Кто и как пришел к изучению общей топологии

[vpb]

Munin
Относительно книжек про схемы. Я сам не специалист в АГ, даже нельзя сказать что много читал. Однако, возможно, на форуме таких специалистов вообще нет (Xaositect и nnosipov ими, строго говоря, не являются, последний к тому же заморожен. Может специалисты и есть на самом деле, но я не в курсе). Поэтому я взял на себя смелость ответить на Ваш вопрос.

Я читал, давно, Шафаревича "Основы алгебраической геометрии" 1988 г. издания, половину или около того. Потом, правда, многое забыл. Потом читал М.Рид "АГ для всех", и Fulton "Algebraic curves. Introduction to algebraic geometry", частично. Но
сейчас есть уже другие учебники, причем их довольно много. Я поскачивал их с Интернета, потом оценил на глаз, какие наиболее понятные. Особенно для физиков. Вот пять из них.
1) Рид "АГ для всех"
2) Харрис "АГ. Начальный курс"
(обе -- на русском).
3) T.Garrity, R.Belshoff, e.a. "AG. A problem solving approach" (т.е. "АГ в задачах. Коллектив авторов")
4) S.S.Abhyankar "AG for scientists and engineers"
5) Audun Holme "A royal road to AG".
(Это всё, конечно, не продвинутые учебники, а простые вводные курсы).

Я не вполне понял одну вещь. Вы хотите познакомиться с основами АГ вообще, или уже до некоторой степени с ними знакомы, а со схемами еще нет? В 1)--4) про схемы ничего нет. В 5) вторая часть --- это введение в теорию схем "для чайников", и, кажется, это единственная книга в таком роде. (Есть еще Eisenbud-Harris "Geometry of schemes". Также есть глава 5 во II томе Шафаревича. Но эти источники, по моему, сложны и для Вас меньше подходят. Есть еще книги Харстхорна и Мамфорда, но они подходят еще меньше.)

Про предварительные знания. Нужно, конечно, университетский курс алгебры (Кострикина или Винберга) хорошо знать. Далее, традиционно рекомендуют "прорешайте задачи из Атьи-Макдональда". Однако на самом деле надо еще много чего. Я уже несколько лет понемногу, время от времени, собираю необходимые знания по принципу "курочка по зернышку клюет". Может, в книгах, что я указал, про эти необходимые знания даются указания.

[Munin]

vpb в сообщении #1181668 писал(а):

Вы хотите познакомиться с основами АГ вообще, или уже до некоторой степени с ними знакомы, а со схемами еще нет?

Ни то, ни другое. Вы преувеличиваете мой интерес.

Кроме того, если я и зайду когда-нибудь в АГ, то со стороны книги
Кокс, Литтл, О'Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы.
Даже если она в разы слабее перечисленных вами, но выглядит в разы понятнее. Мне (или даже не мне, я рядом случился) её рекомендовали некоторое время назад, я заглянул внутрь, и мне она понравилась.

В целом спасибо. Жаль, что "не в коня корм".

[пианист]

vpb в сообщении #1181658 писал(а):

в топологии Зарисского же никакой сходимости нет

Боюсь, не совсем понял, что Вы имеете в виду. Есть сходимость топологии Зарисского, так же как и любой другой топологии.

vpb в сообщении #1181658 писал(а):

она совершенно не хаусдорфова

И?
Munin
Понятие сходимости сложное.
Я бы сказал, с бесконечностью (а сходимость это именно выход в бесконечность!) вообще трудно иметь дело.
--
Глянул Энгелькинга. Собс-но, общая топология там главы 1-3, остальное это, скорее, смежные вопросы.

[Mikhail_K]

пианист в сообщении #1181679 писал(а):

И?

Существуют изложения общей топологии, в которых понятие сходимости вводится только для хаусдорфовых пространств.
Хотя бы для того, чтобы последовательность не могла иметь двух разных пределов одновременно.
Разумеется, можно ввести понятие сходимости и для произвольных топологических пространств, но обычно не нужно.

Более того, есть пространства, в которых можно разумно ввести сходимость, но ей не соответствует никакая топология.
Поэтому топология и сходимость - это всё-таки разные вещи.

[пианист]

Mikhail_K
А если бы не было таких изложений, тогда были бы одинаковые? ;)

[Mikhail_K]

пианист в сообщении #1181689 писал(а):

А если бы не было таких изложений, тогда были бы одинаковые? ;)

Нет, по вот этой причине:

Mikhail_K в сообщении #1181681 писал(а):

Более того, есть пространства, в которых можно разумно ввести сходимость, но ей не соответствует никакая топология.

