Ветка навеяна такими сообщениями.
Я тут решил самостоятельно позаниматься топологией :). И встрял! Начало интересное, по сути это какая-то специализированная теория множеств, так объяснил один лектор.
Есть две топологии. Одна называется "общая топология", а другая - по-разному: "алгебраическая топология", "дифференциальная топология", иногда упоминается "комбинаторная топология", "гомотопическая", "гомологическая" - это всё подразделы алгебраической.
То, что рассказывают в популярных книжках про ленту Мёбиуса и бутылку Клейна - это алгебраическая топология. Обычно именно после этого людям интересно, а что это за топология вообще, и хочется её почитать.
А "по сути специализированная теория множеств" - это общая топология.
Общая топология как курс идёт перед алгебраической. Но некоторые вещи, если вы понимаете их "на пальцах" (например, что означает "не рвать и не склеивать", и наоборот, "склеить"), можно просто пропустить, и читать сразу алг. топологию. Лучше всего "книжку с картинками", где побольше наглядных пояснений.
Если не пропускать, то можно "утонуть" в общей топологии, и так и не добраться до желанной алгебраической.
Munin
Я вас удивлю, но иногда желанна общая топология. Впрочем, статистика, видимо, не на моей стороне.
Расскажите подробнее.
Чем именно привлекала общая топология в этих не столь частых случаях.
Потому что общая топология - это действительно не такая "яркая" вещь, как алгебраическая. И тем ценнее каждая возможность её преподнести в интересном и привлекательном виде.
Предлагаю людям, которые пришли к чтению учебников по общей топологии самостоятельно (т.е. топология не была обязательным предметом там, где они учились), поделиться здесь опытом: что же их на это сподвигло?
Что до меня, со мной все просто. Я начал с "я не понимаю, чем кривая отличается от поверхности". Хорошо, размерностью, а что такое размерность? В детских книжках говорилось, что
-мерность - это когда чтобы задать точку нужны
координат. Увы, я к тому времени уже слышал имя вождя и учителя Кантора и знал, что отрезок равномощен квадрату. Наглядные книжки по топологии читать не стал, поскольку по складу мышления (жаль, что не по таланту к доказательству теорем) я въедливый математик, и, если я вижу в рассуждении логическую брешь, прослеживать его дальше мне становится физиологически некомфортно. Еще один фактор - читая в Ильине и Позняке про все эти пределы и окрестности, я не мог отделаться от ощущения, что "все это частный случай чего-то большого и важного". Видимо, частично это ощущение было индуцировано долетающим из далекого далека эхом богослужений в церкви Настояшшшей Математики (настоятель о. М. Вербицкий). А я вообще люблю фундаментальность и общность, мне интересно изучать структуры, лежащие в основе всего. Конец немного предсказуем: я взял учебник общей топологии и влюбился.
Правда, сбылся и прогноз
Munin: до понятия многообразия я не добрался до сих пор. Все время возникают какие-то вопросы "а верно ли, что...", "а существует ли такое пространство, что...", "а вот у Энгелькинга интересное слово упоминается, что оно означает?". У Энгелькинга про фильтры написано всего ничего, а я несколько страниц исписал, самостоятельно доказывая разные их свойства.
Дошел до того, что собственные велосипеды выдумываю. Ага, направленность - это функция в топологическое пространство из направленного множества. Тогда пусть пунктир - это функция из множества со слабым порядком, нить - функция из частично упорядоченного множества, а лента - функция из линейно упорядоченного множества (не обязательно счетного, так что последовательность - лишь частный случай). Какие теоремы останутся справедливы, если направленность или нить заменить на пунктир, последовательность на ленту, ленту на нить? Какие будут опровергнуты, какими контрпримерами? Еще один велосипед - "псевдотопология". Это когда пересечение замкнутых множеств замкнуто, но конечное объединение - не обязательно. Такого рода структуры постоянно возникают в алгебре - например, любое пересечение подгрупп есть подгруппа, а объединение - не всегда. Какие теоремы топологии справедливы для псевдотопологии?
Я бы мог, конечно, выбраться из всего этого волевым усилием. Но я не хочу:)
Ну а так как я хочу стать математиком решил с этой наукой заранее начать знакомиться. Почему бы и нет? Не зная язык навряд ли будет успешно изучение других разделов и математики вообще! К тому же я хочу поступить на математическое отделение университета (задумываюсь, выбираю!), думаю что там уж точно не помешает! Общая топология - это можно так сказать международный букварь (словарь) современной математики, ну или существенной её части!
-алгебр антиэквивалентна категории хаусдорфовых компактов (двойственность Гельфанда-Наймарка). Поэтому хаусдорфовы компакты - тоже естественные объекты, (что неудивительно, т.к. хаусдорфовы компакты - это чисто алгебраические объекты - это алгебры над монадой над эндофунктором, поднимающим отображение множеств до отображения над ультрафильтрами множеств). Что, конечно же, не оправдывает point-set топологию, а даже наоборот ^^
стремится к 
" можно по-разному (почти всюду, поточечно, равномерно, в 
смысле и т.д.) а "convergence space" - это попытка в общетопологическом духе формализовать эту идею - не самая популярная и не самая, на мой взгляд, удачная. 