Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[Someone]

Macavity писал(а):

Существует более чем достаточно аксиоматик теории множеств и пока никто не доказал, какая из них самая главная.

Что значит - "главная"? Общепринятых - две (ZFC и GB). Они не эквивалентны, но разница невелика. При необходимости допускаются дополнительные аксиомы.

Macavity писал(а):

В том числе неоднократно осуществлялись попытки избавиться от бесконечностей, прийти к конструктивизму, интуицивизму и т.д. и т.п.

К теории множеств всё названное Вами имеет достаточно отдалённое отношение.

Macavity писал(а):

Сама по себе задача находится на грани фола, потому и возникают проблемы.

Элементарная задача по теории множеств, однозначно решаемая даже без формализации.

Macavity писал(а):

Someone писал(а):

Обсуждаемое построение как раз является примером такого бесконечного построения и, строго говоря, его нужно формализовать, чтобы никаких бесконечных рассуждений при этом не возникало.

Фактически здесь по индукции строится последовательность множеств $A_0,A_1,A_2,\ldots,A_k,\ldots$ следующим образом:
1) $A_0=\varnothing$;
2) $A_k=(A_{k-1}\cup\{10k-9,10k-8,\ldots,10k\})\setminus\{k\}$ при $k\geqslant 1$.
Задача же состоит в вычислении множества $A=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k$.

Формализуя рассуждение Вы как раз и пользуетесь предельным переходом, что видно уже из Вашей формальной записи, да ещё и на индукцию ссылаетесь...

Индукция - это не предельный переход, это способ записать в конечном виде высказывание, касающееся элементов бесконечного множества. В арифметике есть специальная аксиома индукции. В теории множеств аксиомы индукции нет, потому что она является теоремой. И вообще я не понимаю, где Вы тут предельный переход увидели. Если Вы об объединении или пересечении бесконечного набора множеств, то никакого предельного перехода тут совершенно точно нет.

Macavity писал(а):

Сами по себе понятия связанные с понятием бесконечности неоднозначны в математике. Например, в евклидовой геометрии говорить о бесконечно удаленной точке не принято, её как бы и нет, а в проективной геометрии она вводится и система окресностей для бесконечно удаленной точки имеет тот же вид, что для любой другой "бесконечно неудаленной".

Вы здесь что-то путаете. Это не неоднозначность. В евклидовой геометрии не принято говорить о бесконечно удалённой точке просто потому, что в евклидовой геометрии такой точки нет, и говорить не о чем. В проективной геометрии тоже нет никакой бесконечно удалённой точки.

Macavity писал(а):

по сути "бесконечность" в каждом из случаев имеет различный смысл.

Безусловно.

Добавлено спустя 57 минут 41 секунду:

AD писал(а):

Henrylee писал(а):

Разве "пустота" нижнего предела не проверяется непосредственно?

Конечно, проверяется. Только вот Someone предложил трактовку условия, в котором на него вообще внимания не обращается ... Ну ладно, проехали, действительно.

Замечание насчёт разницы между нижним и верхним пределом было бы существенным, если бы шары, вынутые из ящика, могли в него потом возвращаться. В данном же случае однажды вынутый шар вынут навсегда, поэтому верхний и нижний пределы совпадают.

P.S. Специально для некоторых (не AD и не Henrylee) хочу сказать, что термины "верхний предел" и "нижний предел" для последовательности множеств $\{A_n:n\in\mathbb N\}$ не означают никакого предельного перехода:
$\varlimsup A_n=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_n$ - множество тех элементов, которые принадлежат бесконечному семейству множеств $A_n$,
$\varliminf A_n=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}\bigcap\limits_{k=n}^{\infty}A_n$ - множество тех элементов, которые принадлежат всем множествам $A_n$, кроме конечного числа.

Добавлено спустя 16 минут 38 секунд:

Dan B-Yallay писал(а):

А что если не будем ложить десять шаров и вынимать один. Берем по десять из кучи, но в ящик ложим лишь 9, а номера 10,20,30 и т.д. кратные 10 - складывать возле, как будто они их только что вытащили из ящика .

Чтобы удовлетворять условиям задачи, наймем Чертика чтобы он на первом шаге

а) стер нолик у шара №10 возле ящика и превратил его в №1, затем
б) прыгнул внутрь ящика и сложенные шарики перенумеровал так, чтобы внутри были номера с 2 по 10.

