Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[AD]

ljubarcev писал(а):

А почему Вы считаете последовательность сходящейся, если Вы на каждом шаге вкладываете больше чем вынимаете?

Десять раз уже отвечали.

ljubarcev писал(а):

Вот например: я всю жизнь работаю на государство (вкладываю в него шары), регулярно получая обратно в виде зарплаты шар обратно. Так что, Вы считаете, что в конце концов я разорю государство?.

Конечно. Если доживете до иссякания запасов шаров и не будете тратить свои.

[ASFK]

Так всё-таки, прочитав эту умную тему, я так и не узнал ответа на вопрос:
"В ящике всегда есть один шар, его никуда не вынимают и ничего не добавляют. За секунду до полудня на нём пишут число 1, за полсекунды до полудня - число 2, за четвертьсекунды - число 3 и т. д." Что будет написано на шаре в полдень?"
Если вы ответите, что эта задача менее корректно поставлена, чем исходная - я не поверю, она настолько же корректна: формально действие написания числа можно считать мгновенным (как и вынимание шаров, например), написания чисел происходят во вполне определённые моменты времени и т. п. В общем, если исходная корректна, то и эта столь же корректна.
Кто что может сказать?

[TOTAL]

ASFK писал(а):

Кто что может сказать?

Требуйте объяснений у Литллвуда. Он во всём виноват.

[ASFK]

TOTAL писал(а):

ASFK писал(а):

Кто что может сказать?

Требуйте объяснений у Литллвуда. Он во всём виноват.

Нет, ну я серьёзно, кстати
В исходной задаче я согласен с ответом 0 (и в ней можно хотя бы более менее обоснованно предлагать разные варианты), но в этой - вообще не вижу никакого ответа. Т. е. наверное можно было бы сказать, что задача некорректно поставлена или что-то подобное (и тогда избавиться от необходимости давать ответ) - но я не вижу, чем она боставлена более некорректно, чем исходная. На мой взгляд - с той же степенью корректности.

[PAV]

В такой постановке ответа нет. Условие просто не определяет состояние шара в полдень. Отличие от исходной см. в моем пояснении к исходной задаче. В ней судьба каждого шара точно определена во все моменты времени, в том числе и в полдень, что и позволяет ответить на вопрос. В Ваше же постановке это не так.

[ASFK]

PAV писал(а):

В такой постановке ответа нет. Условие просто не определяет состояние шара в полдень. Отличие от исходной см. в моем пояснении к исходной задаче. В ней судьба каждого шара точно определена во все моменты времени, в том числе и в полдень, что и позволяет ответить на вопрос. В Ваше же постановке это не так.

Всё не так просто. Считаем, подразумевается, что в задаче полностью оговорены все действия с шаром, т. е. в полдень с ним не производят никакого действия или в какие-то другие неоговорённые моменты. Так вот, в той задаче, которую я привёл в своём предыдущем посте, тоже можно рассуждать так.
Никакого конкретного числа в полдень быть записано не может, так как для каждого натурального числа существует момент времени, когда его сотрут навсегда. Других надписей на шаре не делают и каких-то других действий с ним тоже.
Т. е. вашими же словами, судьба каждой возможной надписи на шаре полностью определена во все моменты времени, в том числе и в полдень - а именно, она будет стёрта. Значит, на шаре ничего не будет записано. Чем это отличается от решения с шарами?

[Профессор Снэйп]

ASFK писал(а):

...судьба каждой возможной надписи на шаре полностью определена во все моменты времени, в том числе и в полдень - а именно, она будет стёрта. Значит, на шаре ничего не будет записано.

Ну да. Ни одна молекула чернил не будет присутствовать на шаре в полдень. Соответственно и надписи никакой не будет.

А чем Вам не нравится этот вывод?

[ASFK]

Профессор Снэйп писал(а):

ASFK писал(а):

...судьба каждой возможной надписи на шаре полностью определена во все моменты времени, в том числе и в полдень - а именно, она будет стёрта. Значит, на шаре ничего не будет записано.

Ну да. Ни одна молекула чернил не будет присутствовать на шаре в полдень. Соответственно и надписи никакой не будет.

А чем Вам не нравится этот вывод?

Не нравится мне вот что. Пусть есть белый шар, который за минуту до полудня красят чёрным, за полминуты до полудня перекрашивают белым (прямо поверх чёрного цвета), затем за четвертьминуты до полудня снова чёрным и так далее. Ровно в полдень шар не может быть закрашен чёрным цветом, так как судьба "каждой молекулы" чёрных чернил точно определена к полудню - она полностью будет замазана (навсегда). Шар не может быть покрашен и в белый цвет, так как судьба каждой молекулы белых чернил определена точно так же.
В том числе, те белые чернила, которые изначально присутствовали на шаре (за более чем минуту до полудня) тоже не могут быть в полдень на шаре, так как их "судьба" тоже определена - их замажут на первом же шаге.
Каким-то другим цветом шар оказаться покрашен не может, так как все действия с шаром оговорены, его никто не красил в другой цвет.

