ikozyrevА теперь можно вернуться к Вашему стартовому посту, и дать ответ на поставленный там вопрос: ДА, почти.
Почему ДА: Наш модуль
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
- шестимерный над
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
. Рассмотрим отображение его в себя, состоящее в умножении элемента модуля на формальный ряд ( одночлен) "
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
". Из линейности операции умножения следует, что это отображение - линейное, из шестимерного
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
в
![$V$ $V$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/a/a9a3a4a202d80326bda413b5562d5cd182.png)
. Из линейности (по другому аргументу) операции умножения видим, что Вы совершенно правильно записали оператор умножения на произвольный формальный ряд.
Упражнение. Напишите соответствующие матрицы для:
![$M_6, M_2\times M_2 \times M_2, M_3 \times M_2$ $M_6, M_2\times M_2 \times M_2, M_3 \times M_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/2/df2bd3368ed4784995c453a5b93ae69282.png)
А вот теперь - про "почти". Надо еще, чтобы полученное выражение было определено для всех формальных рядов. Это возможно лишь тогда, когда опреатор - нильпотентный. Осталось перечислить все нильпотентные .
И, наконец, про "с точностью до изоморфизма". До изоморфизма - векторных пространств : это приводит к тому, что у изоморфных модулей соответствующие матрицы - подобны. Ну, слава богу, у нас есть жорданова нормальная форма...
Так что осталось .... Ну, и хорошо бы для каждого случая указать конкретный пример - в терминах фактор - колец, например.