Теорема Геделя и физика

[Утундрий]

Скажите, кто в теме, а эти занятные высказывания изолированы от всех других-прочих?

[nazarov_m]

Кому-то опять в голову пришло связывать теоремы Гёделя с физикой. Я бы посоветовал не открывать эту статью, так как это заведомо похоже на около научные бредни.

Никаких великих откровений и далеко идущих следствий теоремы Гёделя не дают. Фактически результат сводится к тому, что достаточно богатую теорию (включающую описание арифметики) не получится задать с помощью логики предикатов первого порядка конечным числом аксиом (или схем аксиом), так, чтобы на выходе получилась полная и непротиворечивая теория.

Если коротко, то не получится в математике сочетать логику первого порядка, конечную аксиоматизируемость, достаточно сложную арифметику (в форме Пеано), и полноту с непротиворечивостью. Это результат по формальной теории доказательств. К физике, биологии, химии, или ещё какой другой естественно научной сфере он не имеет никакого отношения. Делать из этого выводы о невозможности обосновать непротиворечивость математики будет только полнейший дилетант, а затем строить на его основе выводы о непознаваемости физической реальности --- дилетант удвоенный.

Если есть желание получить конечную аксиоматизируемость и непротиворечивость, то тогда можно использовать арифметику Пресбургера. Для неё доказана непротиворечивость, полнота и алгоритмическая разрешимость. Понятное дело что такая теория при этом будет беднее обычной арифметики.

Также можно просто взять за аксиомы все верные утверждения о натуральных (или действительных) числах и получите вполне работающую теорию. При этом она уже не будет конечно аксиоматизируемой.

[Someone]

nazarov_m в сообщении #1166871 писал(а):

конечным числом аксиом (или схем аксиом)

Насколько я помню, достаточно перечислимости множества аксиом.

[nazarov_m]

Цитата:

Насколько я помню, достаточно перечислимости множества аксиом.

Зависит от терминологии. Понимаем ли мы конечную аксиоматизируемость в строгом смысле или нет.
Если строго конечно аксиоматизируемость понимать, то тогда даже схемы аксиом запрещаются. В этом случае аксиоматика Пеано и теории множества Цермелло-Френкеля не будет считаться финитарной.
Собственно схемы аксиом --- это не более чем рецепт для построения перечислимого множества аксиом. Схема аксиомы индукции в арифметики Пеано фактически порождает перечислимое множество "аксиом индукции". Допущение схем аксиом для формализации арифметик было принято Гильбертом как первое послабление для решения его второй проблемы.

[Anton_Peplov]

nazarov_m в сообщении #1168199 писал(а):

Собственно схемы аксиом --- это не более чем рецепт для построения перечислимого множества аксиом.

Разрешимого. Это более узкое условие, чем перечислимость.

[nazarov_m]

Anton_Peplov в сообщении #1168215 писал(а):

nazarov_m в сообщении #1168199 писал(а):

Собственно схемы аксиом --- это не более чем рецепт для построения перечислимого множества аксиом.

Разрешимого. Это более узкое условие, чем перечислимость.

Да, согласен.

[mihaild]

Если я правильно помню, нужно чтобы $\box$ задавался $\Sigma_1$ формулой. Для этого достаточно перечислимости (запишем протоколы генерации нужных аксиом в протокол проверки доказательства).

В любом случае, есть $NBG$, так что конечная аксиоматизируемость неважна.

[kp9r4d]

nazarov_m
Мне кажется, вы слишком платонист и именно поэтому столь сильно упрощаете ситуацию.

nazarov_m в сообщении #1166871 писал(а):

Также можно просто взять за аксиомы все верные утверждения о натуральных (или действительных) числах и получите вполне работающую теорию. При этом она уже не будет конечно аксиоматизируемой.

Теорема Гёделя по сути и говорит о том, что истинность - понятие очень непонятное и обращаться с ним нужно сверхосторожно. Вы вот мыслите про любое утверждение будто оно истинно или нет само по себе, безотносительно нас, а теорема Гёделя и показывает, что истинность - достаточно дешёвое понятие, берём недоказуемое утверждение и прибавляем его к аксиомам - получаем один унивёрсум в котором это утверждение истинно, прибавляем отрицание - получаем другой универсум, в котором оно ложно.

nazarov_m в сообщении #1166871 писал(а):

Это результат по формальной теории доказательств. К физике, биологии, химии, или ещё какой другой естественно научной сфере он не имеет никакого отношения.

