О проблеме Гольдбаха

[megamix62]

T.1. $P_{n}<P_{2n}<eP_{n}$

[Deggial]

vicvolf в сообщении #848301 писал(а):

Вы пишите в работе, что выражение f(x) ≍ g(x) означает, что f(x) = O(g(x)) и g(x) = O(f(x)). Пожалуйста, приведите пример функций, удолетворяющих этому определению, кроме тривиального случая - $|f(x)|=|g(x)|$.

vicvolf, замечание за неоформление формул $\TeX$ом и за невежество (незнание $O$-символики)

[vorvalm]

vorvalm в сообщении #597172 писал(а):

Sonic86
Чтобы не отвлекать полемику о треугольнике Гильбрайта, я хотел бы уточнить вопрос по вашей ссылке А048670.
Я не нашел точного перевода этой последовательности, но по первым ее членам понял, что это максимальные разности ($d_{\max}$) в ПСВ по модулю $M=p_r\#,$ расположенные в порядке индексов $r$ простых чисел, составляющих модуль М.
В свое время я занимался этой проблемой с целью найти зависимость $d_\max$ от $p_r$, т.к. первые разности до $p=19$ однозначно показывали, что $d_{\max}=2p_{r-1}.$ Однако, при увеличении $p_r$ оказалось, что $d_\max$ может быть и больше $2p_{r-1}.$
Какой-либо закономерности в этом я не нашел.
Но я не об этом. Внимательно просмотрев последовательность А048670 я обнаружил несоответствие приведенных данных с моими. До $r=13(p=41)$ все сходится, но c $r=14(p=43)$ начинаются расхождения(в скобках мои данные).
14\90(82), 15\100(92), 16\106(98), 17\118(106), 18\132(118), 19\152(126),
20\174(140), 21\190(144), 22\200(148)...
- затем $d_\max$ резко увеличивается, хотя по моим данным она удерживается в интервале $2p_{r-1}\leqslant d_{\max} < 2p_{r+1}.$

Извиняюсь за это сообщение.
Недавно я нашел точный перевод образования последовательности А048670.
Эта последовательность чисто экспериментальная и дает максимальные разности между соседними простыми числами
не в ПСВ($M_r$), как я предполагал, а в праймориале $M_r=\#p_r$, хотя это ничего не меняет.
Но я искал не разность $p_{n+1}-p_n$, но разность $a_{n+1}-a_n$, т.е. разность между соседними вычетам ПСВ, поэтому и получилось такое расхождение моих данных с данными последовательности А048670.

[vorvalm]

Последовательность А048670 OEIS

Эта последовательность дает максимальные разности между последовательными
простыми числами в праймориале $p_r\#.$
В каком месте праймориала находятся эти разности не указывается.
Единственной оценкой этого места может служить праймориал $p_{r-1}\#$,
т.е. праймориал рангом ниже, который входит в состав праймориала $p_r\#$
и составляет его начальную часть, в которой не может быть этих разностей.
Это довольно грубая оценка. Более точную оценку максимальной разности
между последовательными простыми числами можно получить исходя
из максимальной разности между вычетами ПСВ (приведенная система вычетов)
по модулю $M(p_r)=p_r\#$. Действительно, если в ПСВ нет какой-то
разности между вычетами, то ее не может быть и в интервале простых чисел ПСВ
$(1<p<p_{r+1}^2).$
Интересно сравнить данные последовательности А048670 и
последовательности максимальных разностей между вычетами ПСВ
по модулю $p_r\#$. До $p_r=31$ эти данные полностью совпадают. Это означает,
что вычеты ПСВ, образующие эти разности, являются простыми числами.
Но при дальнейшем увеличении модуля $M(p_r)=p_r\#$ эти данные начинают
расходиться. Привожу сравнительные данные этих последовательностей,
начиная с модуля $M(23)=23\#$ до модуля $M(97)=97\#$.

