Фотоны

[arseniiv]

warlock66613 в сообщении #1157030 писал(а):

В любом случае, всё сводится к явному выражению для вакуума: если мы найдём явное выражение для вакуумного состояния, то остальные состояния из пространства Фока отобразятся автоматически.

Сначала мне казалось, что ясно как, но потом сразу понял, что нет. Понятно, для удобства можно рассмотреть оператор создания частицы с определённым импульсом $\mathbf p$. Это будет прибавлять амплитуду соответствующей плоской волны на соответствующую константную для данных $m,\mathbf p$ величину. А вот куда и как добавлять? Нужно просто перераспределить амплитуды между разными классическими состояниями — взять амплитуды вероятности у прежних и переложить их к таким, к которым мы увеличили амплитуду той плоской волны. (Верно?) Но вот мы дальше собрались действовать не просто $a^\dagger_{\mathbf p}$, а $z a^\dagger_{\mathbf p}, z\in\mathbb C$, и что делать в этом случае? С суммой тоже неясно. Это тоже должно быть перераспределение амплитуд между классическими состояниями, но я не пока не вижу какое.

Munin в сообщении #1157033 писал(а):

Ну рассказывали же.

Насчёт 1, 2, 4 это да, тут у меня нет ни сомнения. Но когда мы сделаем $F$ аргументом функции, всё немного портится…

Munin в сообщении #1157033 писал(а):

Потом мы пытаемся описывать поле со взаимодействием (до этого - было свободное поле), и вся лафа ломается: осцилляторы уже больше не независимы, и более того, не существует базиса, выделяющего независимые подсистемы. Но в случае слабой связи, этим можно пренебречь в нулевом приближении, а потом добавлять поправки по ряду теории возмущений.

Да, здесь тоже в курсе. Мне это тоже интересно, но сначала математика! Точнее, какая-то последовательность приближений к ней, потому что за раз вряд ли пролезть в дебри функана.

Munin в сообщении #1157033 писал(а):

Но теперь её можно понимать как "многоподсистемную" (многоосцилляторную) квантовую систему. Разумеется, её подсистемы могут быть квантово запутаны. Но эволюционируют они независимо. И поэтому, на эту запутанность нам наплевать, и мы строим её состояния как тензорные произведения "одноподсистемных" (одноосцилляторных) состояний.

А это я пока не обдумал.

-- Вт окт 04, 2016 05:00:53 --

Munin в сообщении #1157035 писал(а):

Ну вот крышу мне сносит на попытке представить себе такой классический осциллятор. Эти "грассмановы поля" - нечеловеческое что-то.

Кстати, это тоже. Впрочем, раз мы имеем представление о внешней алгебре, всё-таки есть надежда… Правда, я забыл, как конкретно это грассманово поле выглядит — просто имеет значения в какой-то внешней алгебре и всё?

-- Вт окт 04, 2016 05:01:11 --

Да простит нас ТС.

-- Вт окт 04, 2016 05:05:59 --

arseniiv в сообщении #1157085 писал(а):

Но когда мы сделаем $F$ аргументом функции, всё немного портится…

На всякий случай напомню, что множество функций $(\mathrm{Pos}\to\mathrm{Val})\to\mathbb C$ не изоморфно множеству функций $\mathrm{Pos}\to(\mathrm{Val}\to\mathbb C)\cong\mathrm{Pos}\times\mathrm{Val}\to\mathbb C$. Хотя в качестве $F$ мы и не обязательно берём всё $\mathrm{Pos}\to\mathrm{Val}$ целиком, всё равно надежды никакой.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1157085 писал(а):

Насчёт 1, 2, 4 это да, тут у меня нет ни сомнения. Но когда мы сделаем $F$ аргументом функции, всё немного портится…

Почему? Вы можете поворачивать пространство, на котором задана функция? Для начала, в случае конечномерного пространства. В чём затык?

arseniiv в сообщении #1157085 писал(а):

Понятно, для удобства можно рассмотреть оператор создания частицы с определённым импульсом $\mathbf p$. Это будет прибавлять амплитуду соответствующей плоской волны на соответствующую константную для данных $m,\mathbf p$ величину. А вот куда и как добавлять?

Например, к вакууму. Или к любому другому состоянию квантового поля.

