2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 21:40 
Верно ли, что функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ непрерывна тогда и только тогда, когда она переводит отрезки в отрезки и прообраз любой точки замкнут?
В одну сторону вроде понятно. Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению, значит и замкнутые в замкнутые, следовательно прообраз точки замкнут, так как сама точка - замкнутое множество. Про отрезки тоже, вроде, можно аккуратно показать.

Но в обратную сторону не совсем получается. Если отбросить условие замкнутости прообраза, то это вообще неверное утверждение. Контрпример - $\sin\frac{1}{x}$. Как меняет ситуацию замкнутость прообраза?

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 21:45 
Аватара пользователя
$f(x) \equiv 1$
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
прообраз любой точки замкнут?

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 21:47 
Получается прообраз единицы - вся прямая? Ну так она и открыта и замкнута.

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 21:54 
Аватара пользователя
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению
Ошибка. Посмотрите на определение открытого отображения внимательнее.

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:05 
Anton_Peplov

Непрерывное отображение - прообраз всякого открытого множества открыт. На лекции было так. Что за открытое отображение Вы имеете ввиду?

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:07 
Аватара пользователя
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению

Dan B-Yallay в сообщении #1175532 писал(а):
$f(x) \equiv 1$

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение09.12.2016, 22:13 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение09.12.2016, 22:34 
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:39 
Brukvalub

Вы хотите сказать, что прообраз замкнутого может тоже быть открыт? Не совсем понимаю пример. Прообраз единицы - вся прямая, но ведь она и замкнута и открыта одновременно. Или я что-то не то говорю? Можете чуть поподробнее?

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:42 
Аватара пользователя
Nickspa в сообщении #1175537 писал(а):
Непрерывное отображение - прообраз всякого открытого множества открыт.
Это верно.
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению
Это я могу перевести на русский единственным способом: "отображение непрерывно, если и только если образ всякого открытого множества открыт". А это неверно. Контрпример выше дал Brukvalub.

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:47 
Аватара пользователя
Более того, это и контрпример к Вашему
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Верно ли, что функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ непрерывна тогда и только тогда, когда она переводит отрезки в отрезки и прообраз любой точки замкнут?

Куда переводит отрезки функция $f(x)\equiv 1$?

Здесь, конечно, несколько дискуссионным является вопрос, считать ли отдельные точки тоже отрезками: типа, $[1,1]=\{1\}$.
Я могу представить себе математический курс, в котором это трактуется именно так.

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:58 
Аватара пользователя
Mikhail_K в сообщении #1175550 писал(а):
Здесь, конечно, несколько дискуссионным является вопрос, считать ли отдельные точки тоже отрезками: типа, $[1,1]=\{1\}$.
Я могу представить себе математический курс, в котором это трактуется именно так.
Более того, это в некотором смысле удобно, т.к. одноточечное множество сохраняет топологические свойства отрезка (связность, компактность, замкнутость).

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 23:56 
Del

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение10.12.2016, 00:03 
Аватара пользователя
Del.

 
 
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение10.12.2016, 00:07 
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению, значит и замкнутые в замкнутые, следовательно прообраз точки замкнут

Судя по "следовательно", видимо, Вы имели в виду "прообраз открытого - открыт, значит..." - и тогда все верно.
Про отрезки: потребуется теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
Обратное - оно действительно верно. Попробуйте от противного, типа,
Пусть в точке $a$ - разрыв. Рассмотрим отрезки $[a-\frac{1}{n}, a+ \frac{1}{n}]$, их образы, и их пересечение. Оно - отрезок, не равный точке $ b = f(a)$ (Да?), но содержащий ее. Рассмотрим прообраз не точки $b$ из него. Он - не замкнут (?!)..

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group