2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Фотоны
Сообщение11.10.2016, 10:13 
Заслуженный участник


02/08/11
7069
amon в сообщении #1158790 писал(а):
Я, наверно, чего-то не понял, но для одного осциллятора оператор $\frac{1}{2}\left(q-\frac{d}{dq}\right)\left(q+\frac{d}{dq}\right)$ имеет собственными значениями исключительно целые неотрицательные числа.
Да, я уже это понял (посчитал). Но всё равно не могу понять, какая такая "дельта-функция" соответствует монохроматической волне очень высокой частоты и очень малой амплитуды. То ли это как раз когерентное состояние, но ведь когерентное состояние - это не монохроматическая волна...

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение11.10.2016, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5390
ФТИ им. Иоффе СПб
warlock66613 в сообщении #1158826 писал(а):
не могу понять, какая такая "дельта-функция" соответствует монохроматической волне
Я этого тоже пока не понимаю. Посему, послежу за обсуждением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение11.10.2016, 16:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
warlock66613 в сообщении #1158826 писал(а):
Но всё равно не могу понять, какая такая "дельта-функция" соответствует монохроматической волне очень высокой частоты и очень малой амплитуды.

Я такого вопроса не видел заданным, поэтому не могу понять, как он сюда вообще возник.

Я напомню, что речь шла вот о чём:
    arseniiv в сообщении #1158377 писал(а):
    Я понял, что представление квантового поля как $f\colon F\to\mathbb C$ как минимум нуждается в коррекции. Мы можем взять с единичным весом любое сколь угодно близкое к нулю классическое поле из $F$. По-моему, это не очень-то представимо любым состоянием квантового поля. Скажите что-нибудь.
Здесь $F\to\mathbb{C}$ - это вектор состояния в "(обобщённо)-координатном" представлении. Аналог в КМ - обычная координатная волновая функция. Но arseniiv и в КМ "плавает" пока, увы. Он берёт одно из состояний с единичным весом. Что такое "классическое состояние"? Это точка в координатном пространстве (или в фазовом, что не сильно меняет дело). Такое состояние задать с единичным весом можно (точнее, с дельта-подобным, потому что мы в непрерывном пространстве), но в квантовом смысле это очень плохое состояние. Оно является суперпозицией бесконечного количества квантовых собственных состояний. (Ср. с тем, как дельта-функция - есть сумма бесконечного числа синусоид, если рассматривать её преобразование Фурье.) Такое состояние может существовать только один момент времени, а в следующее мгновение оно "рассыплется вдребезги", потому что каждая волна, каждое состояние в суперпозиции, начнёт эволюционировать со своей скоростью, и их фазы перестанут удачно складываться. Мы имеем демонстрацию соотношения неопределённостей, доведённую до предела: $\Delta x\,\Delta p\geqslant\hbar/2,$ где $\Delta x\to 0,$ и поэтому $\Delta p\to\infty.$

С этим разговором, который я попытался объяснить arseniiv, быстро перепутался другой разговор - о
    arseniiv в сообщении #1158617 писал(а):
    но есть же состояния, которые эволюционируют сколь угодно близко к классическим.
Такие состояния есть, они называются когерентными (и шире квазиклассическими), но при том, что они эволюционируют близко к классическим, сами по себе они не близки к классическим. Напротив, они "размазаны" вокруг аналогичного классического, наподобие гауссова (или другого) волнового пакета, и то же соотношение неопределённостей реализуют как-то в виде $\Delta x\sim\Delta p\sim\sqrt{\hbar}.$ (Квазиклассические могут отклоняться от $\Delta x\sim\Delta p.$) Разумеется, это "совсем другая песня". И arseniiv надо разобраться с тем, как вообще квазиклассические решения устроены и эволюционируют, и как и в каком смысле здесь усматривается аналогия с классикой.

Чтобы понять эти абстрактные вещи, я призываю его поупражняться на простых наглядных примерах: в.ф. в атоме водорода и в гармоническом осцилляторе.

Sicker варится в своём соку, и изредка влезает с совершенно другими вопросами, на которые можно дать краткие ответы.