Для начала, попробуйте подействовать этим оператором на состояние осциллятора. На низшее. Или на произвольное. Напоминаю, по Википедии

Цитата:

$a^\dagger=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\partial}{\partial x}\right)$

arseniiv в сообщении #1157085 писал(а):

Но вот мы дальше собрались действовать не просто $a^\dagger_{\mathbf p}$, а $z a^\dagger_{\mathbf p}, z\in\mathbb C$, и что делать в этом случае?

А в чём проблема? В операторе и так есть числовые множители. Ну ещё один. Ну взяли линейную комбинацию операторов.

arseniiv в сообщении #1157085 писал(а):

А это я пока не обдумал.

А это надо.

arseniiv в сообщении #1157085 писал(а):

На всякий случай напомню, что множество функций $(\mathrm{Pos}\to\mathrm{Val})\to\mathbb C$ не изоморфно множеству функций $\mathrm{Pos}\to(\mathrm{Val}\to\mathbb C)\cong\mathrm{Pos}\times\mathrm{Val}\to\mathbb C$.

Да все в курсе. Да, речь идёт именно о МОНСТРЕ из первого множества.

[warlock66613]

arseniiv в сообщении #1157085 писал(а):

Нужно просто перераспределить амплитуды между разными классическими состояниями — взять амплитуды вероятности у прежних

Не нужно спешить с нормировкой. Оператор рождения при обычном определении превращает нормированное состояние в ненормированное, и ничего страшного в этом нет. Так что у прежних ничего брать не надо, нужно только добавлять новое.

[Munin]

warlock66613 в сообщении #1157102 писал(а):

Оператор рождения при обычном определении превращает нормированное состояние в ненормированное

А, кстати, да.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1157098 писал(а):

Вы можете поворачивать пространство, на котором задана функция? Для начала, в случае конечномерного пространства. В чём затык?

Если функция классического поля, конечно, да, и Фурье могу.

Munin в сообщении #1157098 писал(а):

Например, к вакууму. Или к любому другому состоянию квантового поля.

Это-то понятно. Но вот у нас вакуум в виде функции $\lvert0\rangle\colon F\to\mathbb C$. Что оператор $a^\dagger_{\mathbf p}$ делает с этой функцией? (Сейчас-то я уже более-менее понимаю, но исходная постановка одного из вопросов выглядит так.) В пространстве Фока всё ясно — оно, можно сказать, для такой ясности и построено.

Munin в сообщении #1157098 писал(а):

Для начала, попробуйте подействовать этим оператором на состояние осциллятора.

Так в том и проблема, что вытащить из $\lvert\mathrm{state}\rangle\colon F\to\mathbb C$ осцилляторы ещё надо. Из $F$ только классические осцилляторы получаются, например.

Munin в сообщении #1157098 писал(а):

Да все в курсе.

Я просто не знал что думать. Кажется, вы считаете очевидным шаг, который я считаю неочевидным/невозможным.

Прогресс: про сумму и умножение на комплексный скаляр операторов вспомнил, что у них вообще-то есть определения, так что это уже ясно и делается спокойно.

warlock66613 в сообщении #1157102 писал(а):

Не нужно спешить с нормировкой. Оператор рождения при обычном определении превращает нормированное состояние в ненормированное, и ничего страшного в этом нет. Так что у прежних ничего брать не надо, нужно только добавлять новое.

Эм… Я пока и не собирался нормировать, вроде. Просто по аналогии с гармоническим осциллятором: представим его состояние функцией $o\colon\mathbb N\to\mathbb C$, это состояние будет $o(0)\lvert0\rangle + o(1)\lvert1\rangle + \ldots$; теперь посмотрим, что делается с $o$, если подействовать оператором $a^\dagger$. Т. к. $a^\dagger\lvert n\rangle = \lvert n+1\rangle$, состояние станет $o(0)\lvert1\rangle + o(1)\lvert2\rangle + \ldots$, т. е. мы сделали сдвиг $o$. Правда, $F$ в отличие от $\mathbb N$ не упорядочено линейно — но и операторов рождения у нас зато целый вагон, каждый со своим. Не вижу, почему аналогия должна ломаться.

В общем, представьте, что задача в моей голове такая: как выразить $a^\dagger_{\mathbf p} f$ через $f,\mathbf p,m$, где $f\colon F\to\mathbb C$. Или, иначе, как найти $(a^\dagger_{\mathbf p} f)(\varphi),\varphi\in F$.

