Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[Профессор Снэйп]

Macavity писал(а):

Раз их много значит ими не удовлетворены.

По-моему, так как раз наоборот. Раз их много, значит, они продуктивны! И народ ловит от них кайф!!!

[AD]

Sonic86 писал(а):

Будем говорить, что шар останется в корзине, если начиная с некоторого шага он всегда присутствует в корзине.

Вот это и есть нижний предел последовательности множеств, о котором я как-то говорил.

Macavity писал(а):

Очевидно она неотрицательна и возрастает на всей области определения, причем неограниченно. Следовательно ответ - бесконечное количество шаров.

Еще раз объясняю. Предельный переход необоснован. Говоря слово "следовательно, ...", вы неявно пользуетесь непрерывностью меры, которая в случае пространства с бесконечной мерой, вообще говоря, не имеет места. Ну или чем-то подобным вы пользуетесь.

Добавлено спустя 1 минуту 34 секунды:

Macavity писал(а):

Конечно, это не более чем абсолютно нестрогий набросок

Думаю, не всё так плохо, всё гораздо хуже.

[Someone]

Macavity писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):

Есть такие замечательные конструкции, в которых техника перекладывания шаров по бесконечным ящикам доводится до совершенства.

Это как раз и есть гвоздь программы. Раз их много значит ими не удовлетворены.

Чем не удовлетворены? Способами перекладывания шаров? А в каком смысле ими не удовлетворены? Может быть, у тех, кто их придумывает, разные цели?

Macavity писал(а):

Someone писал(а):

Процесс описан конструктивно и однозначно, так как прямо указаны номера шаров, которые добавляются и которые удаляются, никакая аксиома выбора здесь не нужна.

Ну как же не нужна. Я приведу небольшой пример.

Не надо лучше. Вы не понимаете, что если выбираемые элементы указаны явно, то никакие аксиомы для их выбора не нужны?

Ваших аксиом 1 и 2 в теории множеств нет. Вместо первой используется аксиома бесконечности, а вторая аксиома не нужна вообще, потому что выбор из конечного семейства (дизъюнктных) непустых множеств осуществляется без всяких аксиом: если $A\neq\varnothing$, то по определению $\exists a(a\in A)$, вот его и возьмём. Для конечного семейства множеств это рассуждение нужно повторить конечное число раз. Для бесконечного же семейства множеств нужна специальная аксиома, потому что бесконечные рассуждения доказательствами не считаются, поскольку их невозможно закончить.

Обсуждаемое построение как раз является примером такого бесконечного построения и, строго говоря, его нужно формализовать, чтобы никаких бесконечных рассуждений при этом не возникало.

Фактически здесь по индукции строится последовательность множеств $A_0,A_1,A_2,\ldots,A_k,\ldots$ следующим образом:
1) $A_0=\varnothing$;
2) $A_k=(A_{k-1}\cup\{10k-9,10k-8,\ldots,10k\})\setminus\{k\}$ при $k\geqslant 1$.
Задача же состоит в вычислении множества $A=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k$.

[AD]

Someone писал(а):

Задача же состоит в вычислении множества $A=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k$.

Спор, в-основном, как раз об этом. Пример TOTALа

Цитата:

1) за 1/2 минуты до полудня левой ногой Литллвуд ступает в ящик, правая - снаружи
2) за 1/3 минуты до полудня он прыжком меняет положение ног
3) и т.д.
Где будет каждая из ног Литллвуда в полдень?

говорит, что ограничиваться отысканием верхнего предела в таких задачах опасно. То есть решением в смысле Someoneа этой задачи будет "обе ноги в ящике", а в смысле Sonic86 - "обе ноги вне ящика". Как-то так.

[Someone]

AD писал(а):

Пример TOTALа ... говорит, что ограничиваться отысканием верхнего предела в таких задачах опасно.

Вы хотите какой-то универсальной формализации для всех задач "подобного" рода, которые можно выдумать? Тогда я пас. Я говорил о первоначальной задаче и ничего не хотел сказать о примере TOTALа.

[powerZ]

Someone писал(а):

Вообще, я никак не могу понять, в чём проблема. Процесс устроен так, что он удаляет каждый шар.

Да, но процесс устроен и так, что при этом добавляется еще 10 шаров. Пустота не может образоваться.

[Someone]

powerZ писал(а):

Да, но процесс устроен и так, что при этом добавляется еще 10 шаров.

