Теорема антикосинусов

[shwedka]

спасибо. И еще, чтобы не быть привязанными к конкретным обозначениям, а подчеркныть существо этих понятий, пусть не обязательно стороны треугольнника буквами $a,b,c$ обозначаются. Разрешим также и другие буквы, скажем, $u,v,w $
или $g,h,,j$ и так далее. Если согласны в принципе, я сформулирую и представлю на ваше одобрение.

Как Вы относитесь к такой формулировке?? Если согласитесь, предлагаю включить в зафиксированный текст, перед формулировкой теоремы.
-----------------------------------------------------------------------------------------
“Определение. Длины сторон и углы треугольника называются его основными элементами.”
“Определение. Выражение, содержащее основные элементы треугольника называется элементом $n$-го
измерения этого треугольника, если оно является положительно-однородной функцией$n$-го измерения от
длин сторон. Если, например, длины сторон треугольника обозначены через $a, b$ и $c$, а противолежащие
углы через $A, B, C$, то
выражение:

$$ F(a, b, c, A, B, C), $$

составленное из основных элементов треугольника, является элементом $n$-го измерения этого
треугольника, если при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$, где $k$ - произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число, выражениe умножится на
$k^n$:

$$ F(ka, kb, kc, A, B, C) = k^n F(a, b, c, A, B, C).\eqno(D1)$$

В частности, элементы нулевого измерения
называются угловыми элементами треугольника. Элементы первого измерения называются линейными элементами.”
“Пусть $L(a, b, c, A, B, C)$ – некоторый линейный элемент треугольника. Заменим $a, b$ и $c$ на
$2R\sin A, 2R \sin B$ и $2R \sin C$ где $R$-радиус описанной окружности треугольника. Если вынести
множитель $2R$, то получим:

$$ L(a, b, c, A, B, C) = 2R L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C). $$

Выражение $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ есть угловой элемент; будем называть его угловым
элементом, с о т в е т с т в у ю щ и м линейному элементу $L$, и обозначать символом $U(L)$.
Следовательно:

$$ L = 2R U(L). \eqno (D2) $$

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Как Вы относитесь к такой формулировке?? Если согласитесь, предлагаю включить в зафиксированный текст, перед формулировкой теоремы.

Согласен. Важно еще одно свойство линейного элемента, указанное в этой же книге на с. 340:
“Если дан элемент $F$ порядка $n > 1$, то $ \sqrt [n] {F}$ есть линейный элемент,…”

[shwedka]

Yarkin писал(а):

shwedka писал(а):

Как Вы относитесь к такой формулировке?? Если согласитесь, предлагаю включить в зафиксированный текст, перед формулировкой теоремы.

Важно еще одно свойство линейного элемента, указанное в этой же книге на с. 340:
“Если дан элемент $F$ порядка $n > 1$, то $ \sqrt [n] {F}$ есть линейный элемент,…”

[/list]

Вас не волнует, что может получиться невещественное число??
Меня не волнует. Не возражаю.


Волнует меня другой вопрос по имеющемуся определению.

Цитата:

если при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$, где $k$ - произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число, выражениe умножится на
$k^n$:

$$ F(ka, kb, kc, A, B, C) = k^n F(a, b, c, A, B, C).\eqno(D1)$$

Согласны ли Вы с тем, что

Цитата:

при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$,

мы переходим уже к другому треугольнику?? Со сторонами $ka, kb$ и $kc$ и теми же углами??
То есть условие (D1) связывает элемент F для двух подобных тругольников??

Если да, подтвердите. Если нет, объясните, как нужно понимать, по-Вашему.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Волнует меня другой вопрос по имеющемуся определению.

Цитата:

если при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$, где $k$ - произвольное п о л о ж и т е л ь н о е число, выражениe умножится на
$k^n$:

$$ F(ka, kb, kc, A, B, C) = k^n F(a, b, c, A, B, C).\eqno(D1)$$

Согласны ли Вы с тем, что

Цитата:

при замене аргументов $a, b$ и $c$ числами $ka, kb$ и $kc$,

мы переходим уже к другому треугольнику?? Со сторонами $ka, kb$ и $kc$ и теми же углами??
То есть условие (D1) связывает элемент F для двух подобных тругольников??

Если да, подтвердите. Если нет, объясните, как нужно понимать, по-Вашему.

Именно так и надо понимать, ибо “при преобразовании подобия треугольника его угловые элементы не меняются (в этом случае $n = 0$ и $k^n = 1$)” c. 338.

[shwedka]

Yarkin
Еще один вопрос, чтобы ничего непонятого не оставлять.

Цитата:

Выражение $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ есть угловой элемент

Выше было написано, что

Цитата:

Выражение

$$ F(a, b, c, A, B, C), $$

составленное из основных элементов треугольника, является элементом...

То есть здесь в элементе ДОЛЖНЫ стоять длины сторон. По определению.
Однако в выражении $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ на месте сторон стоят синусы, так что формально оно не подходит под определение 'элемента'.
Ваш комментарий??

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin
Еще один вопрос, чтобы ничего непонятого не оставлять.

Цитата:

Выражение $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ есть угловой элемент

Выше было написано, что

Цитата:

Выражение

$$ F(a, b, c, A, B, C), $$

составленное из основных элементов треугольника, является элементом...

То есть здесь в элементе ДОЛЖНЫ стоять длины сторон. По определению.
Однако в выражении $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ на месте сторон стоят синусы, так что формально оно не подходит под определение 'элемента'.
Ваш комментарий??