Примерно так я вижу разговор в этой теме, считая с 3-й страницы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение11.10.2016, 17:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Угу, я тоже как-то так вижу. И хочу, если явно ещё не сказал, немного извиниться перед ТС за по существу захват темы. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение12.10.2016, 20:31 
Заслуженный участник


02/08/11
7069
Munin в сообщении #1158923 писал(а):
Я такого вопроса не видел заданным, поэтому не могу понять, как он сюда вообще возник.
Ну я именно так воспрянял процитированный вопрос arseniiv, и поскольку сам не смог на него ответить, то с интересом следил за дальнейшим.
Munin в сообщении #1158923 писал(а):
С этим разговором, который я попытался объяснить arseniiv, быстро перепутался другой разговор
К этой части вопросов нет.
Munin в сообщении #1158923 писал(а):
Такое состояние задать с единичным весом можно (точнее, с дельта-подобным, потому что мы в непрерывном пространстве), но в квантовом смысле это очень плохое состояние. Оно является суперпозицией бесконечного количества квантовых собственных состояний. (Ср. с тем, как дельта-функция - есть сумма бесконечного числа синусоид, если рассматривать её преобразование Фурье.)
То есть классическому состоянию в виде плоской гармонической волны мы можем сопоставить как минимум три разных квантовых состояния:
1) одноосцилляторное состояние с волновым вектором, равным волновому вектору классического состояния и примерно совпадающей амплитудой (примерно, поскольку число фотонов — степень возбуждения осциллятора — дискретная величина);
2) дельта-образное;
3) когерентное, которое перейдёт в соответствующее классическое по принципу соответствия.

При этом и (2) и (3) — это состояния с неопределённым числом фотонов.

Так?

-- 12.10.2016, 21:36 --

В случае квантовой механики и, для конкретики, атома водорода это будут соответственно 1) стационарное состояние; 2) $\delta(\mathbf r-\mathbf r_0)$; 3) квазиклассически движущийся волновой пакет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение12.10.2016, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Я пока дам вот такую картинку широко известную:

    Изображение

Это когерентные состояния, полученные экспериментально. Каждое из них - постепенно всё большей и большей амплитуды, и в результате всё меньше и меньше (относительно) квантовый шум. По мере роста амплитуды, они становятся похожи на классические волны. Но при малой амплитуде - видно, что сильно непохожи.

С точки зрения осциллятора - это состояния такие, как в клеточке H:

    Изображение

А первые четыре клеточки C-F - это собственные состояния осциллятора, из суперпозиции которых (бесконечного числа, вообще говоря) и собирается когерентное.

Если бы мы делали "собственные" состояния в виде такой же развёртки, как на верхней картинке, то получили бы не что-то вроде синусоид, а сплошные горизонтальные полосы. Это я вижу как аналог утверждения, что "у $n$-фотонного состояния фаза полностью неопределена".

Ну а дельту и её временную эволюцию позвольте не комментировать пока. Я не уверен, что для этого есть картинки :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение12.10.2016, 23:43 
Заслуженный участник


02/08/11
7069
Munin в сообщении #1159326 писал(а):
Ну а дельту и её временную эволюцию позвольте не комментировать пока. Я не уверен, что для этого есть картинки :-)
Не так интересна временная эволюция, как вид этого состояния в представлении Фока.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение12.10.2016, 23:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
А что, берёте и раскладываете в суперпозицию по собственным ($n$-фотонным) состояниям. Явный вид такого разложения я где-то видел, но не помню навскидку. В общем, получается бесконечная сумма. Тут есть люди, которые в когерентных состояниях разбираются, а не плавают, как я, - они могут дать ответ быстрее и точнее.

А! Речь про дельту. Ну так ещё проще. $\delta(x-x_0)$ - это сумма состояний, каждое из которых взято с весом $\psi_n(x_0).$

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение13.10.2016, 00:10 
Заслуженный участник


02/08/11
7069
Munin в сообщении #1159332 писал(а):
А что, берёте и раскладываете в суперпозицию по собственным ($n$-фотонным) состояниям.
Разложить обобщённый функционал по базису? Для меня задача выглядит пугающе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение13.10.2016, 00:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Тихо-тихо. Мы пока раскладываем обобщённую функцию на действительной прямой. Задача не сложнее, чем фурье-преобразование (впрочем, математики нас пужают, что и это страшно, но мы их слушать не будем).

