Сонантометрия или алгебра музыкальной гармонии.

[commator]

commator в сообщении #1149809 писал(а):

Опять сцепился в уме с Вашим убеждением

И опять расцепился через бессмертное:

Partch 1974, p. 71 писал(а):

Интервал: высотная связь между двумя музыкальными звуками, соотношение. Интервал, соотношение, тон, суть почти синонимы … и тон всегда подразумевает соотношение, или интервал.

(English)

Interval: a pitch relation between two musical sounds, a ratio. Interval, ratio, tone, are virtually synonymous … and a tone always implies a ratio, or interval

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1149809 писал(а):

Опять сцепился в уме с Вашим убеждением:

Математик в Сети писал(а):

Первым делом первым делом интервалы
Ну а функции а функции потом

Даже если и совсем за "доисторическое" время зацепиться, то все равно мы будем видеть прежде всего интервалы (древнейший арийский звукоряд:"армонический тетрахорд"):
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/4/01.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/4/1/1.html
Потом любимый Вами Риман увидел там зачатки функций:
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/1/2/1/6/1.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1150168 писал(а):

прежде всего интервалы
<...>
Потом любимый Вами Риман увидел там зачатки функций:

Фокус в том, что функции не могут быть в зачатке, потому что они так же вечны как числа.

Бывает в зачатке и даже не в проекте способность вечное осознавать. Например, не сразу же осознали, что существует число ноль, не говоря уж о пустом множестве, многим до сих пор кажущемся идиотским бредом.

Теперь скажите, что я не способен осознать следующее:

в музыке интервалы всегда между нотами.

И скажите ещё, что сия нераздельная двойственность не есть предмет вечности.

[commator]

commator в сообщении #1150226 писал(а):

о пустом множестве

Если приложить $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$ к сонантометрически (функционально) оформленным интервалам, то выясняется, что

${\uparrow}(\theta P1\mbox{:Ss}){\uparrow}\equiv{\downarrow}(\theta P1\mbox{:Ss}){\downarrow}\models\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$

или в словесном выражении:

вверх интерсонант пифагорейская чистая прима как сонант одноимённого субсонанта
тождественный
вниз интерсонанту пифагорейская чистая прима как сонанту одноимённого субсонанта,
моделируя
пустое множество.

Популярно:

чистая прима есть пустой интервал.

Чтобы музыкантов просвещать (жаль, что нет возможности в средневековые доспехи залезать для этого).

Если же вместо $\left\lbrace\varnothing\right\rbrace$ приложить $0$, то получится

${\uparrow}(\theta P1\mbox{:Ss}){\uparrow}\equiv{\downarrow}(\theta P1\mbox{:Ss}){\downarrow}\models 0$

Популярно:

чистая прима есть нулевой интервал.

За такой лозунг музыканты точно не побьют, если не расцелуют.

[Свободный Художник]

commator в сообщении #1150226 писал(а):

Фокус в том, что функции не могут быть в зачатке, потому что они так же вечны как числа.

Давно известно, что числа не вечны. Во всяком случае, рациональных и иррациональных чисел не было, когда теоретическая математика и теория музыки создавались, взаимно поддерживая друг друга:
http://www.px-pict.com/7/3/1/13.html
Попробуйте себе представить, что на интересующем Вас Дереве Штерна - Броко:
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html
"висят" угловые коэффициенты рациональных лучей. А эти лучи, в свою очередь, моделируют рациональные музыкальные интервалы:
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/1/2.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1150745 писал(а):

Давно известно, что числа не вечны. Во всяком случае, рациональных и иррациональных чисел не было, когда теоретическая математика и теория музыки создавались, взаимно поддерживая друг друга: http://www.px-pict.com/7/3/1/13.html

По мне так числа могут быть и такими:



Найдутся искренне уверенные, что чисел тут нет. Что-то доказывать в этом случае может быть и можно, но я не буду. Мне ясно, что они есть и можно продолжать всё начатое опираясь на эту очевидную истину.

