Фотоны

[warlock66613]

amon в сообщении #1158790 писал(а):

Я, наверно, чего-то не понял, но для одного осциллятора оператор $\frac{1}{2}\left(q-\frac{d}{dq}\right)\left(q+\frac{d}{dq}\right)$ имеет собственными значениями исключительно целые неотрицательные числа.

Да, я уже это понял (посчитал). Но всё равно не могу понять, какая такая "дельта-функция" соответствует монохроматической волне очень высокой частоты и очень малой амплитуды. То ли это как раз когерентное состояние, но ведь когерентное состояние - это не монохроматическая волна...

[amon]

warlock66613 в сообщении #1158826 писал(а):

не могу понять, какая такая "дельта-функция" соответствует монохроматической волне

Я этого тоже пока не понимаю. Посему, послежу за обсуждением.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1158826 писал(а):

Но всё равно не могу понять, какая такая "дельта-функция" соответствует монохроматической волне очень высокой частоты и очень малой амплитуды.

Я такого вопроса не видел заданным, поэтому не могу понять, как он сюда вообще возник.

Я напомню, что речь шла вот о чём:

arseniiv в сообщении #1158377 писал(а):

Я понял, что представление квантового поля как $f\colon F\to\mathbb C$ как минимум нуждается в коррекции. Мы можем взять с единичным весом любое сколь угодно близкое к нулю классическое поле из $F$. По-моему, это не очень-то представимо любым состоянием квантового поля. Скажите что-нибудь.

Здесь $F\to\mathbb{C}$ - это вектор состояния в "(обобщённо)-координатном" представлении. Аналог в КМ - обычная координатная волновая функция. Но arseniiv и в КМ "плавает" пока, увы. Он берёт одно из состояний с единичным весом. Что такое "классическое состояние"? Это точка в координатном пространстве (или в фазовом, что не сильно меняет дело). Такое состояние задать с единичным весом можно (точнее, с дельта-подобным, потому что мы в непрерывном пространстве), но в квантовом смысле это очень плохое состояние. Оно является суперпозицией бесконечного количества квантовых собственных состояний. (Ср. с тем, как дельта-функция - есть сумма бесконечного числа синусоид, если рассматривать её преобразование Фурье.) Такое состояние может существовать только один момент времени, а в следующее мгновение оно "рассыплется вдребезги", потому что каждая волна, каждое состояние в суперпозиции, начнёт эволюционировать со своей скоростью, и их фазы перестанут удачно складываться. Мы имеем демонстрацию соотношения неопределённостей, доведённую до предела: $\Delta x\,\Delta p\geqslant\hbar/2,$ где $\Delta x\to 0,$ и поэтому $\Delta p\to\infty.$

С этим разговором, который я попытался объяснить arseniiv, быстро перепутался другой разговор - о

arseniiv в сообщении #1158617 писал(а):

но есть же состояния, которые эволюционируют сколь угодно близко к классическим.

Такие состояния есть, они называются когерентными (и шире квазиклассическими), но при том, что они эволюционируют близко к классическим, сами по себе они не близки к классическим. Напротив, они "размазаны" вокруг аналогичного классического, наподобие гауссова (или другого) волнового пакета, и то же соотношение неопределённостей реализуют как-то в виде $\Delta x\sim\Delta p\sim\sqrt{\hbar}.$ (Квазиклассические могут отклоняться от $\Delta x\sim\Delta p.$) Разумеется, это "совсем другая песня". И arseniiv надо разобраться с тем, как вообще квазиклассические решения устроены и эволюционируют, и как и в каком смысле здесь усматривается аналогия с классикой.

Чтобы понять эти абстрактные вещи, я призываю его поупражняться на простых наглядных примерах: в.ф. в атоме водорода и в гармоническом осцилляторе.

Sicker варится в своём соку, и изредка влезает с совершенно другими вопросами, на которые можно дать краткие ответы.

