2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 21:40 


09/12/16
146
Верно ли, что функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ непрерывна тогда и только тогда, когда она переводит отрезки в отрезки и прообраз любой точки замкнут?
В одну сторону вроде понятно. Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению, значит и замкнутые в замкнутые, следовательно прообраз точки замкнут, так как сама точка - замкнутое множество. Про отрезки тоже, вроде, можно аккуратно показать.

Но в обратную сторону не совсем получается. Если отбросить условие замкнутости прообраза, то это вообще неверное утверждение. Контрпример - $\sin\frac{1}{x}$. Как меняет ситуацию замкнутость прообраза?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 21:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078
$f(x) \equiv 1$
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
прообраз любой точки замкнут?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 21:47 


09/12/16
146
Получается прообраз единицы - вся прямая? Ну так она и открыта и замкнута.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 21:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8623
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению
Ошибка. Посмотрите на определение открытого отображения внимательнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:05 


09/12/16
146
Anton_Peplov

Непрерывное отображение - прообраз всякого открытого множества открыт. На лекции было так. Что за открытое отображение Вы имеете ввиду?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению

Dan B-Yallay в сообщении #1175532 писал(а):
$f(x) \equiv 1$

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.12.2016, 22:13 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение09.12.2016, 22:34 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:39 


09/12/16
146
Brukvalub

Вы хотите сказать, что прообраз замкнутого может тоже быть открыт? Не совсем понимаю пример. Прообраз единицы - вся прямая, но ведь она и замкнута и открыта одновременно. Или я что-то не то говорю? Можете чуть поподробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8623
Nickspa в сообщении #1175537 писал(а):
Непрерывное отображение - прообраз всякого открытого множества открыт.
Это верно.
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению
Это я могу перевести на русский единственным способом: "отображение непрерывно, если и только если образ всякого открытого множества открыт". А это неверно. Контрпример выше дал Brukvalub.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4858
Более того, это и контрпример к Вашему
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Верно ли, что функция $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ непрерывна тогда и только тогда, когда она переводит отрезки в отрезки и прообраз любой точки замкнут?

Куда переводит отрезки функция $f(x)\equiv 1$?

Здесь, конечно, несколько дискуссионным является вопрос, считать ли отдельные точки тоже отрезками: типа, $[1,1]=\{1\}$.
Я могу представить себе математический курс, в котором это трактуется именно так.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 22:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8623
Mikhail_K в сообщении #1175550 писал(а):
Здесь, конечно, несколько дискуссионным является вопрос, считать ли отдельные точки тоже отрезками: типа, $[1,1]=\{1\}$.
Я могу представить себе математический курс, в котором это трактуется именно так.
Более того, это в некотором смысле удобно, т.к. одноточечное множество сохраняет топологические свойства отрезка (связность, компактность, замкнутость).

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение09.12.2016, 23:56 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Del

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение10.12.2016, 00:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8623
Del.

 Профиль  
                  
 
 Re: Непрерывность функции
Сообщение10.12.2016, 00:07 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
Nickspa в сообщении #1175531 писал(а):
Непрерывное отображение - открытые в открытые по определению, значит и замкнутые в замкнутые, следовательно прообраз точки замкнут

Судя по "следовательно", видимо, Вы имели в виду "прообраз открытого - открыт, значит..." - и тогда все верно.
Про отрезки: потребуется теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
Обратное - оно действительно верно. Попробуйте от противного, типа,
Пусть в точке $a$ - разрыв. Рассмотрим отрезки $[a-\frac{1}{n}, a+ \frac{1}{n}]$, их образы, и их пересечение. Оно - отрезок, не равный точке $ b = f(a)$ (Да?), но содержащий ее. Рассмотрим прообраз не точки $b$ из него. Он - не замкнут (?!)..

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group