$p_r\;\;\;\;\;\;23,\;29,\;31,\;37,\;41,\;43,\;\;47,\;53,\;\;59,\;\;61,\;\;67,\;\;71,\;\;73,\;\;\;79,\;\;83,\;\;89,\;\;97...$
ПСВ$,\;\;\;40,\;46,\;58,\;64,\;74,\;90,\;\;92,\;98,\;106,118,126,140,\;144,148,166,\;172,178...$
$A048\;\;40,\;46,\;58,\;66,\;74,\;90,100,106,118,132,152,\;174,190,200,\;216,\;234,258...$

По характеру распределения вычетов ПСВ по модулю $M(p_r)$ максимальную
разность между вычетами надо искать в виде $2p.$
Например, совершенно точно установлено, что в любой ПСВ по модулю $M(p_r)$
есть разности между последовательными вычетами, равными $2p_{r-1}$.
Знаменитая разность $127-113=14$ находится в ПСВ по модулю $11\#$.
Поэтому, нижней границей максимальной разности между вычетами ПСВ
по модулю $p_r\#$ можно считать именно $d=2p_{r-1}$, т.е.

$2p_{r-1}\leqslant d_{max}$

А вот с верхней границей $d_{max}$ большие проблемы.
Экспериментальные данные для достаточно больших ПСВ показывают,
что максимальная разность в них может превосходить $2p_r.$
Например, в ПСВ по модулю $43\#$ есть разность $90$, в ПСВ по модулю $83\#$
есть разность $166$, но разности $2p_{r+1}$ в ПСВ по модулю $p_r\#$ пока не найдено
и в качестве гипотезы можно считать, что

$2p_{r-1}\leqslant d_{max}<2p_{r+1}$

[vorvalm]

Невычеты ПСВ -
- простые числа, составляющие модуль ПСВ ($p_r\#)$ и кратные им
числа меньше модуля.
Общее чмсло их В ПСВ равно $M(p_r)-\varphi(M)$, т.е. множество чисел
праймориала включает в себя вычеты ПСВ и невычеты ПСВ.
В свою очередь вычеты ПСВ состоят из простых и взаимно простых с модулем чисел.
Невычеты образуют классы чисел, не превосходящих модуль: $(n\in N)$
1) кратные $p=2,\;\;a_n=2n,$
2) кратные $p=3,\;\;a_n=3+6(n-1)$,
3) кратные $p=5$, cуперпозиция двух классов,
$a_n=5+30(n-1)$
$a_n=25+30(n-1)$
4) кратные $p=7,$ cуперпозиция 8-ми классов (ПСВ(30)),
$a_n=7+210(n-1)$
$a_n=49+210(n-1)$
$a_n=77+210(n-1)$
$a_n=91+210(n-1)$
$a_n=119+210(n-1)$
$a_n=133+210(n-1)$
$a_n=161+210(n-1)$
$a_n=203+210(n-1)$
5) кратные $p=11$, cуперпозиция 48-ми классов (ПСВ(210)),
$a_n=11+2310(n-1)$
..........................................................................
..........................................................................
$a_n=2299+2310(n-1)$
6) кратные $p=13.$ cуперпозиция 480-ти классов (ПСВ(2310)),
..........................................................................
7) кратные $p=17$ и т.д.

Вычеты ПСВ можно определять по формуле

$a_x=\mid \prod p_s^{\alpha_s}\pm\prod p_t^{\beta_t}\mid<M=\prod p_s\cdot p_t$

где $\alpha_s,\;\beta_t\in N.$

Порядковые номера вычетов здесь не определяются.

В чем преимущество рассмотрения закономерностей распределения
простых чисел с помощью ПСВ:
1) диапазон исследования ограничен модулем в отличии от
натурального ряда,
2) полная симметрия вычетов ПСВ относительно $0,5M$

$M(p_r) - a_n=a_{\varphi(M)-n}$,

3) в любой ПСВ есть интервал последовательных простых чисел

$1<p_{r+1},.,.,.,.,.p_n<p^2_{p_{r+1}$

Определим, какую долю составляют простые числа среди вычетов ПСВ
по модулю $M=p_r\#.$

Число простых чисел в ПСВ по Чебышеву $\pi(M)\sim\frac M {lnM}$

Число вычетов ПСВ по Мертенсу $\varphi(M)\sim M\frac C {lnp_r}$

Их отношение равно $\frac{\pi(M)}{\varphi(M)}\sim\frac{lnp_r}{ClnM}$, т.е. с ростом $p_r$ доля простых чисел в ПСВ уменьшается.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #1151845 писал(а):

Их отношение равно $\frac{\pi(M)}{\varphi(M)}\sim\frac{lnp_r}{ClnM}$, т.е. с ростом $p_r$ доля простых чисел в ПСВ уменьшается.

