Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[Someone]

TOTAL писал(а):

В исходной задаче спрашивалось СКОЛЬКО?
А "теоретико-множественное" жульничество состоит в подмене на вопрос КАКИЕ?

Так если какие-то шары остались, то это совершенно конкретные шары. Процесс-то описан совершенно однозначно. Вот и укажите номера оставшихся шаров.

Добавлено спустя 2 минуты 34 секунды:

Macavity писал(а):

Так и Вы, уважаемый не пользуйтесь предельным переходом

А никто не пользуется предельным переходом. Простым рассуждением устанавливаем, что каждый конкретный шар удаляется из нашего ящика. Навсегда. Поэтому никакого конкретного шара в ящике не останется. И, следовательно, ящик будет пуст.

[TOTAL]

Someone писал(а):

TOTAL писал(а):

В исходной задаче спрашивалось СКОЛЬКО?
А "теоретико-множественное" жульничество состоит в подмене на вопрос КАКИЕ?

Так если какие-то шары остались, то это совершенно конкретные шары.

Так если какой-то вопрос задан, то это совершенно конкретный вопрос. Это вопрос СКОЛЬКО. На него и отвечайте.

[PAV]

TOTAL писал(а):

Это вопрос СКОЛЬКО. На него и отвечайте.

НОЛЬ

[Macavity]

Someone писал(а):

Ваших аксиом 1 и 2 в теории множеств нет. Вместо первой используется аксиома бесконечности, а вторая аксиома не нужна вообще, потому что выбор из конечного семейства (дизъюнктных) непустых множеств осуществляется без всяких аксиом: если $A\neq\varnothing$, то по определению $\exists a(a\in A)$, вот его и возьмём. Для конечного семейства множеств это рассуждение нужно повторить конечное число раз. Для бесконечного же семейства множеств нужна специальная аксиома, потому что бесконечные рассуждения доказательствами не считаются, поскольку их невозможно закончить.

Существует более чем достаточно аксиоматик теории множеств и пока никто не доказал, какая из них самая главная. В том числе неоднократно осуществлялись попытки избавиться от бесконечностей, прийти к конструктивизму, интуицивизму и т.д. и т.п.
Сама по себе задача находится на грани фола, потому и возникают проблемы.

Someone писал(а):

Обсуждаемое построение как раз является примером такого бесконечного построения и, строго говоря, его нужно формализовать, чтобы никаких бесконечных рассуждений при этом не возникало.

Фактически здесь по индукции строится последовательность множеств $A_0,A_1,A_2,\ldots,A_k,\ldots$ следующим образом:
1) $A_0=\varnothing$;
2) $A_k=(A_{k-1}\cup\{10k-9,10k-8,\ldots,10k\})\setminus\{k\}$ при $k\geqslant 1$.
Задача же состоит в вычислении множества $A=\bigcap\limits_{n=0}^{\infty}\bigcup\limits_{k=n}^{\infty}A_k$.

Формализуя рассуждение Вы как раз и пользуетесь предельным переходом, что видно уже из Вашей формальной записи, да ещё и на индукцию ссылаетесь...

Сами по себе понятия связанные с понятием бесконечности неоднозначны в математике. Например, в евклидовой геометрии говорить о бесконечно удаленной точке не принято, её как бы и нет, а в проективной геометрии она вводится и система окресностей для бесконечно удаленной точки имеет тот же вид, что для любой другой "бесконечно неудаленной". В этом случае бесконечность косвенным образом (через бесконечную точку) актуализируется. Тоже самое происходит при другом выборе аксиом - понятие бесконечности принимает другое содержание. Это считается нормальным, это в духе "основного русла", хотя по сути "бесконечность" в каждом из случаев имеет различный смысл.

[TOTAL]

PAV писал(а):

TOTAL писал(а):

Это вопрос СКОЛЬКО. На него и отвечайте.