Примерно так я вижу разговор в этой теме, считая с 3-й страницы.

[arseniiv]

Угу, я тоже как-то так вижу. И хочу, если явно ещё не сказал, немного извиниться перед ТС за по существу захват темы.

[warlock66613]

Munin в сообщении #1158923 писал(а):

Я такого вопроса не видел заданным, поэтому не могу понять, как он сюда вообще возник.

Ну я именно так воспрянял процитированный вопрос arseniiv, и поскольку сам не смог на него ответить, то с интересом следил за дальнейшим.

Munin в сообщении #1158923 писал(а):

С этим разговором, который я попытался объяснить arseniiv, быстро перепутался другой разговор

К этой части вопросов нет.

Munin в сообщении #1158923 писал(а):

Такое состояние задать с единичным весом можно (точнее, с дельта-подобным, потому что мы в непрерывном пространстве), но в квантовом смысле это очень плохое состояние. Оно является суперпозицией бесконечного количества квантовых собственных состояний. (Ср. с тем, как дельта-функция - есть сумма бесконечного числа синусоид, если рассматривать её преобразование Фурье.)

То есть классическому состоянию в виде плоской гармонической волны мы можем сопоставить как минимум три разных квантовых состояния:
1) одноосцилляторное состояние с волновым вектором, равным волновому вектору классического состояния и примерно совпадающей амплитудой (примерно, поскольку число фотонов — степень возбуждения осциллятора — дискретная величина);
2) дельта-образное;
3) когерентное, которое перейдёт в соответствующее классическое по принципу соответствия.

При этом и (2) и (3) — это состояния с неопределённым числом фотонов.

Так?

-- 12.10.2016, 21:36 --

В случае квантовой механики и, для конкретики, атома водорода это будут соответственно 1) стационарное состояние; 2) $\delta(\mathbf r-\mathbf r_0)$; 3) квазиклассически движущийся волновой пакет.

[Munin]

Я пока дам вот такую картинку широко известную:

Это когерентные состояния, полученные экспериментально. Каждое из них - постепенно всё большей и большей амплитуды, и в результате всё меньше и меньше (относительно) квантовый шум. По мере роста амплитуды, они становятся похожи на классические волны. Но при малой амплитуде - видно, что сильно непохожи.

С точки зрения осциллятора - это состояния такие, как в клеточке H:

А первые четыре клеточки C-F - это собственные состояния осциллятора, из суперпозиции которых (бесконечного числа, вообще говоря) и собирается когерентное.

Если бы мы делали "собственные" состояния в виде такой же развёртки, как на верхней картинке, то получили бы не что-то вроде синусоид, а сплошные горизонтальные полосы. Это я вижу как аналог утверждения, что "у $n$-фотонного состояния фаза полностью неопределена".

Ну а дельту и её временную эволюцию позвольте не комментировать пока. Я не уверен, что для этого есть картинки :-)

[warlock66613]

Munin в сообщении #1159326 писал(а):

Ну а дельту и её временную эволюцию позвольте не комментировать пока. Я не уверен, что для этого есть картинки :-)

Не так интересна временная эволюция, как вид этого состояния в представлении Фока.

[Munin]

А что, берёте и раскладываете в суперпозицию по собственным ($n$-фотонным) состояниям. Явный вид такого разложения я где-то видел, но не помню навскидку. В общем, получается бесконечная сумма. Тут есть люди, которые в когерентных состояниях разбираются, а не плавают, как я, - они могут дать ответ быстрее и точнее.

А! Речь про дельту. Ну так ещё проще. $\delta(x-x_0)$ - это сумма состояний, каждое из которых взято с весом $\psi_n(x_0).$

[warlock66613]

Munin в сообщении #1159332 писал(а):

А что, берёте и раскладываете в суперпозицию по собственным ($n$-фотонным) состояниям.

Разложить обобщённый функционал по базису? Для меня задача выглядит пугающе.