Здесь это не доказано.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1152149 писал(а):

Здесь это не доказано.

Имелось в виду, что модуль $M=p_r\#$

[vicvolf]

Ну так подставьте и найдите предел.

[vicvolf]

Хорошо, подскажу!
$\ln(M)$ - это функция Чебышева при $x=p_r$, поэтому $\ln(M)=\ln [\prod_{p \leq p_r}(p)] \sim p_r$.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1 ... ite_note-8

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1152319 писал(а):

Хорошо, подскажу!
$\ln(M)$ - это функция Чебышева при $x=p_r$, поэтому $\ln(M)=\ln [\prod_{p \leq p_r}(p)] \sim p_r$.
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D1 ... ite_note-8

Очень интеренсно, но в данной теме вопрос о пределе этого отношения не ставится.
И потом, логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, т.е.

$ln(M)=ln(p_r\#)=\sum_2^{p_r}ln( p)$

[vicvolf]

Как же не ставится? А это утверждение

vorvalm в сообщении #1151845 писал(а):

с ростом $p_r$ доля простых чисел в ПСВ уменьшается.

надо доказывать: $\frac{\pi(M)}{\varphi(M)}\sim\frac{\ln(p_r)}{C\ln(M)}\sim \frac{\ln(p_r)}{C p_r}$.

vorvalm в сообщении #1152357 писал(а):

И потом, логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей, т.е.
$ln(M)=ln(p_r\#)=\sum_2^{p_r}ln( p)$

Это глубокое замечание ...
как раз и есть функция Чебышева при $x=p_r$ (см. ссылку выше).

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #1152400 писал(а):

Как же не ставится? А это утверждение

vorvalm в сообщении #1151845 писал(а):
с ростом доля простых чисел в ПСВ уменьшается.

Данное утверждение говорит только о тенденции, но не о пределе.
А за детальную отработку этого отношения большое спасибо.

[Батороев]

vorvalm в сообщении #1107709 писал(а):

Эта последовательность дает максимальные разности между последовательными
простыми числами в праймориале $p_r\#.$
В каком месте праймориала находятся эти разности не указывается.

Если исходить из того, что все числа, кратные последовательным простым, произведением которых является данный примориал, расположены симметрично этим простым относительно середины примориала, то стыки примориалов, входящих в данный, все заполнены составными числами. Вывскажу предположение, что именно там и имеет смысл искать самые большие разрывы между простыми.

[Батороев]

Сейчас посмотрел в Википедии статью "Интервалы между простыми числами"

Цитата:

Для любого простого числа P, символом P# мы будем обозначать праймориал P, то есть произведение всех простых чисел, не превосходящих P. Если Q — это простое число, следующее за P, то последовательность
P # + 2 , P # + 3 , . . . , P # + ( Q − 1 )
является последовательностью из Q − 2 последовательных составных чисел, поэтому существуют интервалы между простыми длины не меньше, чем Q − 1.

Здесь, похоже, не учтен интервал "до примориала" (о той области, которой я писал выше). Наверное, можно написать о длине интервала: "не меньше, чем $2(Q-1)$".

-- 19 сен 2016 14:24 --

Нет, я не прав, т.к. не учел числа $P\#+(Q-1)\pm 1$.

[vorvalm]

Батороев в сообщении #1152600 писал(а):

стыки примориалов, входящих в данный, все заполнены составными числами. Вывскажу предположение, что именно там и имеет смысл искать самые большие разрывы между простыми

Это при условии, что числа $p\#\pm 1$ - составные.