Теорема Геделя и физика

[KVV]

Вот наткнулся на статью в Nature с довольно громким заголовком:

Paradox at the heart of mathematics makes physics problem unanswerable

Был бы рад услышать мнения специалистов по материалу статьи и в общем о месте теоремы Геделя в физике.

[Xaositect]

Комментарий Ааронсона: http://www.scottaaronson.com/blog/?p=2586

[Munin]

Мне было интересно прочитать у Вавилова, что и в математике-то место теоремы Гёделя - очень скромное.
Вавилов. Не совсем наивная теория множеств. (web draft)
Там сказано во введении:

Цитата:

• Если упоминать теорему Геделя, то только в паре с теоремой Генцена. Дело в том, что теорема Геделя утверждает, что непротиворечивость арифметики невозможно доказать определенными средствами. Однако она не говорит, что этого нельзя сделать другими, не менее надежными средствами!!! Доказательство Геделя состояло в том, что он сопоставлял каждой формуле некоторое очень большое натуральное число — геделевский номер. С другой стороны и это почему-то уже гораздо менее известно, в 1936 году Герхард Генцен точно так же доказал непротиворечивость арифметики, сопоставляя каждой формуле некоторое не очень большое счетное ординальное число. Разница между доказательством Геделя и доказательством Генцена не заметна невооруженным глазом. Степень нашей уверенности в справедливости той формы индукции, которой пользовался Генцен. ничуть не меньше, чем в обычных аксиомах арифметики. Разумеется, результат Генцена не приобрел скандальной известности за пределами логического сообщества ровно потому, что он доказывает то, во что все и так верят, непротиворечивость арифметики!
    Теорема Геделя занимает такое же место в истории математики, как доказательство невозможности трисекции угла при помощи циркуля и линейки и невозможность решения уравнения пятой степени в радикалах. Это очень почетное место!!! Эти проблемы сыграли огромную роль в историческом развитии математики. Однако они не имеют никакого отношения к ее сегодняшнему состоянию и никаким образом не рассматриваются математиками в качестве ограничений.

• Теорема Геделя есть математическая теорема, которая состоит из контекста(ов?), формулировки(ок?), доказательства(в?), интерпретации(ий?) и т.д. Однако обычная журналистская практика состоит в том, чтобы позиционировать ее не как теорему математики, а как теорему о математике. Но теорема Геделя не говорит ничего о математике. Она говорит нечто о генерации некоторого специального вида текстов в некотором специальном типе формальных систем.
    Программа Гильберта носит чисто апологетический характер. Он хотел ограничить те средства, которые используются для обоснования (или, как говорит Феферман, оправдания) математики, до абсолютного минимума, до средств признаваемых как допустимые всеми математиками, включая Брауэра. Сам Гильберт, как совершенно ясно из всех оставленных им текстов, никогда. не стоял на финитистских позициях и полностью разделял обычную математическую интерпретацию канторовского учения с неограниченным признанием актуальной бесконечности. Поэтому смешно называть тезисом Гильберта одиозное утверждение, что нет логики, кроме логики первого порядка. Теорема Геделя представляет собой не крах Гильбертовской программы обоснования математики, как об этом пишут журналисты. Она утверждает лишь, что Гильберту не удалось бы убедить Брауэра.

[Someone]

Конечно, если какую-нибудь физическую теорию формализовать в языке первого порядка, причём, так, чтобы выполнялись условия теоремы Гёделя, то в такой теории нашлось бы утверждение, недоказуемое средствами этой теории. Возможно, среди таких утверждений нашлись бы и физически интересные. Ну и что? Просто физикам нужно было бы экспериментально выяснить, верно это утверждение или неверно, и добавить в теорию соответствующую аксиому.

[chislo_avogadro]

Попытаюсь конкретизировать вопрос. Известны яростные споры о полноте квантовой механики. Однако гёделевская математическая кувалда в них в ход пущена не была. И вообще дело решилось как раз в пользу полноты. Физики просто не пользуются "языком первого порядка"?

[iifat]

По-моему, кроме слова «полнота» ничего другого эти два вопроса не объединяет. Так что, для полноты вопроса можно ещё добавить магазины одежды для полных людей.

[Someone]

chislo_avogadro в сообщении #1082632 писал(а):

Попытаюсь конкретизировать вопрос. Известны яростные споры о полноте квантовой механики. Однако гёделевская математическая кувалда в них в ход пущена не была.

Ничего удивительного. Потому что полнота квантовой механики, которую обсуждают физики, не имеет никакого отношения к полноте формальной теории первого порядка, которую обсуждают математики.

[Xaositect]

Munin в сообщении #1082434 писал(а):

Мне было интересно прочитать у Вавилова, что и в математике-то место теоремы Гёделя - очень скромное.
Вавилов. Не совсем наивная теория множеств. (web draft)
Там сказано во введении:
[...]