На втором шаге соответственно стер нолик у шара №20 -->2 и выдал номера с 3 по 20 шарикам внутри. И вообще пусть он на каждом шаге следит за тем, чтобы чтобы нумерация шариков внутри и снаружи ящика была "правильной".

1) Сколько шариков будет в ящике по "истечении времени"?
2) Можно ли назвать хоть один номер "внутри" ящика?.

1) Бесконечное множество.
2) Нельзя.

Можно поступить ещё интереснее. Положим в ящик один шар и не будем его больше оттуда вынимать и никакие другие шары класть не будем.
На первом шаге напишем на шаре номер 1. На втором шаге этот номер сотрём и снова напишем номер 1. И вообще, на каждом шаге будем стирать написанную единицу и писать заново. Что будет написано на шаре по истечении бесконечной последовательности шагов?

Dan B-Yallay писал(а):

А еще интереснее если менять задачу не так радикально. Пусть мы складываем десять и вынимаем один как и положено. Просто в момент когда мы положили очередные десять шаров в урну, Чертик сидящий внутри мгновенно перенумеровал шарики в "обратном" порядке и мы, не зная этого, вынимаем не тот шар который нам нужен, а последний в только что положенной десятке. Будет ли такая постановка задачи парадоксом?

По-моему, такая постановка эквивалентна тому, что Вы написали выше.

[Dan B-Yallay]

Someone писал(а):

Dan B-Yallay писал(а):

1) Сколько шариков будет в ящике по "истечении времени"?
2) Можно ли назвать хоть один номер "внутри" ящика?.

1) Бесконечное множество.
2) Нельзя.

Можно поступить ещё интереснее. Положим в ящик один шар и не будем его больше оттуда вынимать и никакие другие шары класть не будем.
На первом шаге напишем на шаре номер 1. На втором шаге этот номер сотрём и снова напишем номер 1. И вообще, на каждом шаге будем стирать написанную единицу и писать заново. Что будет написано на шаре по истечении бесконечной последовательности шагов?

Dan B-Yallay писал(а):

А еще интереснее если менять задачу не так радикально. Пусть мы складываем десять и вынимаем один как и положено. Просто в момент когда мы положили очередные десять шаров в урну, Чертик сидящий внутри мгновенно перенумеровал шарики в "обратном" порядке и мы, не зная этого, вынимаем не тот шар который нам нужен, а последний в только что положенной десятке. Будет ли такая постановка задачи парадоксом?

По-моему, такая постановка эквивалентна тому, что Вы написали выше.

Вы правы, они эквивалентны. Являются ли они эквивалетными задаче в оригинальной формулировке и есть ли тут парадокс? Вот как она была поставлена Коровьевым:

Шары, занумерованные числами 1,2,... кладутся в безразмерный ящик следующим образом.
За одну минуту до полудня кладутся шары от 1 до 10, и шар 1 вынимается обратно.
За 1/2 минуты до полудня кладутся шары от 11 до 20, и шар 2 вынимаетсяобратно.
За 1/3 минуты до полудня кладутся шары от 21 до 30, и шар 3 вынимается обратно.
И т.д.
Сколько шаров останется в ящике в полдень?

Ведь наблюдатель-математик, который не знает ничего про чертика, будет доказывать, что в ящике после бесконечного числа шагов ничего нет, так как все пронумерованные шары находятся снаружи. И будет прав, как и многие высказавшиеся выше.
Для того же кто знает о чертике (или вообразил его - так же как мы воображаем бесконечное число действий до полудня), в ящике будет бесконечно много шаров у которых "нельзя определить номер". И еще бесконечно много пронумерованных подряд шаров, разбросанных вокруг ящика. Судя по Вашему ответу, он тоже будет прав.

То есть результат зависит от нашего воображения, или я по своей наивности чего-то упускаю?
......
PS Ваш пример с написанием и стиранием номера - это тот же что и про лампочку, которая горит полминуты, затем отключается на четверть минуты, затем опять горит 1/8 мин, и так далее. Будет ли лампочка гореть по истечении 1 минуты.

Мне кажется Литтлвудский пример и лампочка - родственные, но не идентичные парадоксы.

[Профессор Снэйп]

Пусть действие происходит по шагам. Шаги и шары нумеруются с нуля.

