Внутренности, замыкания и границы шаров и сфер

[Anton_Peplov]

g______d в сообщении #1194129 писал(а):

которое уже будет компактным

Почему? Оно, конечно, замкнутое и ограниченное, но ведь дело не обязательно происходит в $\mathbb R^n$.

[g______d]

Замкнутое подмножество компактного пространства.

[Anton_Peplov]

Я потерял нить.

Вы показали доказательство того, что пространство связно, если оно компактно и замыкание каждого открытого шара равно соответствующему замкнутому шару. Это доказательство я воспринял. Его можно повторить и для шара, доказав, что связен шар.
Потом Вы сказали, что чтобы доказать связность шара, не обязательно предполагать компактность пространства. Вот этого я не могу понять. И я думал, что мы это сейчас обсуждаем. А Вы вдруг говорите, что пространство компактное.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1194162 писал(а):

Его можно повторить и для шара, доказав, что связен шар.

Нельзя. Открытый шар не обязательно компактен.

-- Пн, 20 фев 2017 10:27:00 --

Лучше, наверное, всё сначала. Рассмотрим открытый шар $B(x,r)$. Предположим, что он не связен. Тогда он разбивается на два открыто-замкнутых нетривиальных непересекающихся подмножества $C_1$ и $C_2$. Не умаляя общности, можно считать, что $x\in C_1$. Покажем, что существует точка $y\in C_2$, такая что $\rho(x,y)=\rho(x,C_2)$. Проблема в том, что $C_2$ не обязано быть компактным. Тем не менее, пусть $y_0\in C_2$, $r_0=\rho(x,y_0)$. Тогда $C_2\cap D(x,r_0)$ непусто и компактно (как в исходной топологии, так и в индуцированной на шар), поэтому там есть точка $y$, ближайшая к $x$. Все остальные точки $C_2$ (не лежащие в $D(x,r_0)$) нас не интересуют, потому что они дальше от $x$, чем даже $y_0$.

Таким образом, мы нашли точку $y$, а дальше уже можно повторять рассуждение.

[Anton_Peplov]

g______d в сообщении #1194169 писал(а):

Тогда $C_2\cap D(x,r_0)$ непусто и компактно (как в исходной топологии, так и в индуцированной на шар)

С этим пунктом подробнее. $C_2$, раз оно замкнуто в топологии шара $B(x, r)$, равно $A \cap B(x, r)$, где $A$ - некоторое множество, замкнутое в исходном пространстве. $A \cap D(x, r_0)$, конечно, компактно в исходной топологии как замкнутое подмножество компактного пространства. С другой стороны, $D(x,r_0) \subset B(x, r)$, поэтому $A \cap D(x, r) = C_2 \cap D(x, r_0)$.Мы показали, что $C_2 \cap D(x, r_0)$ компактно в исходной топологии.

А вот почему оно компактно в топологии шара? Ведь шар не обязательно компактен.

[g______d]

Anton_Peplov в сообщении #1194180 писал(а):

А вот почему оно компактно в топологии шара? Ведь шар не обязательно компактен.

Открытое подмножество в топологии шара является открытым и в исходной топологии. Поэтому можно просто из определения компактности: если мы покрыли его открытыми подмножествами шара, это одновременно будет покрытием открытыми подмножествами исходной топологии, из которых можно выбрать конечное подпокрытие.

[Anton_Peplov]

Черт. И правда, шар же открыт. А я привык, что для подпространства такая штука в общем случае не верна, и не подумал, что в случае открытого шара все лучше.
Спасибо.

[alcoholist]

g______d в сообщении #1194188 писал(а):

Поэтому можно просто из определения компактности: если мы покрыли его открытыми подмножествами шара

нужно любое покрытие, а не только то, которое от шара

-- Пн фев 20, 2017 21:41:20 --

Anton_Peplov в сообщении #1194180 писал(а):

А вот почему оно компактно в топологии шара? Ведь шар не обязательно компактен

Оно, конечно, компактно, но нам это не надо)) Нам достаточно того факта, что оно компактно во всем пространстве. Непрерывная функция достигает минимума.

[g______d]

alcoholist в сообщении #1194195 писал(а):

нужно любое покрытие, а не только то, которое от шара

Мы же доказываем компактность в топологии шара; зачем нам покрытие не от шара?

[alcoholist]

g______d в сообщении #1194197 писал(а):

Мы же доказываем компактность в топологии шара; зачем нам покрытие не от шара?

alcoholist в сообщении #1194195 писал(а):

Оно, конечно, компактно, но нам это не надо)) Нам достаточно того факта, что оно компактно во всем пространстве. Непрерывная функция достигает минимума.

[g______d]

Тогда и "любое покрытие" не нужно.

-- Пн, 20 фев 2017 12:20:38 --

g______d в сообщении #1194169 писал(а):

Таким образом, мы нашли точку $y$, а дальше уже можно повторять рассуждение.