[warlock66613]

arseniiv в сообщении #1157217 писал(а):

Просто по аналогии с гармоническим осциллятором

Не, лестничные операторы, получается, не аналогичны опреторам рождения/уничтожения в этом плане: оператор рождения добавляет ещё одну частицу (повышает заселённость какого-то уровня), но уже существующие не трогает.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1157217 писал(а):

Если функция классического поля, конечно, да, и Фурье могу.

Я не про функцию. Я про пространство. Повернуть можете? (Базис сменить.)

arseniiv в сообщении #1157217 писал(а):

Но вот у нас вакуум в виде функции $\lvert0\rangle\colon F\to\mathbb C$. Что оператор $a^\dagger_{\mathbf p}$ делает с этой функцией? (Сейчас-то я уже более-менее понимаю, но исходная постановка одного из вопросов выглядит так.)

Охоспади.

Вот у нас есть состояние осциллятора в виде $\Psi(x).$ (Вы узнаёте в этой странной непривычной записи ваше любимое $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$?) Что с ним делает оператор $a^\dagger=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\partial}{\partial x}\right)$? Удивительный вопрос.

Ответ ещё более удивителен. Пишем (приписываем оператор слева к функции):
$a^\dagger\Psi(x)=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\partial}{\partial x}\right)\Psi(x)=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(x\,\Psi(x)-\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\partial\Psi(x)}{\partial x}\right).$
Теперь это надо взять и вычислить. Неподъёмный труд.

(Особенно для тех, кто знает, что "$2+3$ - это $3+2,$ потому что сложение коммутативно"...)

arseniiv в сообщении #1157217 писал(а):

Так в том и проблема, что вытащить из $\lvert\mathrm{state}\rangle\colon F\to\mathbb C$ осцилляторы ещё надо.

Поворот, батенька. Поворот.

arseniiv в сообщении #1157217 писал(а):

Из $F$ только классические осцилляторы получаются, например.

Когда вы поворачиваете пространство (совершаете Фурье), вы переходите к осцилляторам, независимо от того, классические они были или квантовые.

arseniiv в сообщении #1157217 писал(а):

Кажется, вы считаете очевидным шаг, который я считаю неочевидным/невозможным.

Какой именно?

arseniiv в сообщении #1157217 писал(а):

Т. к. $a^\dagger\lvert n\rangle = \lvert n+1\rangle$, состояние станет $o(0)\lvert1\rangle + o(1)\lvert2\rangle + \ldots$, т. е. мы сделали сдвиг $o$.

Не совсем. warlock66613 напоминает, что $a^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle,$ откуда
$a^\dagger(c(0)|0\rangle+c(1)|1\rangle+\ldots)=c(0)|1\rangle+c(1)\sqrt{2}|2\rangle+\ldots$
(ваши обозначения конфликтуют с "о малым", поэтому я их поменял).

Конечно, оператор $f^\dagger|n\rangle=|n+1\rangle$ тоже можно сделать, но пользы от него будет меньше.

arseniiv в сообщении #1157217 писал(а):

В общем, представьте, что задача в моей голове такая: как выразить $a^\dagger_{\mathbf p} f$ через $f,\mathbf p,m$, где $f\colon F\to\mathbb C$. Или, иначе, как найти $(a^\dagger_{\mathbf p} f)(\varphi),\varphi\in F$.

Прежде всего, записать задачу в нормальных обозначениях. И немножко вспомнить матанализ.

warlock66613 в сообщении #1157235 писал(а):

Не, лестничные операторы, получается, не аналогичны опреторам рождения/уничтожения в этом плане: оператор рождения добавляет ещё одну частицу (повышает заселённость какого-то уровня), но уже существующие не трогает.

Лестничный то же самое.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1157247 писал(а):

Я не про функцию. Я про пространство. Повернуть можете? (Базис сменить.)

Обычное пространство (а то у нас уже функциональные $F$ и $F\to\mathbb C$ есть) — конечно.

Munin в сообщении #1157247 писал(а):

Вот у нас есть состояние осциллятора в виде $\Psi(x).$ (Вы узнаёте в этой странной непривычной записи ваше любимое $\mathbb{R}\to\mathbb{C}$?) Что с ним делает оператор $a^\dagger=\sqrt{\dfrac{m\omega}{2\hbar}}\left(x-\dfrac{\hbar}{m\omega}\dfrac{\partial}{\partial x}\right)$? Удивительный вопрос.