На шаге $t$ ангел засыпает в ящик 10 шаров с номерами от $10t$ до $10t+9$. После этого чёртик, сидящий в ящике, для каждого $n$, такого что шар с номером $n$ лежит в ящике, вычисляет натуральные числа $x_n$ и $y_n$, для которых

$$ n = \frac{(x_n+y_n)^2+3x_n+y_n}{2} $$

и выкидывает из ящика все шары с наименьшим значением $x_n$.

Сколько шаров останется в ящике после того, как процесс завершится?

[AD]

Dan B-Yallay писал(а):

Ведь наблюдатель-математик, который не знает ничего про чертика, будет доказывать, что ...

Dan B-Yallay писал(а):

Для того же кто знает о чертике (или вообразил его - так же как мы воображаем бесконечное число действий до полудня), ...

1. Разные постановки задачи - разные решения.
2. Попробуйте формализовать чертика.

[Someone]

Dan B-Yallay писал(а):

Вы правы, они эквивалентны. Являются ли они эквивалетными задаче в оригинальной формулировке

Нет, не являются.

Dan B-Yallay писал(а):

Ведь наблюдатель-математик, который не знает ничего про чертика, будет доказывать, что в ящике после бесконечного числа шагов ничего нет, так как все пронумерованные шары находятся снаружи. И будет прав, как и многие высказавшиеся выше.

Нет. В данном случае рассуждения будут ошибочными, поскольку они не соответствуют тому, что происходит на самом деле. Рассуждение идёт всё-таки о шарах, а не о номерах, а номера используются просто для идентификации шаров. Если Вы начинаете путать номера на шарах, то идентификация шаров разрушается, и рассуждения, основанные на номерах, перестают соответствовать происходящему с шарами.

[Pulsar!]

Господа, Вы тут спорите, строите разные умные гипотезы, пишете сложные формулы, не замечая ясных как день фактов: НЕ СУЩЕСТВУЕТ БЕСКОНЕЧНЫХ КОРОБОК. НЕ СУЩЕСТВУЕТ БЕСКОНЕЧНОГО КОЛИЧЕСТВА ШАРОВ. НИ НА КАКОМ ШАРЕ НЕ ПОЛУЧИТСЯ НАПИСАТЬ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШОЕ ЧИСЛО. НЕВОЗМОЖНО ПОМЕСТИТЬ И ВЫНУТЬ ИЗ УРНЫ ШАР ЗА БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ВРЕМЯ. Условия этой задачи не описывают реальный мир, ответ этой задачи не может быть числом, имеющим отношение к реальному миру.

с Уважением.

[AD]

Pulsar!, ну и что? А причем здесь вообще реальный мир? Реальный мир у нас в физическом разделе. Отлично мы всё это понимаем.

[Sinus]

PAV писал(а):

А вот вероятностная модель, которую предложила shwedka, приводит к красивой задаче, которую даже на олимпиадах давать можно. Итак, на каждом шаге у нас добавляется 10 очередных шаров, а один случайным образом извлекается. Поскольку число шаров в урне конечно, то извлекаем просто с равной вероятностью.

Пусть некоторый шар попал в урну на шаге $N$. Вероятность того, что его не извлекут на "первом" (относительно $N$) шаге, равна $1-\frac{1}{10N}$, на втором - $1-\frac{1}{10(N+1)}$ и так далее. Отсюда вероятность того, что его не извлекут никогда, равна произведению

$$ \prod\limits_{k=N}^\infty\left(1-\frac{1}{10k}\right) = 0. $$

Математическое ожидание количества шаров в полдень равно сумме по всем шарам таких вероятностей, т.е. ноль.

Получается, что даже если не нумеровать шары, в полдень все равно ничего не останется?

[TOTAL]

Sinus писал(а):

Получается, что даже если не нумеровать шары, в полдень все равно ничего не останется?

В этом примере шары фактически пронумерованы.
Важен не номер на шаре, а то, что все шары индивидуальны, отличаются друг от друга.

[PAV]

Sinus писал(а):

Получается, что даже если не нумеровать шары, в полдень все равно ничего не останется?

С вероятностью 1. Это не то же самое, что "обязательно".

[Pulsar!]

AD писал(а):

Pulsar!, ну и что? А причем здесь вообще реальный мир? Реальный мир у нас в физическом разделе. Отлично мы всё это понимаем.

Так и не надо просить о реальном ответе..