Это, кстати, тоже не совсем честно с моей стороны. В исходном рассуждении я употреблял замыкание по отношению к $C_1$ -- в топологии шара, а по отношению к маленькому шару -- в топологии исходного пространства. Но поскольку речь идёт о шарах с одним и тем же центром, это без разницы.

[Anton_Peplov]

Вопрос № 2. Каноническая открытость шаров

У $\mathbb R^n$ есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).

Пусть $X$ - метрическое пространство. Можно ли обеспечить свойство (*), потребовав от $X$ каких-то стандартных вещей?

Прежде всего замечу, что свойство (*) - не наследственное. Вот пример подпространства $\mathbb R$, не обладающего свойством (*):

$X_1 = [0, 2]$. Рассмотрим открытый шар $B(1,1)$ радиуса 1 с центром в точке 1. Имеем $B(1,1) = (0, 2), \operatorname{Cl} B(1,1) = X_1, \operatorname{int} X_1 = X_1 \ne B(1,1)$.

Бросается в глаза, что пространство $X_1$, в отличие от $\mathbb R$, компактное. Можно построить и некомпактный контрпример с тем же самым шаром $B(1,1)$:

$X_2 = (- \infty, -1) \cup [0, 2]$.

Пространство $X_2$ некомпактное, зато несвязное.

Мне пока не удалось построить пример некомпактного связного метрического пространства, НЕ обладающего свойством (*). Но я уверен, что такое пространство существует, поэтому не пытаюсь выводить свойство (*) из связности и некомпактности. Или, быть может, я не прав?

[Mikhail_K]

Anton_Peplov в сообщении #1620830 писал(а):

$X_1 = [0, 2]$. Рассмотрим открытый шар $B(1,1)$ радиуса 1 с центром в точке 1. Имеем $B(1,1) = (0, 2), \operatorname{Cl} B(1,1) = X_1, \operatorname{int} X_1 = X_1 \ne B(1,1)$.

Искомое некомпактное связное пространство можно получить незначительным изменением этого примера.

[Leeb]

Anton_Peplov в сообщении #1620830 писал(а):

Вопрос № 2. Каноническая открытость шаров

У $\mathbb R^n$ есть приятное свойство. Каждый открытый шар канонически открыт, т.е. является внутренностью своего замыкания. Обозначим это свойство (*).

Пусть $X$ - метрическое пространство. Можно ли обеспечить свойство (*), потребовав от $X$ каких-то стандартных вещей?

Прежде всего замечу, что свойство (*) - не наследственное. Вот пример подпространства $\mathbb R$, не обладающего свойством (*):

$X_1 = [0, 2]$. Рассмотрим открытый шар $B(1,1)$ радиуса 1 с центром в точке 1. Имеем $B(1,1) = (0, 2), \operatorname{Cl} B(1,1) = X_1, \operatorname{int} X_1 = X_1 \ne B(1,1)$.

Бросается в глаза, что пространство $X_1$, в отличие от $\mathbb R$, компактное. Можно построить и некомпактный контрпример с тем же самым шаром $B(1,1)$:

$X_2 = (- \infty, -1) \cup [0, 2]$.

Пространство $X_2$ некомпактное, зато несвязное.

Мне пока не удалось построить пример некомпактного связного метрического пространства, НЕ обладающего свойством (*). Но я уверен, что такое пространство существует, поэтому не пытаюсь выводить свойство (*) из связности и некомпактности. Или, быть может, я не прав?

Рассмотрите проколотый круг $(x^2+y^2\leqslant1) \backslash (1/2,1/2)$ на плоскости. Если вам захочется потребовать ещё и односвязность, то возьмите проколотый шар в пространстве, если 2-связность - то шар в $R^4$ и т.д.

[Anton_Peplov]

(Я написал ерунду и стер ерунду, попробуем еще раз).

Leeb в сообщении #1620912 писал(а):

Рассмотрите проколотый круг $(x^2+y^2\leqslant1) \backslash (1/2,1/2)$ на плоскости. Если вам захочется потребовать ещё и односвязность, то возьмите проколотый шар в пространстве, если 2-связность - то шар в $R^4$ и т.д.

Давайте убедимся, что я правильно понимаю Вашу запись. Конструируя пространство $X$, Вы выбросили из круга ровно одну точку, с координатами $x = 1/2, y = 1/2$, так? Тогда я не вижу, где в этом пространстве открытый шар, который не является внутренностью своего замыкания.

Пусть центр открытого шара $B$ - точка $x = 0, y = 0$, радиус шара обозначим $r$. Обозначим $S$ сферу $S \subset \mathbb R^2$ с тем же центром того же радиуса. Рассмотрим случай $r = 1/2$. Тогда $\operatorname {Fr} B = S \setminus (1/2,1/2), \operatorname {Cl} B = B \cup \operatorname {Fr} B, \operatorname {int \, Cl} B = B$. Шар канонически открыт. В случае $r > 1/2$ имеем $\operatorname {Fr} B = S$ и шар снова канонически открыт. Случай $r < 1/2$ интереса не представляет.

Что я упускаю?