Это уже не зависит от изложений.
См. Куратовский, том 1, глава 2.
Есть топологические пространства, есть пространства со сходимостью. Эти два класса пространств имеют широкое пересечение: хаусдорфовы топологические с локально счётной базой.
Отказавшись от некоторых свойств сходимости, можно распространить это понятие на произвольные топологические пространства.
Но всё равно останутся пространства с достаточно разумной сходимостью, но без топологии.

[Munin]

пианист в сообщении #1181679 писал(а):

Глянул Энгелькинга. Собс-но, общая топология там главы 1-3, остальное это, скорее, смежные вопросы.

Уф-ф-ф. То есть, можно не штудировать? :-)

[knizhnik]

Munin в сообщении #1181800 писал(а):

Уф-ф-ф. То есть, можно не штудировать?

Да, и осуждать при этом.

[SomePupil]

knizhnik в сообщении #1181812 писал(а):

Да, и осуждать при этом.

Почему осуждать-то? Я, например, Энгелькинга не читал, но одобряю.

[kp9r4d]

vpb

vpb в сообщении #1181658 писал(а):

Пространства петель, путей и отображений --- это не гомотопические конструкции. Они используются в алгебраической топологии, но сами по себе требуют только понятий из общей топологии. Вы, наверное, забыли или не знали их определений. Или спутали их, может быть, с классами гомотопных петель или еще с чем-либо подобным.

Помню. Помню так же, что loop space можно определить в любом $(\infty,1)$-топосе имеющем гомотопические пуллбэки. Отсюда следует, что 1) это гомотопическая конструкция 2) категория $Top$ (как частный случай) тут не при чём в том смысле, что что-угодно, что делается с этой конструкцией в $Top$ можно делать в любом $(\infty,1)$-топосе.

пианист в сообщении #1181654 писал(а):

Разговор о применении общей топологии к гомотопиям минимум странен. Похоже на анекдот про студента, выучившего только раздел о блохах.

Он был бы странен, если бы гомотопия во всех учебниках формализовалась бы в духе гомотопической алгебры Квиллена, а пока в большинстве источников всё строится на CW-комплексах определёных на point-set языке - он не странен.

[vpb]

Munin в сообщении #1181674 писал(а):

vpb в сообщении #1181668 писал(а):

Вы хотите познакомиться с основами АГ вообще, или уже до некоторой степени с ними знакомы, а со схемами еще нет?

Ни то, ни другое. Вы преувеличиваете мой интерес.

Кроме того, если я и зайду когда-нибудь в АГ, то со стороны книги
Кокс, Литтл, О'Ши. Идеалы, многообразия и алгоритмы.
Даже если она в разы слабее перечисленных вами, но выглядит в разы понятнее. Мне (или даже не мне, я рядом случился) её рекомендовали некоторое время назад, я заглянул внутрь, и мне она понравилась.

В целом спасибо. Жаль, что "не в коня корм".

Munin
Вы, наверное, думали с самого начала, что спектры, схемы и сайты --- это термины из общей топологии, а я об этом не догадался. Отсюда недоразумение.

Насчет Кокс-Литл-О'Ши. Книга, действительно, хорошая. Вполне подходит как первое чтение для начинающего. Я ее хотел включить, а потом как-то смутился. Слишком там большой уклон в сторону вычислительных методов коммутативной алгебры, базисы Грёбнера и т.д., а собственно геометрии не так много. Тем не менее, книга подходящая. Особенно для человека, предварительные знания которого по алгебре невелики.

(Это добавление, собственно, больше для посетителей, которые, возможно, эту тему будут читать. К тому, что по вопросу данной книжки я с Вами согласен.)

[Munin]

vpb в сообщении #1182735 писал(а):

Вы, наверное, думали с самого начала, что спектры, схемы и сайты --- это термины из общей топологии

Нет, я не настолько наивен. Но откуда они - я не знал (и об этом спрашивал). Имею общее представление, что спектры - это, наверное, функциональный анализ.

[Brukvalub]

Munin в сообщении #1182756 писал(а):

Имею общее представление, что спектры - это, наверное, функциональный анализ.

Спектры бывают у алгебраического кольца, у топологического пространства, у линейного оператора, включая дифференциальные операторы и даже у э.-м. излучения!

[dsge]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #1182762 писал(а):

Спектры бывают у алгебраического кольца, у топологического пространства, у линейного оператора, включая дифференциальные операторы и даже у э.-м. излучения!

Еще у случайных процессов;)

[Munin]

Brukvalub в сообщении #1182762 писал(а):

Спектры бывают у алгебраического кольца, у топологического пространства, у линейного оператора

Кошмар! И всё разные понятия, даже не родственные?

Я думал, только слово "поле" настолько перегружено...