[Свободный Художник]

Вас интересует Дерево Штерна - Броко, а Д. Кнут и др. по указанной выше ссылке:
http://www.px-pict.com/10/4/4/13.html
пишут, что "оно радует глаз обильным урожаем закономерностей".
Хотелось бы выделить среди них наиболее фундаментальные. Я рискну предложить на роль таковых закономерности, связанные с "гармонической сопряженностью". Одну из них я продемонстрировал на примере:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/15.html
Пример связан как раз с музыкальными интервалами из "древнейшего арийского звукоряда":

Свободный Художник в сообщении #1150168 писал(а):

Даже если и совсем за "доисторическое" время зацепиться, то все равно мы будем видеть прежде всего интервалы (древнейший арийский звукоряд:"армонический тетрахорд"):
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/4/01.html
http://www.px-pict.com/7/3/2/9/4/1/1.html

и, возможно, проясняет причину, по которой он был назван именно "армоническим" (или "гармоническим") тетрахордом.

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1151019 писал(а):

проясняет причину, по которой он был назван именно "армоническим" (или "гармоническим") тетрахордом.

Тетра проясняет причину. Там четыре точки-числа, между которыми интервалов-чисел больше четырёх. Но название по количеству точек-чисел, которые и есть музыкальные ноты.

Даже если сразу кому-то было неясно, что точки нотировать надёжнее и экономнее, то время указало что к чему и наградило сию постройеку именем по количеству вошедших туда чисел-точек, бросая количество интервалов на произвол желающих с ними забавляться.

[Свободный Художник]

Возможно, что именно от указанной связи между собой четырех основных интервалов "древнейшего арийского звукоряда" и была абстрагирована "гармоническая сопряженность", ставшая впоследствии одним из наиболее фундаментальных понятий теории вещественной проективной плоскости. О ней пишет, например, Кокстер:
http://www.px-pict.com/10/3/4/7/2.html
Заархивированный djvu - файл этой книги Кокстера можно взять здесь:
http://px-pict.com/books/kokster.rar
А Кац и Улам учат нас с уважением относиться к математическим конструкциям, которые сумели выжить в течении тысячелетий:
http://www.px-pict.com/9/6/6/4/1.html

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1151019 писал(а):

"оно радует глаз обильным урожаем закономерностей".

Возможно, что это происходит также из-за естественной связи Дерева с алгоритмом Евклида, который иногда определяется как самая первая нетривиальная вещь в теоретической арифметике:
http://www.px-pict.com/7/4/1/2/19/10/2.html
При этом как-то в тени своего знаменитого брата остается алгоритм Антанаиресис:
http://www.px-pict.com/10/4/4/6.html
http://www.px-pict.com/7/3/1/14/2/6/3/3.html
У комментатора Евклида есть ссылка на Антанаиресис в контексте изложения "Алгоритма Евклида":
http://www.px-pict.com/7/3/1/1/4/2/7/1/1.html

[Свободный Художник]

Свободный Художник в сообщении #1151019 писал(а):

Одну из них я продемонстрировал на примере:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/15.html
Пример связан как раз с музыкальными интервалами из "древнейшего арийского звукоряда"

Чтобы не путаться с двумя значениями слова "интервал", можно позаимствовать у Н. А. Гарбузова слово "зона":
http://www.px-pict.com/7/3/2/8.html
Например, для двух неравных между собой лучей $A$ и $B$, множество всех лежащих между ними лучей, включая и концы, -- "замкнутая зона":

$$[A, B] = \{Z : k_A \le k_Z \le k_B \},$$

где $k_X$ есть угловой коэффициент луча $X$.

-- Вс сен 18, 2016 23:50:34 --

Соответствующая "зонная теория музыкальных интервалов" будет ставить своей целью, однако, следование не Гарбузовской парадигме, а, скорее, "Скоттовской":

Свободный Художник в сообщении #1133434 писал(а):

С обсуждаемыми в данной теме системами $\mathrm{Q^+}$ и $\mathrm{R^+}$ можно естественным образом ассоциировать "домены" в смысле Скотта. При их определении я буду пользоваться приведенной ниже (на примере) процедурой трансляции цепных дробей в термы некоторой связанной с системами $\mathrm{Q^+}$ и $\mathrm{R^+}$ теории:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/12.html
А также редукцией этих термов к "позитивной" нормальной форме.