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение13.10.2016, 01:56 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Действительно дельта-функцию вполне себе разлагают по базису в Фурье-анализе. Да и вообще, полнота набора функций $\phi_n(x)$ означает, что для любой хорошей функции $\psi(x)$ верно
$\psi(y)=\sum\limits_n\phi_n(y)\int_{-\infty}^{+\infty}dx\phi_n(x)^\ast\psi(x)$
из-за чего мы можем сказать, что такая сумма действует на нашем классе функций как дельта
$\sum\limits_n\phi_n(y)\phi_n(x)^\ast=\delta(x-y)$
что просто является обобщением соотношения полноты в конечномерной линейной алгебре $\sum_n e_n e_n^T=I$

Но если дельта-функцию еще можно попытаться представить аналогично честным функциям, если ее проэволюционировать, получится весьма поганая штука. Так что математики правильно пужают :mrgreen:

Но дельта так легко воспринимается, потому что она получается как предел сильно локализованных колокольчиков. И в данном случае речь все-таки идет именно про идеализацию таких сильно локализованных состояний. Один из вариантов - суммировать (интегрировать в случае непрерывного спектра) не до бесконечности, а до какого-то большого числа $N$. В Фурье-анализе это дает локализованные конфигурации а-ля $\sin(x)/x$. Так и для осциллятора будут получаться похожие вещи. Если есть какой-нибудь математический пакет, то очень полезно сделать достаточно простую (не требующую никаких численных решений диффуров) и прямолинейную вещь. Взять и построить графики функции,
$\psi_t(x)=\sum\limits_{n=0}^N e^{-i\omega(n+\frac{1}{2})t}\phi_n(y)\phi_n(x)$
где $\phi_n(x)$ - собственные функции осциллятора, $y$ - точка, в которой вы хотите локализовать в начальный момент времени свой волновой пакет (желательно не очень далеко от нуля, иначе потребуется большое $N$), ну а $N$ нужно взять ну хотя бы 10ку.

Будет происходить следующее - поначалу хорошо локализованный колокольчик раздует по довольно большой области. Для свободной частицы это бы так и продолжалось. Но у нас осциллятор - в конце периода все сдуется обратно в тот же самый колокольчик.

Чем уже будет первоначальный колокольчик, тем быстрее и сильнее его будет раздувать. Идеализованная же идеально локализованная волновая функция в некотором смысле размазывается мгновенно и на всю вещественную ось. Именно поэтому для "классических" состояний они ну никак не годятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение13.10.2016, 02:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fizeg в сообщении #1159342 писал(а):
Но если дельта-функцию еще можно попытаться представить аналогично честным функциям, если ее проэволюционировать, получится весьма поганая штука.

В координатном представлении да. А в энергетическом - то же, что и раньше.

fizeg в сообщении #1159342 писал(а):
Но дельта так легко воспринимается, потому что она получается как предел сильно локализованных колокольчиков.

Кстати, да, можно взамен просто узкие колокольчики эволюционировать. Будет примерно понятно, что происходит. (Да и в реальности не бывает дельт, а бывают колокольчики, например, после измерения координаты прибором, реальным, а не идеальным.)

fizeg в сообщении #1159342 писал(а):
Но у нас осциллятор - в конце периода все сдуется обратно в тот же самый колокольчик.

А через полпериода? ;-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение13.10.2016, 12:22 
Заслуженный участник


25/12/11
750
Munin в сообщении #1159347 писал(а):
В координатном представлении да. А в энергетическом - то же, что и раньше.

Для того собственные функции все время и ищут. Но в энергетическом представлении нельзя очевидным образом соотнести квантовую науку с классической.

