Время разгона стрелы?

[SmallMik]

Здравствуйте уважаемые участники форума. На моём любимом (не по физике) форуме зашёл спор по решению такой вот задачи школьного уровня. Подскажите пожалуйста, имеет ли место такое решение. Укажите пожалуйста на ошибки в рассуждениях, и если можно, то пример правильного решения. Заранее благодарю и прошу прощение за дилетантский подход к решению и постановке задачи

Задача.
Найти время разгона стрелы массой $0,0216\text{кг}$ выпущенной из лука силой $177,93\text{Н}$ со скоростью $55\frac{\text{м}}{\text{сек}}$. Путь разгона(ход тетивы со стрелой) $0,5\text{м}$. Сила лука меняется линейно от максимального значения до $0$ по закону Гука. (силы трения и инертность плеч лука и тетивы не учитываем)
Исходные данные (сразу в системе СИ)
$m=0,0216\text{кг}$ - масса стрелы ($325\text{гран}$)
$S=0,5\text{м}$- путь разгона стрелы
$v=55\frac{\text{м}}{\text{сек}}$- скорость стрелы в момент отрыва от тетивы
$F=177,93\text{Н}$-сила лука в ньютонах на исходном растяжении ($18,14\text{кгс}$, или $40$ фунтов)

$a$-малым обозначим ускорение.
$t$-время
Рассуждения и расчёт. В момент старта стрелы на неё действует максимальная сила которая сообщает ей наибольшее ускорение. В момент отрыва стрелы от тетивы действующая сила равна $0$ и соответственно ускорение равно $0$ (стрела продолжает двигаться равномерно)
Имея линейный график прироста силы $(F/S)$ от пути при натяжении и соответственно линейный график уменьшения силы действующей на стрелу?- силы при выстреле(от максимума до $0$), получаем линейный график изменения ускорения стрелы, от максимального (при наибольшей действующей силе) до нулевого, при отрыве от тетивы. Построим график изменения ускорения по мере прохождения стрелой пути разгона $(S)$.
На оси абсцисс откладываем путь $(S)$, на оси ординат ускорение $(a)$. Поскольку разобрались, что график линеен, достаточно соединить прямой две точки. Первая точка, это значение максимального ускорения которая лежит на оси ординат при пути $S=0$. Вторая точка где ускорение $a=0$, лежит на оси абсцисс в конце пути $(S=0,5\text{м})$.
Как видим вторая точка известна, а вот максимальное ускорение нужно посчитать.
По второму закону Ньютона рассчитываем ускорение в момент старта стрелы. $a=\frac{F}{m} = \frac{177,93\text{Н}}{0,0216\text{кг}}= 8237,5 \frac{\text{м}}{\text{сек}^2}$ .
Строим график изменения ускорения,- соединяем две полученные точки. Интеграл от функции изменения ускорения даст среднее значение ускорения на всём пути разгона. Как вы наверняка помните , геометрический смысл интеграла функции это площадь под графиком.
Считаем эту площадь. Среднее ускорение равно $a=\frac{aS}{2}=\frac{8237,5\cdot 0,5}{2}=2059,375\frac{\text{м}}{\text{сек}^2}$.
Дальше просто. По формуле пути (при начальной скорости $V_0=0$), ($S=\frac{at^2}{2}$) находим время разгона стрелы. $t=0,022$

(Оффтоп)

Прошу меня извинить за наглость зайти на Ваш форум, но просидев три часа над исправлением формул, так ни чего и не получилось у меня(посмотрел три раза ролик, пытаясь через гугл найти значения некоторых сказанных слов, попытался что то исправить, не вышло, очень у меня плохо с компьютером, терминами и понятиями связанные) Если модератор найдёт возможным исправить мои каракули, буду очень благодарен. Я далеко не физик и не математик тем более, и наверное "не туда зашёл". Это мой первый и последний вопрос на данном форуме,

очень хотелось увидеть верное решение, и сравнить насколько ответ задачи будет разниться с правильным, учитывая, что я ввёл (наверное не корректное)понятие "среднего ускорения, найдя его как площадь под графиком ускорения/перемещение.
Отвечу на вопросы заданные ниже.
"Откуда вообще задача взялась?"
Задача абсолютно практическая. Есть практически линейный график прироста силы лука от его натяжения(измерен и построен), путь разгона стрелы($0,5\text{м}$) , скорость стрелы в момент отрыва от тетивы (замерена хронографом).
"Если у нас дана сила на протяжении всего пути, сам путь и масса тела, то конечная скорость тела рассчитывается, а не задаётся."
Да, конечно. Часть запасённой энергии ушла на разгон инертных масс (плечи, тетива, сопротивление воздуха и т.д.) Про КПД лука не написал, извините. (при необходимости рассчитываем как отношение потенциальной энергии запасённой луком к фактической энергии стрелы)
"А вот эти данные не совместны." Поправился про КПД... теперь совместимы?

(Оффтоп)

Уважаемый модератор! Если Вы возьмёте на себя труд поправить мои формулы, буду очень признателен. Я не способен постигнуть правильность записи формул без посторонней помощи, увы. Как понимаю, просто сформулировать задачу без попыток её решения, то же не укладываются в правила форума. Если это не возможно, тогда удалите пожалуйста тему. Хотя очень бы хотелось послушать настоящих физиков и может быть что то узнать.

[iifat]

Усреднять и считать площади можно отнюдь не по любой переменной. Если бы у вас был график ускорения от времени, подобные рассуждения могли бы к чему-то привести; но у вас ускорение от координаты, а это совсем другое дело.
Не уверен, что эта задача такого уж школьного уровня. Первое, что приходит в голову — дифференциальное уравнение. Простенькое, правда, с разделяющимися переменными. Не помню, решали ли мы такое в школе.