[shwedka]

Аналогичная задача. Рассмотрим функцию
$f(x)=1, x\in(2^{-2n}, 2^{-2n+1}] $, $f(x)=-1, x\in(2^{-2n-1}, 2^{-2n}] $, $n=0,1,\dots,$. чему равно $f(0)$?

[Brukvalub]

Во Вселенной конечное число молекул чернил, а к полудню на шар должно налипнуть бесконечное их количество. Это противоречие доказывает невозможность обсуждаемого процесса

[ASFK]

shwedka писал(а):

Аналогичная задача. Рассмотрим функцию
$f(x)=1, x\in(2^{-2n}, 2^{-2n+1}] $, $f(x)=-1, x\in(2^{-2n-1}, 2^{-2n}] $, $n=0,1,\dots,$. чему равно $f(0)$?

Здесь мы сами определяем функцию. Можем доопределить как угодно. А в той модели мира, которую мы рассматриваем в задаче (в том числе, исходной), у нас есть полдень, ящик или шар никуда не деваются. И так же как в исходной задаче мы можем определить состояние ящика, так же и тут можно однозначно определить цвет шара. Но это не так, он не может быть ни чёрным, ни белым (если принять то же рассуждение, которым доказывали пустоту ящика в полдень).

Добавлено спустя 49 секунд:

Brukvalub писал(а):

Во Вселенной конечное число молекул чернил, а к полудню на шар должно налипнуть бесконечное их количество. Это противоречие доказывает невозможность обсуждаемого процесса

шаров тоже не бесконечно )))))))

[TOTAL]

ASFK писал(а):

Здесь мы сами определяем функцию. Можем доопределить как угодно. А в той модели мира, которую мы рассматриваем в задаче (в том числе, исходной), у нас есть полдень, ящик или шар никуда не деваются. И так же как в исходной задаче мы можем определить состояние ящика, так же и тут можно однозначно определить цвет шара. Но это не так, он не может быть ни чёрным, ни белым (если принять то же рассуждение, которым доказывали пустоту ящика в полдень).

Вы про какую исходную задачу все говорите? Если про задачу Литллвуда, то Ваша задача совсем другая. В своей задаче Вы задаете цвет шара в какие-то моменты, но не задаете в полдень. Поэтому цвет в полдень можно доопределить хоть каким.

[shwedka]

ASFK

Цитата:

Здесь мы сами определяем функцию.

Нет, я определяю, а с Вас спрашиваю ответ.

[ASFK]

TOTAL писал(а):

ASFK писал(а):

Здесь мы сами определяем функцию. Можем доопределить как угодно. А в той модели мира, которую мы рассматриваем в задаче (в том числе, исходной), у нас есть полдень, ящик или шар никуда не деваются. И так же как в исходной задаче мы можем определить состояние ящика, так же и тут можно однозначно определить цвет шара. Но это не так, он не может быть ни чёрным, ни белым (если принять то же рассуждение, которым доказывали пустоту ящика в полдень).

Вы про какую исходную задачу все говорите? Если про задачу Литллвуда, то Ваша задача совсем другая. В своей задаче Вы задаете цвет шара в какие-то моменты, но не задаете в полдень. Поэтому цвет в полдень можно доопределить хоть каким.

Состояние ящика в исходной задаче (Литллвуда) мы тоже не определяем в полдень (в условии) - мы его находим и доказываем, что он пустой (мы определили все действия, производимые с ящиком и шарами до полудня, а про сам полдень ничего не говорим).
Так же и здесь можно доказать, что шар не может быть покрашем чёрным цветом в полдень - и что он не может быть покрашен белым.

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

shwedka писал(а):

ASFK

Цитата:

Здесь мы сами определяем функцию.

Нет, я определяю, а с Вас спрашиваю ответ.

Та функция, которую Вы задали, не определена в нуле. Она определена на полуотрезке (0;2]. Бессмысленно спрашивать, чему равно f(0), точка 0 не входит в область определения.

В нашей же задаче, повторяю, шар будет существовать в полдень, так как он наступит. И он должен быть покрашен в какой-то цвет.

[TOTAL]

ASFK писал(а):

В нашей же задаче, повторяю, шар будет существовать в полдень, так как он наступит. И он должен быть покрашен в какой-то цвет.

Объясняю, хотя уже много раз Вам объясняли. Если Вы хотите сделать свою задачу аналогичной исходной, то из условия Вашей задачи должно следовать что вся краска должна быть удалена с шара до полудня. У Вас этого в условии нет. Если вставите это в условие, то шар окажется неокрашенным в полдень.