Довольно странное высказывание. Теорема Геделя же применима не только к арифметике, но и, например, к аксиоматическим теориям множеств. Это, конечно, правда, что она говорит о генерации текстов в специальном типе систем, но этот специальный тип не такой узкий, как его хочет выставить Вавилов. То же доказательство Генцена проводится во вполне себе теории первого порядка.
Более того, если мы говорим о логике второго порядка и так далее, то все равно неполнота вылезает, она просто сдвигается - теперь у нас семантическое понятие истинности не покрывается никаким (рекурсивно перечислимым) синтаксическим понятием выводимости. А выводимость это именно то, что моделирует реальную математику - возможность доказательства чего-то из некоторого числа строго очерченных правил.

[schoolboy]

Вообще-то теорем Гёделя больше, чем одна. Мне лично больше всего нравится первая теорема, которая утверждает, что исчисление предикатов первого порядка, как теория, полна и непротиворечива. Проблемы начинаются с арифметики, и именно про эти теории говорится, что с ними не так, как с теорией предикатов.

Сюда приплетают еще машину Тьюринга, якобы ей соответствуют реальные компьютеры. Глупости это. Нет в реальных компьютерах бесконечной ленты. В реальных компьютерах булева алгебра, а это, по сути, даже меньше чем теория предикатов, это исчисление высказываний, и с этой теорией совсем всё хорошо. Машина Тьюринга как раз близка по сути арифметике, так же как алгорифмы Маркова или частично-рекурсивные функции, которые ей эквивалентны.

Что такое арифметика? Главное в ней есть натуральный ряд, это когда после каждого числа есть следующее. То есть мы такие великие, что всегда можем прибавить единицу. В реальном компьютере нет натурального ряда, в нём всегда есть число, после которого нет следующего. Вот только если мы никогда не отказываемся от своей способности всегда прибавлять единицу, нас ожидает засада - диагонализационные конструкции и всяческие проблемы брадобрея - брить или не брить самого себя.

По-моему разумению, физики используют математику не как теорию, а как инструмент. Поэтому, может быть, всегда можно отказаться от слишком вызывающих математических фокусов. Хотя можно на них и нарваться, примеры есть попроще, чем невычислимость какой-то энергетической щели в бесконечных решетках. Например, сингулярности в физике тоже не сахар.

Теоретически можно физикам использовать только чистую в этом отношении булеву алгебру. Но за запрет для физиков использовать арифметику меня здесь могут забанить.

[arseniiv]

Зачем отказываться, когда можно наоборот:

Someone в сообщении #1082456 писал(а):

Просто физикам нужно было бы экспериментально выяснить, верно это утверждение или неверно, и добавить в теорию соответствующую аксиому.

[chislo_avogadro]

Someone в сообщении #1082639 писал(а):

полнота квантовой механики, которую обсуждают физики, не имеет никакого отношения к полноте формальной теории первого порядка, которую обсуждают математики.

Справедливо ли обобщение - теорема Гёделя к физике никакого отношения отношения не имеет?

[Red_Herring]

chislo_avogadro в сообщении #1082696 писал(а):

Справедливо ли обобщение - теорема Гёделя к физике никакого отношения отношения не имеет?

И более того—она интересна только "для общего развития" подавляющему большинству математиков.

[KVV]

Интересно, а кто-то из крупных известных физиков, может в качестве трепа в популярных трудах, уделял слишком серьезное и неоправданное внимание Геделю?

[Anton_Peplov]

Пенроуз.

[chislo_avogadro]

Ещё можно вспомнить Манина. Не физик, но "тяготевший". Оба напирают на значение теоремы для теории познания.

(Манин. Математика как метафора)

Строго говоря, эта теорема является «высоко техническим» утверждением о специальном и весьма сложном комбинаторном объекте — формальном языке арифметики первого порядка. Однако и формулировка, и доказательство Геделя допускают целый спектр расширительных толкований, которым и определяется общефилософское значение результата.
...Если даже оставить в стороне вопрос, насколько сложен мир, мы знаем, что метод дедуктивных выводов недостаточно мощен. Его не хватает даже на то, чтобы вывести из конечного числа принципов все истинные утверждения о целых числах, формулируемые на языке школьной алгебры: таков смысл теоремы Геделя.
...можно сравнивать, пожалуй, только анализ квантовомеханических представлений о «дополнительности» и «неопределенности», распространенный Нильсом Бором далеко за пределы физики микромира. Не исключено, что оба этих круга идей — логики и квантовой механики — в применении к теории познания имеют глубинную связь. Дело в том, что «принципы запрета» Геделя относятся к строго детерминированным процессам рассуждения, тогда как квантовая механика как раз очерчивает границы наивного детерминизма.

Pphantom:

Привел цитату к читаемому виду.