Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[Коровьев]

Brukvalub писал(а):

Но ведь речь идет о событии после всех шагов, при чем здесь то, что происходит на каждом шаге? Так и до Давидюка недалеко становится

А можно ли говорить "после всех шагов", последнего шага-то не существует.

[Brukvalub]

Коровьев писал(а):

А можно ли говорить "после всех шагов", последнего шага-то не существует.

То есть полдень не наступит?

[shwedka]

Коровьев

Цитата:

Шары останутся.
Для первого шага это верно.
Пусть оно верно для

$$n$$

-го шага, после которого осталось

$$m$$

шаров и

$$m>0$$

После

$$n+1$$

- шага в ящике останется

$$m+1$$

шар и

$$m+1>1$$

.

Не убеждает. Вы показываете наличие шаров в какие-то моменты до полудня.
По-честному, Вам нужно дать определение, какое множество считать множеством шаров в полдень, и доказать теорему о предельном переходе, в чем я сильно сомневаюсь.

Для исходной же задачи все делается по-честному, через стандартные теоретико-множественные операции.

[Коровьев]

Brukvalub писал(а):

Коровьев писал(а):

А можно ли говорить "после всех шагов", последнего шага-то не существует.

То есть полдень не наступит?

Не наступит, если Ахилл не догонит Черепаху.

[Попов А.В.]

Коровьев писал(а):

А можно ли говорить "после всех шагов", последнего шага-то не существует.

Когда мы говорим "после всех шагов", мы вовсе не подразумеваем наличие последнего шага.

[AD]

Ну хорошо. Вопрос к тем, кто заявляет, что шары останутся. Укажите номер шара, который останется.

Добавлено спустя 4 минуты 44 секунды:

TOTAL писал(а):

$$\lim_{n \rightarrow \infty}(10n-n+1)$$

Давайте сначала в более простой формулировке решим. В $n$-ый момент времени (то есть за $\frac1{2^n}$ секунд до полудня) у нас в ящике лежат все шары с номерами $\ge n$. То есть еще более жесткая ситуация, чем в оригинале. Сколько шаров останется в полдень? Это классический пример отсутствия непрерывности $\sigma$-аддитивной меры на пространстве с бесконечной мерой. Предельный переход не обоснован то бишь.

[Salvador]

В ящике лежат шары (счетное число), занумерованные числами 1,2,...
За 1 минуту до полудня вынимается шар 1.
За 1/2 минуты до полудня вынимается шар 2.
За 1/3 минуты до полудня вынимается шар 3.
И т. д.
Сколько шаров останется в ящике в полдень?

Быть может в ящике останется бесконечное число шаров?
Ведь после каждого вынимания в ящике остается бесконечное их число.

Тогда, наверное, и

$$\bigcap_{n=0}^\infty[n,\infty)\neq\emptyset$$

.

Если оставить возможность вынимать какой-нибудь один шар, то это с натяжкой можно будет назвать парадоксом (сродни гостинице Гильберта), но когда Вы, Коровьев, говорите, что шары занумерованы натуральными числами и мы вынимаем их строго по порядку, то никаких вариантов кроме пустого ящика в итоге не остается, и задачка эта - школьное упражнение по теории множеств.

[Юстас]

Любое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент, поэтому множество оставшихся шаров пусто.

[powerZ]

За 1/18000000000 мин до полудня шары потяжелели настолько, что возможности вынимать и складывать их в безразмерный ящик не осталость ровно никакой. Операции с шарами пришлось приостановить. Наступил полдень. Шары в ящике остались. Те которые не успели вынуть за этот интервал времени.

[Коровьев]

«В одну телегу впрячь не можно
Коня и трепетную лань»
А.С.Пушкин
Но в этой задаче Литлвуда они впряжены.
Если мы будем проводить операцию вложения и изъятия шаров раз в секунду, то мы не сможем поставить и вопрос: Сколько шаров останется после наступления бесконечности.
Рассматривая множество

$$P_1+P_2-P_1+P_3+P_4-P_2+...$$

мы считаем, что оно пусто, и это абсолютно верно, но мы почему-то априори уверены, что такая постановка тождественна исходной задаче. Нет. В этом взгляде на вопрос отсутствует «Конь»,понятие из другой области – время и его непрерывность. Но именно сходящиеся к полудню отрезки времени и позволяют поставить этот вопрос. Шаг в секунду – и уже бессмысленно ставить вопрос. Сколько?
Ещё. Некоторые предлагали поставить у ящика Чёрта. Ангел будет производить операции, а Чёрт будет только подсчитывать, сколько в ящике шаров после каждой операции и не обращать внимание на нумерацию./ Мол, ну её, нумерацию, к чёрту/. А после наступления полдня заглянуть в ящик. Господь, конечно, ещё поломает голову, оставить-не оставить шары в ящике, но предпочтение всё ж отдаст Ангелу, игнорируя жёсткий детерминизм операций, бо Чёрт ему противен.
Литлвуд не заключил слово «Парадокс» в кавычки. Но парадокс, по определению, это нечто, имеющее взаимоисключающие мнения.
И TOTAL прав, и все остальные, или абсолютно все не правы. И я, конечно.
***
Кстати. Бесконечная гостинице Гильберта вовсе не обязательна. Поселить, допустим, постояльца в напрочь переполненную гостиницу на любое время можно и в обычной, и без подселения, и без выселения. Достаточно переселять постояльцев по кругу, минуя на втором круге и последующих поселившегося счастливчика.

[AD]

Коровьев писал(а):

мы почему-то априори уверены, что такая постановка тождественна исходной задаче. Нет.

Ну да, одну жизненную задачу можно формализовывать по-разному. Но все-таки хочется ответить и на жизненный вопрос: если в ящике шарики останутся, то какой именно шарик останется в ящике?

[TOTAL]

Поскольку вопрос о неомерах шаров в ящике в полдень, то надо бы указать,
при каком номере $n$ наступит полдень, т.е. выполнится равенство $12-1/n=12$

[AD]

Ну такого $n$ не существует. Еще вопросы?

[TOTAL]

AD писал(а):

Ну такого $n$ не существует. Еще вопросы?

Жалко, что не существует. Это сильно снижает шансы назвать номер шарика.

[Коровьев]

AD писал(а):

Коровьев писал(а):

мы почему-то априори уверены, что такая постановка тождественна исходной задаче. Нет.

Ну да, одну жизненную задачу можно формализовывать по-разному. Но все-таки хочется ответить и на жизненный вопрос: если в ящике шарики останутся, то какой именно шарик останется в ящике?

1.Ангел.
- Ни дного
2.Чёрт.
-До чёрта. А нумерация мне пофиг.
*****
Выбирайте.