А теперь как мы обобщим это на $F$ вместо $\mathbb R$? Я не умею дифференцировать по классическим состояниям поля!

Munin в сообщении #1157247 писал(а):

Поворот, батенька. Поворот.

Так это-то я понял, но… ну, в общем, я уже не знаю, с какой стороны объяснить.

Munin в сообщении #1157247 писал(а):

Какой именно?

Если бы я знал, какой, я бы написал, какой, сразу.

Munin в сообщении #1157247 писал(а):

Прежде всего, записать задачу в нормальных обозначениях. И немножко вспомнить матанализ.

Сдаюсь. Хотя, по крайней мере, возможно, как раз там и есть тот злополучный шаг.

[amon]

arseniiv,
А чем Вас такая связь квантов и классики не устраивает? $\langle 0| T\{\Psi^+(x)\Psi(x')\}|0\rangle=\int D\Psi^*D\Psi \;\Psi^*(x)\Psi(x')e^{iS}$? Тут слева - среднее от операторов, а справа - интеграл по классическим полям, правда, функциональный.

[arseniiv]

Эта мне пока ещё не настолько понятна (хотя это же вроде интеграл по траекториям?), но вообще устраивает даже не искать связь с классическим полем, а сразу постулировать всё, что должно быть в КТП. Просто немного удивляет, что не выходит внятно объяснить, что мне неясно (немного, потому что вполне понимаю, что интересующие меня детали для физики либо очевидны, либо бесполезны, и можно было бы понять, даже если я их вообще нигде не встречу, хотя пока я читал совсем немного учебников по КТП и не достаточно глубоко).

[amon]

arseniiv в сообщении #1157395 писал(а):

сразу постулировать всё, что должно быть в КТП.

Тут я спец невеликий, но, в первом приближении, все постулаты совпадают с квантово-механическими (плюс релятивизм, если это надо). Во втором приближении оказывается, что функциональное пространство КТП несепарабельно, и начинаются пляски с бубном и попытки сформулировать все как-нибудь не так. Попытки построить аксиоматическую КТП предпринимались Боголюбовым, Стейнманом и еще многими, и как-то они в этом не преуспели.

[warlock66613]

amon в сообщении #1157410 писал(а):

Во втором приближении оказывается, что функциональное пространство КТП несепарабельно

Но, с другой стороны, физически интересные гамильтонианы приводят к эволюции, при которой вектор состояния не покидает соответствующего сепарабельного пространства Фока, так что после выбора правильного вакуума о "большом" несепарабельном пространстве можно спокойно забыть. Правда, если я правильно понимаю, при адиабатическом включении взаимодействия трудности возвращаются (теорема Хаага та же), поскольку при $t=\pm \infty$ получается пространство Фока для свободных частиц, а при конечных временах - совершенно другое (ортогональное) пространство.

[amon]

warlock66613 в сообщении #1157415 писал(а):

физически интересные гамильтонианы приводят к эволюции, при которой вектор состояния не покидает соответствующего сепарабельного пространства Фока

У меня есть подозрение, что это мы, умело пользуясь бубном и распевая нужные заклинания, стараемся не вылететь из нужного нам сектора. Кроме того, в моей науке есть такие фазовые переходы, что в чистом виде смена сектора фоковского пространства.

(Оффтоп)

Не далее как сегодня объяснял детям как считать $\prod\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\pi^2 n^2}{t^2}$ так, что бы тебя за это не очень больно били.

[warlock66613]

(Оффтоп)

amon в сообщении #1157430 писал(а):

Кроме того, в моей науке есть такие фазовые переходы, что в чистом виде смена сектора фоковского пространства.

Да, есть такое дело. Вообще забавная наука физика: при изучении фундаментальных полей, которые, по-идее, бесконечны, мы их формально заключаем в ящик, потому что иначе как-то оно разваливается - бесконечности всякие нехорошие, зато при изучении твёрдого тела, которое как раз, по-идее, конечно, мы считаем его бесконечным, потому что в конечных системах не бывает фазовых переходов...

[Sicker]

А как оператор $P$ действует на переменные поля $A$?