эти... учоные вобщим пиришли ка мине на склад и визяли тама
ясчик каропку и эти ну ни нузжные никаму а вот шары минога-минога визяли.
- Сколько?
- Минога-минога визяли а ничыво ни отыдали.

Математик был приведен к присяге и занял свидетельское кресло.
Он показал:
- Ваша Честь, мы проводили безобидной научный эксперимент, имеющий
важное значение. Ассистент подавал мне шары, я вкладывал их в ящик, а
вынутые шары отдавал ассистенту.
- Что Вы делали за минуту до полудня?! От вопля прокурора снеслись даже
небеременные дамы. Hо математик спокойно ответил.
- За одну минуту до полудня я получил от Ассистента 10 шаров с номерами
от 1 до 10 и положил их в ящик. Затем вынул шар с номером 1 и отдал его
ассистенту.
За 1/2 минуты до полудня я получил от Ассистента 10 шаров с номерами от
11 до 20 и положил их в ящик. Затем вынул шар с номером 2 и отдал его
ассистенту.
За 1/3 минуты до полудня я получил от Ассистента 10 шаров с номерами от
21 до 30 и положил их в ящик. Затем вынул шар с номером 3 и отдал его
ассистенту.
[...]
- Так Вы поступали и в дальнейшем?
- Да, Ваша Честь, вплоть до полудня ничто не могло заставить меня
отступить от намеченного эксперимента!
- Сколько шаров осталось в ящике, когда вы закончили?
- Hи одного, Ваша Честь!
- У Вас есть вопросы, господин защитник?
- Hи одного, Ваша Честь! У меня есть доказательства!
- Вот как? Тогда огласите их.
- Какое бы число Вы ни назвали, Ваша Честь, например 106, оно
отсутствует в ящике, так как было вынуто при 106-й операции. Отсюда
неопровержимо следует, что шаров в ящике у Математика не осталось.

- Убедительно. Hо кто же тогда виноват?
- Ассистент!
- Хм. Hу что ж, теперь послушаем Ассистента.

Весь дрожащий Ассистент был надлежащим образом приведен к присяге и,
наконец, занял свидетельское кресло.
- Я получил от Завсклада один пустой ящик и одну коробку с шарами. Ящик
я передал Математику.
- Сколько шаров было в коробке?
- Я был осведомлён о сути предстоящего эксперимента, поэтому взял только
те шары, номера которых не оканчиваются на 1, то есть всего взял счётное
количество и ещё взял один шар с номером 1.
- Вот-вот! Шшотное! Шшотное он визял!
- Завсклад! Уймитесь, или Вас выведут!
- Что Вы делали за минуту до полудня?
- Это... За одну минуту до полудня я передал Математику 10 шаров с
номерами от 1 до 10, а он отдал мне шар с номером 1. Я пририсовал справа 1,
получилось 11.
- За 1/2 минуты до полудня я передал Математику 10 шаров с номерами
от 11 до 20, а он отдал мне шар с номером 2. Я пририсовал справа 1,
получилось 21.
- За 1/3 минуты до полудня я передал Математику 10 шаров с номерами
от 21 до 30, а он отдал мне шар с номером 3. Я пририсовал справа 1,
получилось 31.
- Так Вы поступали и в дальнейшем?
- Дык, Ваша Честь, точно так же.
- Сколько же шаров осталось в коробке, когда вы закончили?
- Hи одного, Ваша Честь!
- Ваша Честь! У меня есть доказательства!
- Вы, наконец, сбрендили, господин прокурор? Какое облегчение.
- Какое бы число Вы ни назвали, Ваша Честь, например 106, оно
отсутствует у Ассистента, так как было передано Математику при [106/10] =
11-й операции, где [] означает округление вверх до ближайшего целого.

- Что ж. И Вы правы. Hо кто же тогда виноват?

Математик сорвался с места.
- Так это Ассистент всё испортил! Если бы он не экономил на исправлении
номеров, а сразу взял на складе больше шаров...
- Как, исчо больше?!!
- К порядку!
Задумчиво: так куда же делись шары?

- Я могу вам помочь!
- А кто Вы, простите?
- Займите свидетельское место.
- Я знаменитый писатель-фантаст Георг Кантор, случайно мимо проходил.
- Займите свидетельское место.
- Hе так-то легко опровергнуть любое неверное заключение, коль скоро к
нему пришли и оно получило достаточно широкое распространение, причём чем
менее оно понятно, тем более упорно его придерживаются.
- Спасибо, гражданин Кантор, Ваши ценные показания очень помогли Суду.
- В деле имеется письменное свидетельство гражданки К. Сопкиной, -
обратился Адвокат к Судье.
- Зачитайте его.
Секретарь зачитывает:

------------------- Hачало цитаты --------------------------------
From: Kate Sopkina 2:5030/844.8
Newsgroups: fido7.ru.math
Date: 2 февраля 2001 г. 13:26
Subject: шары
------------------------------------------------------------------

Hа дне глубокого сосуда
Лежат спокойно n шаров.
Поочередно их оттуда
Таскают двое дураков.
Сие занятье им приятно:
Они таскают t минут,
И взявши шар, его обратно
Они немедленно кладут.
Ввиду условия такого,
Сколь вероятность велика,
Что первый был глупей второго,
Когда шаров он вынул k?

Карина
-------------------- Конец цитаты --------------------------------


ВОПРОС: Кого следует признать виновным и к какому наказанию приговорить?

Олег Полубасов. СПб.

У меня есть вариант справедливого (на мой взгляд) наказания. А у вас?[/quote]

[Narn]

Кажется, так. Пусть $C$ - множество шаров, взятых Ассистентом, $A_k$ - множество шаров, находящихся в ящике на $k$-м шаге. И для $A_k$, и для $C \setminus A_k$ верхний предел есть $C$, а нижний - пустое множество. То есть результат эксперимента не определен. Все равно, как один шарик бросают туда-сюда и спрашивают, где он окажется в полдень. На этом мысли у меня заканчиваются

[VAL]

Narn в сообщении #134904 писал(а):

То есть результат эксперимента не определен. Все равно, как один шарик бросают туда-сюда и спрашивают, где он окажется в полдень. На этом мысли у меня заканчиваются Confused

Я тоже не в курсе, куда подевались шары.
Зато я знаю, какое назначить наказание.

[MaximKat]

Поделитесь