[Dragon27]

Откуда вообще задача взялась? Если у нас дана сила на протяжении всего пути, сам путь и масса тела, то конечная скорость тела рассчитывается, а не задаётся.

[Theoristos]

"По-школьному" решать лучше методом размерностей. Или по аналогии с маятником.

"стрелы массой 0,0216кг выпущенной из лука силой 177,93Н со скоростью 55м/сек. Путь разгона(ход тетивы со стрелой) 0,5м. "
А вот эти данные не совместны.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
Причина переноса:
1. Сделайте информативный заголовок темы.
2. Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[profrotter]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: вернул.

[wrest]

SmallMik в сообщении #1175877 писал(а):

очень хотелось увидеть верное решение, и сравнить насколько ответ задачи будет разниться с правильным, учитывая, что я ввёл (наверное не корректное)понятие "среднего ускорения, найдя его как площадь под графиком ускорения/перемещение.

Проще всего, как уже выше сказали, применить готовые формулы из уравнений связанных с маятниками на пружинах. Если стрелу заменить грузиком, натянуть тетиву и отпустить, грузик будет колебаться как гармонический маятник (берем невесомую тетиву, потерь нет и т.п.). Период колебаний надо будет поделить на 4, т.к. вас интересует время отк крайнего положения до вылета стрелы, а это четверть периода.
То есть, у вас есть пружина -- тетива и груз - стрела.
Коэффициент упругости равен 80 фунтов-сил на метр.
Масса известна.

Всё это подставляете в формулы и находите решение.

Если не брать в расчет скорость на выходе и амплитуду (т.к. в идеальном луке период колебаний от амплитуды не зависит), то искомое время до вылета стрелы у меня получилось порядка 12 микросекунд миллисекунд - примерно в 2 раза меньше, чем получилось у вас.

Формулы можете посмотреть тут: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%BE%D1%80

Вас интересует формула $T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{k}}$

Проверить "идеальность" вашего лука вы можете подставив ваши данные в формулу $mv^2=kA^2$ и посмотрев получится ли равенство. У меня равенства не получилось :)
Здесь $A$ это амплитуда, полметра.

[Dmitriy40]

wrest в сообщении #1176224 писал(а):

искомое время до вылета стрелы у меня получилось порядка 12 микросекунд

Всё же миллисекунд, не микро. У меня другим методом получилось столько же.

[wrest]

Dmitriy40 в сообщении #1176250 писал(а):

Всё же миллисекунд, не микро.

Да, конечно :)
Исправил, спасибо.

[SmallMik]

wrest в сообщении #1176224 писал(а):

Проще всего, как уже выше сказали, применить готовые формулы из уравнений связанных с маятниками на пружинах.

Огромное спасибо! Всё прочёл, разобрался, пересчитал, ответ с Вашим совпал. Для теоретического идеального лука вопросов нет вообще.
Но! На практике имеем приличную разницу сравнивая скорость фактическую $55$ и расчётную $64,177$. Подумаю ещё, как можно привязать измеренную скорость к теоретическим расчётам. Может с затухающими колебаниями поработать? Можно ли провести аналогию сил вязкого трения с силами инерции паразитных масс ( масса плеч, тетивы и т.д.) Или ещё как нибудь связать рассчётную и фактическую скорость, нужно подумать. Придумаю, спрошу обязательно.

[Munin]

Скорей всего, виноваты потери в луке, его негуковость (при распрямлении лука он движется сложнее, чем пружина), плюс неидеальность выстрела: не вся энергия передаётся в кинетическую энергию стрелы. Рассчитывать тут на совпадение лучше, чем $55\approx 64,$ безнадёжно. До тех пор, пока вы не займётесь более тщательным и подробным моделированием лука, с учётом его формы, упругих свойств, свойств тетивы, и так далее.

[SmallMik]

Munin в сообщении #1176311 писал(а):

До тех пор, пока вы не займётесь более тщательным и подробным моделированием лука, с учётом его формы, упругих свойств, свойств тетивы, и так далее.

Ну, это совсем сложная задача. Ввести коэффициент потерь по аналогии с КПД лука(а он считается очень точно) наверное будет уже что то.

[Munin]

"КПД"...

Ну, можете возвести отношение скоростей в квадрат, и назвать его КПД.

[SmallMik]

Munin в сообщении #1176317 писал(а):

"КПД"...

Ну, можете возвести отношение скоростей в квадрат, и назвать его КПД.

Честно не понимаю, чего смешного в КПД лука. Считается как отношение потенциальной энергии запасённой луком к кинетической энергии стрелы в момент выпуска. При сложных графиках прироста силы в зависимости от натяжения (рекурсивные, рефлексивные или блочные луки) для определения потенциальной энергии рассчитывается площадь под графиком (описать какой то функцией, что бы взять от неё интеграл , такую кривую сложно) При линейном графике в соответствии с законом Гука ваш пример расчёта КПД корректен. КПД лука с увеличением массы стрелы (в определённых пределах) то же серьёзно возрастает, из за меньших ускорений паразитных инерционных масс, и соответственно уменьшения потерь энергии на разгон этих масс. Простите, но я не понял вашего сарказма. Поясните буду благодарен.

[Munin]

SmallMik в сообщении #1176388 писал(а):

описать какой то функцией, что бы взять от неё интеграл , такую кривую сложно

Это не для тех, кто придумывает функции (или луки). Я даже уверен, что большинство из них весьма просты, на уровне полиномов.