[AD]

Pulsar!

Цитата:

Так и не надо просить о реальном ответе..

+1.
Я и не прошу ...

[Dan B-Yallay]

Someone писал(а):

... рассуждения будут ошибочными, поскольку они не соответствуют тому, что происходит на самом деле. Рассуждение идёт всё-таки о шарах, а не о номерах, а номера используются просто для идентификации шаров. Если Вы начинаете путать номера на шарах, то идентификация шаров разрушается, и рассуждения, основанные на номерах, перестают соответствовать происходящему с шарами.

Понятно, я ошибочно думал, что нумерация и есть едиственный способ эти шары идентифицировать, и что по-другому их различить невозможно.

В связи с тем, что у людей уже сворачиваются уши в трубочку, хочу сказать сразу, что у меня нет проблем с ответом "ноль шаров в корзине в полдень". В конце концов если не заморачиваться, и на первом же шаге бухнуть ВСЕ шары в ящик и вынимать их оттуда подряд за 1/2 мин до полудня, за 1/3 и т.д. то на каждом шаге ящик будет содержать "больше" шаров чем в исходном варианте задачи. И потому в полдень в ящике должно быть по крайней мере "не меньше", чем если бы мы поэтапно ложили по 10 и вынимали по одному. В принципе, можно поменять формулировку так, чтобы на каждом шаге ложить в корзину бесконечно много шаров и вынимать один и все равно корзина в обед будет пустой.

У меня затруднения в следующем: допустим у нас есть бесконечная корзина со счетным количеством непронумерованных абсолютно идентичных шаров. Некто, пронумеровывает их "в уме" и начинает вытаскивать подряд по одному - в соответствии со своей нумерацией, опустошая корзину к обеду.
Окажется ли корзина пустой для стороннего наблюдателя, который перенумеровал шарики "в уме" в ином порядке? Очевидный ответ - ДА, если наблюдатель задал нумерацию в начале и придерживается ее в течение всего процесса.

Но как быть с тем, кто завел себе чертика в голове, постоянно меняет/сдвигает свою мысленную нумерацию и каждому вынутому шару дает неповторяющийся четный номер.

Чего-то я не улавливаю. Проблема с актуальной и потенциальной бесконечностями. Интуитивно понятно, что мысленная нумерация "на ходу" ни к чему хорошему не приводит, но вот почему? В конце концов сами то шарики и порядок их вынимания от этого не меняются?(Чую - пора опять зубрить матчасть, чортов склероз )

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

У меня затруднения в следующем: допустим у нас есть бесконечная корзина со счетным количеством непронумерованных абсолютно идентичных шаров. Некто, пронумеровывает их "в уме" и начинает вытаскивать подряд по одному - в соответствии со своей нумерацией, опустошая корзину к обеду.
Окажется ли корзина пустой для стороннего наблюдателя, который перенумеровал шарики "в уме" в ином порядке? Очевидный ответ - ДА, если наблюдатель задал нумерацию в начале и придерживается ее в течение всего процесса.

Но как быть с тем, кто завел себе чертика в голове, постоянно меняет/сдвигает свою мысленную нумерацию и каждому вынутому шару дает неповторяющийся четный номер.

Проблем не будет, если следить за действиями чёртика и помнить всю историю того, как он "перераспределял номера".

Вот похожая "проблема". Пусть числовая последовательность $\{ x_n \}$ сходится к $x$. Тогда для произвольной перестановки натурального ряда $f$ последовательность $\{ x_{f(n)} \}$ также сходится к $x$. Однако если $\{ f_t : t \in \mathbb{N} \}$ --- целое семейство различных перестановок натурального ряда, то последовательность $\{ x_{f_n(n)} \}$ может уже никуда не сходиться, или сходиться к чему-то, отличному от $x$. Как здесь можно увидеть что-то парадоксальное --- не понимаю.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Как здесь можно увидеть что-то парадоксальное --- не понимаю.

Затруднения =/= парадокс.

Задача свелась к следующему:

Вопрос: - Дано бесконечное счетное множество N. Из него вычли бесконечно много элементов. Что осталось?
Ответ: - Ну если вы все-все подряд элементы вытаскивали, тогда от N ничего не останется.
Вопрос: - А если мы как-то хитрили или вообще понятия не имеем, подряд или неподряд?
Ответ - А тогда хрен его знает.