Подходит. Там, далее, сказано, что, "в частности, элементы нулевого измерения называются угловыми элементами" т. е. там стоят $a^0, b^0, c^0, n = 0, k^n = 1$.

[RIP]

shwedka писал(а):

То есть здесь в элементе ДОЛЖНЫ стоять длины сторон. По определению.
Однако в выражении $ L(\sin A, \sin B, \sin C, A, B, C)$ на месте сторон стоят синусы, так что формально оно не подходит под определение 'элемента'.

Извините, что вмешиваюсь не в своё дело, но по-моему, вполне подходит. Ведь треугольник со сторонами $\sin A,\sin B,\sin C$ имеет углы как раз $A,B,C$.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Извините, что вмешиваюсь не в своё дело, но по-моему, вполне подходит. Ведь треугольник со сторонами $\sin A,\sin B,\sin C$ имеет углы как раз $A,B,C$.

???

Вот возьмём равносторонний треугольник со стороной $\sin 1$. Неужели его углы равны одному радиану?

[RIP]

Профессор Снэйп
Так ведь $A,B,C$ не абы какие углы, а углы треугольника.

[Профессор Снэйп]

RIP писал(а):

Профессор Снэйп
Так ведь $A,B,C$ не абы какие углы, а углы треугольника.

Ну может быть. Честно говоря, за темой не слежу, прочитал только последнее сообщение от RIP. И подумал, что $A$, $B$ и $C$ изначально --- стороны треугольника, а не углы.

[shwedka]

Yarkin
Меня все же стало волновать Ваше дополнение.

Цитата:

“Если дан элемент $F$ порядка $n > 1$, то $ \sqrt [n] {F}$ есть линейный элемент,…”

Вот, скажем, меня интересует элемент
$F=(a^4-b^4)(1-5\cos A).$
Он явно размерности 4. Какой линейный элемент Вы ему сопоставите??

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin
Меня все же стало волновать Ваше дополнение.

Цитата:

“Если дан элемент $F$ порядка $n > 1$, то $ \sqrt [n] {F}$ есть линейный элемент,…”

Вот, скажем, меня интересует элемент
$F=(a^4-b^4)(1-5\cos A).$
Он явно размерности 4. Какой линейный элемент Вы ему сопоставите??

Дополнение я как раз дал для того, чтобы предупредить укоренившееся в нашем сознании “Он явно размерности 4”. Увы, это не так. Это дополнение говорит о том, что линейный элемент может быть записан в любой форме. С этим как раз связан пункт 2, интерес к которому проявлял(а) STilda. В своем подробном ответе на примере $3^2 + 4^2 = 5^2$ я показал, что линейными элементами в этом соотношении являются не элементы $3, 4, 5$, а элементы $9, 16, 25$, записанные в форме $3^2, 4^2, 5^2$. В дополнении написано “Если дан…” Таким образом, если написанный Вами элемент Вы даете в размерности 4, то $a, b$ будут линейными элементами. Зададите другую размерность и у них будет другая размерность. Поняли ли Вы меня? Продолжить доказательство?

[shwedka]

Yarkin
Доказательство продолжим после прояснения со всеми определениями и после того, как зафиксируем весь согласованный текст.
Я уточню вопрос.
Рассмотрим элемент
$F=(a^4-b^4)(1-5\cos A)$ треугольника, стороны которого обозначены $a, b$ и $c$ .
Вы отрицаете, что он размерности 4??
Если да, объяснитесь. Если же согласны, то как Вы из него извлечете корень 4 степени? Меня интересует Ваше обращение с отрицательными числами

[bot]

Yarkin писал(а):

В дополнении написано “Если дан…”

Это что за дополнение? Ваше? Или это Ваше обессмысливание дополнения откуда-то?
Смысла говорить о размерностях нет, если не фиксировать, что мы считаем линейными величинами. Не числам, Яркин, а переменным, вместо которых эти числа вставляются, приписываются "размерность". Так, если длины отрезков считать величинами линейными, то площади фигур получат размерность 2, а объёмы - размерность 3.
Вы как-то криво Новосёлова читаете и всё в одну бредовую кучу валите.
А извлечение корня из отрицательной величины чётной размерности - это уже так, мелкие брызги, не стоит на этом останавливаться.

[Yarkin]

shwedka писал(а):

Yarkin
Я уточню вопрос.
Рассмотрим элемент
$F=(a^4-b^4)(1-5\cos A)$ треугольника, стороны которого обозначены $a, b$ и $c$ .
Вы отрицаете, что он размерности 4??
Если да, объяснитесь. Если же согласны, то как Вы из него извлечете корень 4 степени? Меня интересует Ваше обращение с отрицательными числами

Из определения элемента $n$ - го измерения следует, что он не может быть отрицательным. Поскольку в этом сообщении Вы размерность элементов указываете, то утверждать, что заданный элемент имеет размерность, отличную от 4 нельзя.

Добавлено спустя 3 минуты 49 секунд:

bot писал(а):

Это что за дополнение? Ваше? Или это Ваше обессмысливание дополнения откуда-то?
Смысла говорить о размерностях нет, если не фиксировать, что мы считаем линейными величинами. Не числам, Яркин, а переменным, вместо которых эти числа вставляются, приписываются "размерность". Так, если длины отрезков считать величинами линейными, то площади фигур получат размерность 2, а объёмы - размерность 3.
Вы как-то криво Новосёлова читаете и всё в одну бредовую кучу валите.
А извлечение корня из отрицательной величины чётной размерности - это уже так, мелкие брызги, не стоит на этом останавливаться.

Ничего отсебятины я в кавычки не беру. Все, что заключено в кавычках - выписано из С. И. Новоселова с указанием страниц.