НОЛЬ

В условии сказано, что в ящик постоянно добавляем шаров. Поэтому там есть шары. Очень много.

[shwedka]

вариант задачи на предмет 'сколько'.
На каждом шаге добавляем 10 шаров, как в исходнике, но удаляем один шар случайно выбранный. Каково математическое ожидание количества оставшихся шаров??

[TOTAL]

shwedka писал(а):

но удаляем один шар случайно выбранный.

Не удержались от втаскивания вопроса 'какой'. Удаляйте просто 1 шар.

[Henrylee]

Shwedka А где тут вероятностная модель? Количество шаров на каждом шаге вовсе не случайно.

Добавлено спустя 5 минут 23 секунды:

TOTAL писал(а):

Не удержались от втаскивания вопроса 'какой'. Удаляйте просто 1 шар.

Да нет, в задаче все же сказано КАКИЕ именно шары мы удаляем. Мы удаляем всегда первый из оставшихся. Ибо, если мы, к примеру, удяляем последний из оставшихся, то никто не поспорит с етм, что шар номер 2 будет лежть не тольео до полудня, но и до полуночи..

[PAV]

TOTAL писал(а):

В условии сказано, что в ящик постоянно добавляем шаров.

Не постоянно, а только пока считаются шаги, т.е. за любое положительное время до полудня. А в полдень, после ВСЕХ шагов - ноль.

[Henrylee]

Есть во всем этом какая-то далекая аналогия с перестановкой членов условно сходящегося числового ряда.

[PAV]

Henrylee писал(а):

Есть во всем этом какая-то далекая аналогия с перестановкой членов условно сходящегося числового ряда.

Да, что-то есть.

Добавлено спустя 7 минут 58 секунд:

Собственно, аналогия полная. В случае с рядами мы движемся то в плюс, то в минус; меняя последовательность шагов, можно добиться любого результата. Так же и здесь: постоянно идет процесс добавления, а также постоянно - извлечения. Меняя порядок (алгоритм - какие шары извлекать) можно добиться любого результата, хоть конечного, хоть бесконечного. При том порядке, который описан в исходной постановке, в итоге каждый шар будет на своем шаге извлечен, т.е. останется пустое множество, мощность которого - ноль.

[Henrylee]

Ага.. А договарившись не трогать, начиная с какого-то шага, первые $N$ шаров, мы добьемся того. что к полудню их останется $N$

[TOTAL]

PAV писал(а):

Так же и здесь: постоянно идет процесс добавления, а также постоянно - извлечения. Меняя порядок (алгоритм - какие шары извлекать) можно добиться любого результата, хоть конечного, хоть бесконечного. При том порядке, который описан в исходной постановке, в итоге каждый шар будет на своем шаге извлечен, т.е. останется пустое множество, мощность которого - ноль.

Помните про вопрос 'сколько', не различайте шары и получите сколь угодно большое число шаров в ящике.

[PAV]

Если шары не различать, то ответ не однозначен.

Собственно, причина в том, что нельзя подходить к бесконечным множествам так же, как к конечным. Мы здесь из одного счетного множества вычитаем его счетное подмножество. Этой информации не достаточно, чтобы ответить на вопрос о том, какова мощность разности: это может быть и пустое множество (как в задаче), и любое конечное, а также бесконечное.

[shwedka]

Henrylee

Цитата:

А где тут вероятностная модель? Количество шаров на каждом шаге вовсе не случайно.

Но набор шаров случаен.
вам же объяснили, что количество шаров на конечном шаге НЕ ОПРЕДЕЛЯЕТ, что будет в полдень. Нельзя к пределу переходить.
TOTAL

Цитата:

Не удержались от втаскивания вопроса 'какой'. Удаляйте просто 1 шар.

Просто один шар не бывает. Каждый шар какой-то. Объясните технологически, как можно взять ПРОСТО ОДИН ШАР. Даже только один раз.