Пусть добавляет. Он (процесс) удалит их позже. Поскольку последнего шага нет, "времени" хватит.

powerZ писал(а):

Пустота не может образоваться.

А она и не образуется ни на каком конечном шаге. Она образуется после выполнения всех шагов. Если Вы считаете, что что-нибудь останется, укажите номер оставшегося шара (впрочем, насколько я помню, кто-то уже предлагал это сделать).

[Коровьев]

«Читал пейджер. Долго думал.»
Перевернём ситуацию.
Ангел/А/ достаёт из ящика пронумерованные шары. Кидает под ноги. Чёрт/Ч/ понемногу их уворовывает.
Шаг 1. за 1сек. до полудня А достаёт шары 1,2.
Ч - уворовывается шар1. А – видит под ногами шар 2
Шаг 2. за 1/2сек. до полудня А достаёт шары 3,4.
Ч - уворовывается шары 2,3. А – видит под ногами шар 4.
Шаг 3. за 1/3сек. до полудня А достаёт шары 5,6.
Ч - уворовывается шары 4,5. А – видит под ногами шар 6
И.т. д.
Ровно в полдень А прекращает работу и видит под ногами шар, но с бесконечным номером.
/Свят, свят. Куда меня занесло-то. Лучше пойду дочитывать пейджер./

[powerZ]

Someone писал(а):

укажите номер оставшегося шара

А вы тогда укажите за какую долю минуты до полудня будет вынут последний шар.

[PAV]

powerZ писал(а):

А вы тогда укажите за какую долю минуты до полудня будет вынут последний шар

Последнего шара не существует.

[TOTAL]

Два шара (один в ящике, другой вне ящика) меняем местами.
Изменилось ли в результате такой операции количество шаров в ящике?
Я считаю, что не изменилось.

[Henrylee]

А давайте еще упростим
Пусть в ящике лежит шар, у которого на боку написана жирная единица.
А теперь будем стирать номер и писать следующий. за 1/2 минуты до полудня вместо единицы появится двойка итд.
1) Исчезнет ли шар к полудню?
2) А та ли это задача?
PS Об исходной задаче. Придерживаюсь "теоретико-множественного" мнения о пустоте.

[TOTAL]

Henrylee писал(а):

2) А та ли это задача?
PS Об исходной задаче. Придерживаюсь "теоретико-множественного" мнения о пустоте.

3) А тот ли это вопрос?
В исходной задаче спрашивалось СКОЛЬКО?
А "теоретико-множественное" жульничество состоит в подмене на вопрос КАКИЕ?

[Henrylee]

TOTAL писал(а):

3) А тот ли это вопрос?
В исходной задаче спрашивалось СКОЛЬКО?
А "теоретико-множественное" жульничество состоит в подмене на вопрос КАКИЕ?

Что-то в этом безусловно есть. Допустим, мы один из шаров фиксируем в определенном привелигерованном месте ящика (в кармане). Заменяя остальные шары по приведенной схеме, этот единственный мы не трогаем, а всего лишь меняем на нем номер подходящим образом. Тогда на вопрос "а какой шар останется в полдень?" мы смело отвечаем : "тот. что лежит в кармане".
Нет, не так. Мы кладем некоторый шар в карман. А затем, когда мы его оттуда заберем, мы кладем туда один из добавленных. таким образом на вопрос " а какой шар.... (см. выше.)

Добавлено спустя 6 минут 34 секунды:

или его там все-таки не окажется? Вот в чем вопрос

Добавлено спустя 2 минуты 25 секунд:

или это сродни вопорсу о пределе 1-1+1-1+...

[Macavity]

AD писал(а):

Macavity писал(а):

Очевидно она неотрицательна и возрастает на всей области определения, причем неограниченно. Следовательно ответ - бесконечное количество шаров.

Еще раз объясняю. Предельный переход необоснован. Говоря слово "следовательно, ...", вы неявно пользуетесь непрерывностью меры, которая в случае пространства с бесконечной мерой, вообще говоря, не имеет места. Ну или чем-то подобным вы пользуетесь.

Так и Вы, уважаемый не пользуйтесь предельным переходом, а то получается, что Вам вроде как можно предел по времени получать... Парадокс от сюда из-за Ваших расуждений и выезжает, как в известном случае с Черепахой и Ахиллом...

AD писал(а):

Macavity писал(а):

Конечно, это не более чем абсолютно нестрогий набросок

Думаю, не всё так плохо, всё гораздо хуже.

А на личности переходить и вовсе не обязательно, в Вашем то возрасте...