[Munin]

Тихо-тихо. Мы пока раскладываем обобщённую функцию на действительной прямой. Задача не сложнее, чем фурье-преобразование (впрочем, математики нас пужают, что и это страшно, но мы их слушать не будем).

[fizeg]

Действительно дельта-функцию вполне себе разлагают по базису в Фурье-анализе. Да и вообще, полнота набора функций $\phi_n(x)$ означает, что для любой хорошей функции $\psi(x)$ верно
$\psi(y)=\sum\limits_n\phi_n(y)\int_{-\infty}^{+\infty}dx\phi_n(x)^\ast\psi(x)$
из-за чего мы можем сказать, что такая сумма действует на нашем классе функций как дельта
$\sum\limits_n\phi_n(y)\phi_n(x)^\ast=\delta(x-y)$
что просто является обобщением соотношения полноты в конечномерной линейной алгебре $\sum_n e_n e_n^T=I$

Но если дельта-функцию еще можно попытаться представить аналогично честным функциям, если ее проэволюционировать, получится весьма поганая штука. Так что математики правильно пужают

Но дельта так легко воспринимается, потому что она получается как предел сильно локализованных колокольчиков. И в данном случае речь все-таки идет именно про идеализацию таких сильно локализованных состояний. Один из вариантов - суммировать (интегрировать в случае непрерывного спектра) не до бесконечности, а до какого-то большого числа $N$. В Фурье-анализе это дает локализованные конфигурации а-ля $\sin(x)/x$. Так и для осциллятора будут получаться похожие вещи. Если есть какой-нибудь математический пакет, то очень полезно сделать достаточно простую (не требующую никаких численных решений диффуров) и прямолинейную вещь. Взять и построить графики функции,
$\psi_t(x)=\sum\limits_{n=0}^N e^{-i\omega(n+\frac{1}{2})t}\phi_n(y)\phi_n(x)$
где $\phi_n(x)$ - собственные функции осциллятора, $y$ - точка, в которой вы хотите локализовать в начальный момент времени свой волновой пакет (желательно не очень далеко от нуля, иначе потребуется большое $N$), ну а $N$ нужно взять ну хотя бы 10ку.

Будет происходить следующее - поначалу хорошо локализованный колокольчик раздует по довольно большой области. Для свободной частицы это бы так и продолжалось. Но у нас осциллятор - в конце периода все сдуется обратно в тот же самый колокольчик.

Чем уже будет первоначальный колокольчик, тем быстрее и сильнее его будет раздувать. Идеализованная же идеально локализованная волновая функция в некотором смысле размазывается мгновенно и на всю вещественную ось. Именно поэтому для "классических" состояний они ну никак не годятся.

[Munin]

fizeg в сообщении #1159342 писал(а):

Но если дельта-функцию еще можно попытаться представить аналогично честным функциям, если ее проэволюционировать, получится весьма поганая штука.

В координатном представлении да. А в энергетическом - то же, что и раньше.

fizeg в сообщении #1159342 писал(а):

Но дельта так легко воспринимается, потому что она получается как предел сильно локализованных колокольчиков.

Кстати, да, можно взамен просто узкие колокольчики эволюционировать. Будет примерно понятно, что происходит. (Да и в реальности не бывает дельт, а бывают колокольчики, например, после измерения координаты прибором, реальным, а не идеальным.)

fizeg в сообщении #1159342 писал(а):

Но у нас осциллятор - в конце периода все сдуется обратно в тот же самый колокольчик.

А через полпериода? ;-)

[fizeg]

Munin в сообщении #1159347 писал(а):

В координатном представлении да. А в энергетическом - то же, что и раньше.

Для того собственные функции все время и ищут. Но в энергетическом представлении нельзя очевидным образом соотнести квантовую науку с классической.

Munin в сообщении #1159347 писал(а):

А через полпериода?