Никто выводов и не делает, все только строят метафоры. Метафоры - вещь очень хорошая.

[Anton_Peplov]

kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):

Никто выводов и не делает, все только строят метафоры.

Боюсь, Вы слишком высокого мнения о людях. От болтунов, кричащих "Гёдель доказал, что наш мир не познаваем наукой", аж воздух звенит. Некоторые из них имеют дипломы и степени по философии, но, ЧСХ, точную формулировку ни одной из теорем Гёделя они привести не в состоянии. И даже о том, что теорем несколько, не в курсе.

kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):

Метафоры - вещь очень хорошая.

Это утверждение недоказуемо. Половник - тоже вещь очень хорошая, чтобы наливать им суп. Но очень плохая, чтобы ковырять в носу. Я к тому, что всякой вещи свое время и место, и всякой метафоре в том числе. Так вот именно упомянутую Вами метафору (даже в том случае, когда это именно метафора) слишком часто суют в такие места, что и общий наркоз не помогает.

[arseniiv]

kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):

берём недоказуемое утверждение и прибавляем его к аксиомам - получаем один унивёрсум в котором это утверждение истинно, прибавляем отрицание - получаем другой универсум, в котором оно ложно

Эм. Тут что-то явно пропущено посередине.

-- Ср ноя 16, 2016 22:29:56 --

kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):

Вы вот мыслите про любое утверждение будто оно истинно или нет само по себе, безотносительно нас

А чтобы опровергнуть это, не нужна ни одна из теорем Гёделя, потому что истинность, разумеется, зависит от интерпретации.

[kp9r4d]

arseniiv в сообщении #1169532 писал(а):

А чтобы опровергнуть это, не нужна ни одна из теорем Гёделя, потому что истинность, разумеется, зависит от интерпретации.

А вам без теоремы Гёделя очевидно, что у PA или у любой другой foundation-теории больше одной модели?

arseniiv в сообщении #1169532 писал(а):

Эм. Тут что-то явно пропущено посередине.

Что же?

[Xaositect]

kp9r4d в сообщении #1169563 писал(а):

А вам без теоремы Гёделя очевидно, что у PA или у любой другой foundation-теории больше одной модели?

Да, для доказательства этого обычно используют не Геделя, а компактность.

[kp9r4d]

Ну можно и так, или Левенгейма-Скулема (что конечно же одно и то же). В любом случае это делается не на уровне определений, а нужны какие-то трюки.

[arseniiv]

kp9r4d в сообщении #1169563 писал(а):

Что же?

Написал сначала много букв, но в предположении, что что-то просто упустил, сделаю по-другому. Вот

kp9r4d в сообщении #1169500 писал(а):

берём недоказуемое утверждение и прибавляем его к аксиомам - получаем один унивёрсум в котором это утверждение истинно, прибавляем отрицание - получаем другой универсум, в котором оно ложно.

это мне почему-то хочется обобщить в $\Gamma,\varphi\vDash\varphi$. Это будет верно, даже когда никаких моделей у $\Gamma,\varphi$ нет. И притом это очевидно, потому что $\varphi\vDash\varphi$, а добавление в множество формул не увеличивает число его моделей. Так что я, видимо, что-то из контекста обсуждения упускаю.

[kp9r4d]

arseniiv в сообщении #1169571 писал(а):

это мне почему-то хочется обобщить в $\Gamma,\varphi\vDash\varphi$. Это будет верно, даже когда никаких моделей у $\Gamma,\varphi$ нет. И притом это очевидно, потому что $\varphi\vDash\varphi$, а добавление в множество формул не увеличивает число его моделей. Так что я, видимо, что-то из контекста обсуждения упускаю.

Ну, под туманным словом "унивёрсум" я конечно полагал только непротиворечивые теории, противоречивые совсем неинтересные. То есть удивляет сама возможность "расщепить" foundation-теорию на две более тонкие противоречащие друг-другу одинаково ценные foundation-подтеории - результат очень в духе постмодерна ^^ Если бы PA была полна, то для любого $\varphi$: $PA, \varphi$ и $PA, \neg \varphi$ давали бы тривиальное расширение и противоречивую теорию - это, конечно, ситуация совсем неинтересная и ничего не показывающая. Или я неверно ваше замечание понял?