Munin в сообщении #1159347 писал(а):
А через полпериода? ;-)

Это да, соберется он и через полпериода. Но с одной оговоркой - все нечетные $\phi_{2n+1}$ поменяют знак. А это значит, что соберется он не около $y$, а около $-y$.

-- 13.10.2016, 13:52 --

На самом деле, если уж на то пошло, то для осциллятора есть еще прекрасный способ понять, что будет происходить, не строя никаких графиков и ничего не считая

В Гейзенберговском представлении операторы координаты и импульса зависят от времени. Эту зависимость легко найти:
$x(t)=x(0)\cos{\omega t}+\frac{p(0)}{m\omega}\sin{\omega t},\quad p(t)=p(0)\cos{\omega t}-m\omega x(0)\sin{\omega t}$
Когда $\omega t=\pi/2$ операторы координаты и импульса меняются местами
$x\Big(\frac{\pi}{2\omega}\Big)=\frac{p(0)}{m\omega},\quad p\Big(\frac{\pi}{2\omega}\Big)=-m\omega x(0)$

Соответственно в Шредингеровском представлении изначальная волновая функция с точностью до масштабирования является Фурье-образом волновой функции при $\omega t=\pi/2$.

Таким образом через четверть периода волновая функция сильно локализованная по координате превращается в сильно локализованную по импульсу, т.е. почти в плоскую волну.

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение13.10.2016, 14:32 
Аватара пользователя


13/08/13

4323
А если мы захотим рассмотреть МОНСТРА для нулевых колебаний, то тогда у нас будут иметь ненулевую амплитуду состояния поля, для которых $Q_k$ не стремятся к нулю при $k$ стремящемся к бесконечности, или это нормально?

 Профиль  
                  
 
 Re: Фотоны
Сообщение13.10.2016, 15:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
fizeg в сообщении #1159391 писал(а):
Эту зависимость легко найти:
$x(t)=x(0)\cos{\omega t}+\frac{p(0)}{m\omega}\sin{\omega t},\quad p(t)=p(0)\cos{\omega t}-m\omega x(0)\sin{\omega t}$

О, красиво-то как! А я чего-то даже не сообразил подумать в этом направлении. А тут вся эволюция пакета как на ладони. Не только через полпериода или четверть периода, а вообще вся.

-- 13.10.2016 15:13:57 --

Sicker в сообщении #1159411 писал(а):
А если мы захотим рассмотреть МОНСТРА для нулевых колебаний, то тогда у нас будут иметь ненулевую амплитуду состояния поля, для которых $Q_k$ не стремятся к нулю при $k$ стремящемся к бесконечности, или это нормально?

Увы, да, "это нормально". Это одна из расходимостей КТП - бесконечная энергия вакуума. ("Нулевые колебания" - это вакуум и есть.)

В других ситуациях при $k\to\infty$ возникают другие бесконечности. Они все в общем называются ультрафиолетовыми расходимостями (по причине того, что высокие частоты - это "ультрафиолетовый" конец спектра).

Бывают ещё и расходимости в области $k\to 0$ - они, соответственно, называются инфракрасными расходимостями. Они менее тревожны и неудобны. Скорее, они могут быть неприятны от неудачного выбора языка. Например, если энергия возмущения при $k\to 0$ уходит в нуль недостаточно быстро, то получается бесконечное число "мягких" ("инфракрасных") фотонов, которое портит попытки расчёта по теории возмущений (где мы последовательно наращиваем число фотонов).

-- 13.10.2016 15:20:53 --

Munin в сообщении #1159419 писал(а):
fizeg в сообщении #1159391 писал(а):
Эту зависимость легко найти:
$x(t)=x(0)\cos{\omega t}+\frac{p(0)}{m\omega}\sin{\omega t},\quad p(t)=p(0)\cos{\omega t}-m\omega x(0)\sin{\omega t}$

О, красиво-то как! А я чего-то даже не сообразил подумать в этом направлении. А тут вся эволюция пакета как на ладони. Не только через полпериода или четверть периода, а вообще вся.

Не, красиво всё-таки! Продолжаю подставлять сюда разные псишки, и наслаждаться результатом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 83 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group