Свободный Художник в сообщении #1133554 писал(а):

С каждым таким термом $t(z)$ можно однозначно ассоциировать замкнутый интервал в линейном порядке положительных рациональных чисел. Левым концом этого интервала будет рациональное число, соответствующее терму $t(0)$, а правым концом -- рациональное число, соответствующее терму $t(\infty)$.

Свободный Художник в сообщении #172994 писал(а):

Чтобы при формулировке “любопытного факта” не апеллировать к диаграмме с изображением Stern-Brocot Tree, можно ввести в системе $\mathbf{Q^+_{\, 0,\: \infty}}$ понятие “интервала, ассоциированного с данным положительным рациональным числом $x$”.
С интуитивной точки зрения, это – интервал, который определяется двумя числами, между которыми на соответствующем уровне дерева вставляется положительное рациональное число $x$ при своем “возникновении”.
Например, для $x = 1/3$ ассоциированный интервал будет $(0, 1/2)$; для $x = 4/7$ – интервал $(1/2, 3/5)$; для $x = 5/1$ – интервал $(4/1, \infty)$ и т. д.

Формально этот интервал можно определить следующим образом. Пусть $\varphi$ будет произвольной строкой из символов $V$ и $H$ и пусть выражение $\varphi(x)$ будет обозначать соответствующий терм, составленный из символов операций $V$ и $H$; например, выражение $VHV(x)$ будет обозначать терм $V(H(V(x)))$.

Каждому положительному рациональному числу $x$ соответствует единственная строка $\varphi$, определяемая из соотношения $x = \varphi(1)$. Если длина строки $\varphi$ равна $n$, то число $x$ возникает на $n$ - ом уровне дерева, вставляясь при этом, как можно показать, между числами $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$, которые и определяют “интервал $(\varphi(0), \varphi(\infty))$, ассоциированный с данным положительным рациональным числом $x$”.

При вычислении выражений $\varphi(0)$ и $\varphi(\infty)$ можно использовать следующие соотношения:
$H(0) = 1, H(\infty) = \infty, V(0) = 0, V(\infty) = 1.$

Например, разобранному ранее конкретному терму $H(N(H(N(H(p)))))$:
http://www.px-pict.com/preprints/grundlagen/12.html
(если только заменить в нем индивидную константу $p$ на некоторую индивидную переменную $z$, т. е. получить терм $H(N(H(N(H(z)))))$) будет соответствовать интервал $\left[\dfrac{3}{2}, \dfrac{2}{1}\right]$.

Совокупность всех таких замкнутых интервалов в линейном порядке положительных рациональных чисел будет образовывать некоторый "домен" в смысле Скотта. На русском языке о "доменах Скотта" можно почитать, например, здесь:
http://www.px-pict.com/9/6/2/10/1/1/1/2.html

[commator]

Свободный Художник в сообщении #1152465 писал(а):

Чтобы не путаться с двумя значениями слова "интервал", можно позаимствовать у Н. А. Гарбузова слово "зона": http://www.px-pict.com/7/3/2/8.html

Можно заменить ныне испоганенную в русском языке и не популярную у англоязычных теоретиков зону на категорию.

commator в Сети (фрагмент из индийской книги о шрути) писал(а):

восприятие высоты в музыкальном ладу является категорийным [14]. Изученные категории по сути интервалы семи чистых нот и пяти измененных нот. Поскольку ноты по сути интервалы не фиксированных позиций певцы могут свободно выбирать любую частоту для ноты, в определённом интервале в соответствии с его собственным восприятием приятности

(English)

perception of pitch in music mode is categorical [14]. The learned categories are the intervals of seven pure notes and the five altered notes. As the notes are intervals not fixed positions the singers are free to choose any frequency for a note in a particular interval according to his own perception of pleasantness.

