Модули над формальными степенными рядами

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173307 писал(а):

То есть не только число два, но и....
А там - то же. Так что же такое элемент $x$ в том фактор-кольце?

Ну там тоже в класс смежности нуля например будут входить все те элементы, которые имеют вид $a_2x^2+a_3x^3...$
Но тогда и получается что класс смежности будет иметь вид $[a_0+a_1x]$?

[Otta]

Определение класса смежности дайте, пожалуйста. По идеалу $I$.

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173310 писал(а):

Определение класса смежности дайте, пожалуйста. По идеалу $I$.

Класс смежности элемента $x$ по идеалу $I$ - это все те элементы $y$, для которых $x-y \in I$

[Otta]

Вот берем то, что Вы назвали классом смежности. Там находится и число 1, и элемент $x$ исходного кольца (а также все остальное кольцо в придачу, надо же). Проверяйте, действительно ли это класс смежности. По определению.

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173316 писал(а):

Вот берем то, что Вы назвали классом смежности. Там находится и число 1, и элемент $x$ исходного кольца (а также все остальное кольцо в придачу, надо же). Проверяйте, действительно ли это класс смежности. По определению.

Ну берем определение из википедии:
Пусть $I$ — двусторонний идеал кольца $R$. Определим на $R$ отношение эквивалентности:
$ a\sim b$ тогда и только тогда, когда $ a-b\in I$
Класс эквивалентности элемента $a$ обозначается как $[a]$ или $a+I$ и называется классом смежности по модулю идеала.

[Otta]

Меня устраивало Ваше определение. Проверяйте.

---

А когда проверите:
1) сделайте выводы.
2) выпишите (явно) все классы смежности, их общий вид,
3) а потом посмотрим, остались ли вопросы.

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173319 писал(а):

Меня устраивало Ваше определение. Проверяйте.

Берем произвольный элемент $k[[x]]$: $X=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...$, вычитая из него другой элемент, который должен попасть в класс смежности, должны получить наш идеал $X-Y=I$ , то есть: $X=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...- Y=a_2x^2+....$, то есть $Y=a_0+a_1x$

[Otta]

Определение не предлагает брать произвольный элемент кольца и показывать, что при вычитании некоторого другого получится элемент идеала. Следуйте ему буквально.
Буквально - там написано абсолютно другое. Вы мне сказали свой класс смежности, я предлагаю проверить по определению (на двух конкретных элементах), не рухнет ли Ваше предположение прямо сразу. Верно ли, что и единица, и $x$ - элементы Вашего класса? Да? Нет?
Если верно - где должна находиться их разность?
Находится ли?

[ikozyrev]

Так таких классов смежности будет много. $a_0+a_1x$- это их общий вид. 1 например попадёт в класс смежности [1] в который попадут все элементы вида $1+I$, x попадёт в класс смежности [x+I], а $x^2$ в нулевой класс.

[Otta]

Стоп. Так где должна лежать разность указанных элементов, - как-то я уже утомилась их указывать? Лежит она там? Вы упорно игнорируете этот вопрос.

А что их будет много - так никто и не отрицал. Даже в вопросе задачи - про размерность соотв. векторного пространства. А у Вас пока был один.

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173334 писал(а):

Стоп. Так где должна лежать разность указанных элементов, - как-то я уже утомилась их указывать? Лежит она там? Вы упорно игнорируете этот вопрос.

1-x должна лежать в классе смежности [a_0+a_1x+I]

[Otta]

(Оффтоп)

Формулы оформляйте.

ikozyrev в сообщении #1173336 писал(а):

1-x должна лежать в классе смежности

Неправда. См. определение класса смежности. Оно, Вашими стараниями, было выше.

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173337 писал(а):

(Оффтоп)

Формулы оформляйте.

ikozyrev в сообщении #1173336 писал(а):

1-x должна лежать в классе смежности

Неправда. См. определение класса смежности. Оно, Вашими стараниями, было выше.

Ну да, $a_0+a_1x$ - это не класс смежности, согласен. 1-x тогда должен лежать в идеале а оно там не лежит очевидно. Правильное название классов смежности в нашем случае -$[a_0+a_1x+I]$

[Otta]

ikozyrev в сообщении #1173341 писал(а):

в нашем случае -$[a_0+a_1x+I]$

Так, еще раз. элемент 1 - принадлежит ему?
Элемент $x$ - принадлежит?

[ikozyrev]

Otta в сообщении #1173342 писал(а):

ikozyrev в сообщении #1173341 писал(а):

в нашем случае -$[a_0+a_1x+I]$

Так, еще раз. элемент 1 - принадлежит ему?
Элемент $x$ - принадлежит?

Кому ему? Их же много!
1 принадлежит классу [1+I] а x принадлежит [x+I], это разные классы.