Это да, соберется он и через полпериода. Но с одной оговоркой - все нечетные $\phi_{2n+1}$ поменяют знак. А это значит, что соберется он не около $y$, а около $-y$.

-- 13.10.2016, 13:52 --

На самом деле, если уж на то пошло, то для осциллятора есть еще прекрасный способ понять, что будет происходить, не строя никаких графиков и ничего не считая

В Гейзенберговском представлении операторы координаты и импульса зависят от времени. Эту зависимость легко найти:
$x(t)=x(0)\cos{\omega t}+\frac{p(0)}{m\omega}\sin{\omega t},\quad p(t)=p(0)\cos{\omega t}-m\omega x(0)\sin{\omega t}$
Когда $\omega t=\pi/2$ операторы координаты и импульса меняются местами
$x\Big(\frac{\pi}{2\omega}\Big)=\frac{p(0)}{m\omega},\quad p\Big(\frac{\pi}{2\omega}\Big)=-m\omega x(0)$

Соответственно в Шредингеровском представлении изначальная волновая функция с точностью до масштабирования является Фурье-образом волновой функции при $\omega t=\pi/2$.

Таким образом через четверть периода волновая функция сильно локализованная по координате превращается в сильно локализованную по импульсу, т.е. почти в плоскую волну.

[Sicker]

А если мы захотим рассмотреть МОНСТРА для нулевых колебаний, то тогда у нас будут иметь ненулевую амплитуду состояния поля, для которых $Q_k$ не стремятся к нулю при $k$ стремящемся к бесконечности, или это нормально?

[Munin]

fizeg в сообщении #1159391 писал(а):

Эту зависимость легко найти:
$x(t)=x(0)\cos{\omega t}+\frac{p(0)}{m\omega}\sin{\omega t},\quad p(t)=p(0)\cos{\omega t}-m\omega x(0)\sin{\omega t}$

О, красиво-то как! А я чего-то даже не сообразил подумать в этом направлении. А тут вся эволюция пакета как на ладони. Не только через полпериода или четверть периода, а вообще вся.

-- 13.10.2016 15:13:57 --

Sicker в сообщении #1159411 писал(а):

А если мы захотим рассмотреть МОНСТРА для нулевых колебаний, то тогда у нас будут иметь ненулевую амплитуду состояния поля, для которых $Q_k$ не стремятся к нулю при $k$ стремящемся к бесконечности, или это нормально?

Увы, да, "это нормально". Это одна из расходимостей КТП - бесконечная энергия вакуума. ("Нулевые колебания" - это вакуум и есть.)

В других ситуациях при $k\to\infty$ возникают другие бесконечности. Они все в общем называются ультрафиолетовыми расходимостями (по причине того, что высокие частоты - это "ультрафиолетовый" конец спектра).

Бывают ещё и расходимости в области $k\to 0$ - они, соответственно, называются инфракрасными расходимостями. Они менее тревожны и неудобны. Скорее, они могут быть неприятны от неудачного выбора языка. Например, если энергия возмущения при $k\to 0$ уходит в нуль недостаточно быстро, то получается бесконечное число "мягких" ("инфракрасных") фотонов, которое портит попытки расчёта по теории возмущений (где мы последовательно наращиваем число фотонов).

-- 13.10.2016 15:20:53 --

Munin в сообщении #1159419 писал(а):

fizeg в сообщении #1159391 писал(а):

Эту зависимость легко найти:
$x(t)=x(0)\cos{\omega t}+\frac{p(0)}{m\omega}\sin{\omega t},\quad p(t)=p(0)\cos{\omega t}-m\omega x(0)\sin{\omega t}$

О, красиво-то как! А я чего-то даже не сообразил подумать в этом направлении. А тут вся эволюция пакета как на ладони. Не только через полпериода или четверть периода, а вообще вся.

Не, красиво всё-таки! Продолжаю подставлять сюда разные псишки, и наслаждаться результатом.