Непрерывность функции

[Nickspa]

Верно ли, что функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ непрерывна тогда и только тогда, когда она переводит отрезки в отрезки и прообраз любой точки замкнут?
В одну сторону вроде понятно. Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению, значит и замкнутые в замкнутые, следовательно прообраз точки замкнут, так как сама точка - замкнутое множество. Про отрезки тоже, вроде, можно аккуратно показать.

Но в обратную сторону не совсем получается. Если отбросить условие замкнутости прообраза, то это вообще неверное утверждение. Контрпример - $\sin\frac{1}{x}$. Как меняет ситуацию замкнутость прообраза?

[Dan B-Yallay]

$f(x) \equiv 1$

Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):

прообраз любой точки замкнут?

[Nickspa]

Получается прообраз единицы - вся прямая? Ну так она и открыта и замкнута.

[Anton_Peplov]

Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):

Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению

Ошибка. Посмотрите на определение открытого отображения внимательнее.

[Nickspa]

Anton_Peplov

Непрерывное отображение - прообраз всякого открытого множества открыт. На лекции было так. Что за открытое отображение Вы имеете ввиду?

[Brukvalub]

Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):

Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению

Dan B-Yallay в сообщении #1175532 писал(а):

$f(x) \equiv 1$

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Nickspa]

Brukvalub

Вы хотите сказать, что прообраз замкнутого может тоже быть открыт? Не совсем понимаю пример. Прообраз единицы - вся прямая, но ведь она и замкнута и открыта одновременно. Или я что-то не то говорю? Можете чуть поподробнее?

[Anton_Peplov]

Nickspa в сообщении #1175537 писал(а):

Непрерывное отображение - прообраз всякого открытого множества открыт.

Это верно.

Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):

Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению

Это я могу перевести на русский единственным способом: "отображение непрерывно, если и только если образ всякого открытого множества открыт". А это неверно. Контрпример выше дал Brukvalub.

[Mikhail_K]

Более того, это и контрпример к Вашему

Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):

Верно ли, что функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ непрерывна тогда и только тогда, когда она переводит отрезки в отрезки и прообраз любой точки замкнут?

Куда переводит отрезки функция $f(x)\equiv 1$?

Здесь, конечно, несколько дискуссионным является вопрос, считать ли отдельные точки тоже отрезками: типа, $[1,1]=\{1\}$.
Я могу представить себе математический курс, в котором это трактуется именно так.

[Anton_Peplov]

Mikhail_K в сообщении #1175550 писал(а):

Здесь, конечно, несколько дискуссионным является вопрос, считать ли отдельные точки тоже отрезками: типа, $[1,1]=\{1\}$.
Я могу представить себе математический курс, в котором это трактуется именно так.

Более того, это в некотором смысле удобно, т.к. одноточечное множество сохраняет топологические свойства отрезка (связность, компактность, замкнутость).

[DeBill]

Del

[Anton_Peplov]

Del.

[DeBill]

Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):

Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению, значит и замкнутые в замкнутые, следовательно прообраз точки замкнут

Судя по "следовательно", видимо, Вы имели в виду "прообраз открытого - открыт, значит..." - и тогда все верно.
Про отрезки: потребуется теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
Обратное - оно действительно верно. Попробуйте от противного, типа,
Пусть в точке $a$ - разрыв. Рассмотрим отрезки $[a-\frac{1}{n}, a+ \frac{1}{n}]$, их образы, и их пересечение. Оно - отрезок, не равный точке $ b = f(a)$ (Да?), но содержащий ее. Рассмотрим прообраз не точки $b$ из него. Он - не замкнут (?!)..