14. Sundberg J,"Perceptual aspect of singing", Journal of Voice, N.Y., . Vol.8, No.2, 1994.

[commator]

Почти семь лет прошло...

commator в Сети писал(а):

Математик в Сети писал(а):

Моя гипотеза заключается в том, что устройство таблиц мажорных и минорных тональностей Оголевца логически вытекает – как из аксиомы – из “правильного” правописания хроматической гаммы.

Вот и ноты к этому загадочному предмету.



Без пояснений, как во времена Оголевца, так и поныне.

На этой неделе имел удовольствие ознакомиться с гораздо более старым, хотя и не древним правописанием:

Mersenne 1636 II:V:196 писал(а):

$Octaue~diuisee~en~douze~demi\mbox{-}tons. \begin{matrix} \\ _.~~~~~ &1~~~~~~2~~~ &3~~~~ &4~~~~~~5~~ &6~~~~~7~~ &8~~~~~9~~ &10~~~~ &11~~~12~ &13\\ \end{matrix} $

$\hline ^{`\phantom{........................}~~~~~~~~~~\phantom{......................}\phantom{........}~~~~~~~~~~~~~|\phantom{......}~~~~~~~~|\phantom{...}~\phantom{....}|\phantom{......}~~~~\bigwedge} _{.\phantom{........................}~~~~~~~~~~\phantom{.....................}~~~~~~|\phantom{........}~~~~~~~|\phantom{......}~~~~~~~~|\land~\bigwedge~\sqcap\bigwedge~~~~~\bigvee} $
$\hline ^{`\phantom{........................}~~~~~~~~~~|\phantom{....................}~~~~~~|\phantom{........}~~~~~~~|\phantom{.}~~~~~\bigwedge~~~~|\diagup\bigvee~\sqcup\bigvee} _{.\phantom{........................}~~~~~~~~~~|\phantom{....................}~~~~~~|\phantom{..}~~~~\bigwedge~~~\nparallel\bigwedge~~~~~\bigvee\phantom{...........}|~~~|} $
$\hline ^{|\phantom{.............}~~|\phantom{......}~~~~~~~|\phantom{...}~|\phantom{....}|\phantom{......}~~~~~\bigwedge~~~\nparallel\bigwedge~~~~~\bigvee~~~\nparallel\bigvee~~~~~~~~~~~~~~~|} _{|\phantom{.............}~~|\phantom{......}~~~~~~~|\land~\bigwedge~\lceil\sqcap\rceil\bigwedge~~~~~\bigvee~~~\nparallel\bigvee~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\phantom{..}|} $
$\hline ^{|\diagdown \phantom{..........}~~|\phantom{..}~~~~\bigwedge~~~|\diagup\bigvee~\lfloor\sqcup\rfloor\bigvee} _{|\diagdown| ~\bigwedge~~~\nparallel\bigwedge~~~~~\bigvee\phantom{.............}~~|} $
$\hline ^{|\diagdown| ~\bigvee~~~\nparallel\bigvee} _{\phantom{|}\diagdown|} $
$_.\phantom{........}^|$
$ \begin{matrix} _.~~~~~ &[c^1,~c^1\sharp] &[d^1] &[e^1\flat,~e^1\natural] &[f^1,~f^1\sharp] &[g^1,~g^1\sharp] &[a^1] &[b^1\flat,~b^1\natural] &[c^2] & \end{matrix} $

Самым безукоризненным образом предписана нотация гармонического ряда звуков до 29-го обертона. 31-й обертон должен быть в категории высотного класса $C\flat$, но для такой ноты у первого дотошного исследователя обертонов не нашлось места среди 12-ти клавиш.

Между тем, преподобный изучатель рисовал таки картинки клавиатур с количеством клавиш более 12-ти в октаве:

[Свободный Художник]

Все же могут оказаться полезными и другие способы нотации музыкальных сущностей. Зная о Вашей приверженности методам Искусственного Интеллекта, хотел бы обратить Ваше внимание на возможность использования для этой цели "основных термов":
http://www.px-pict.com/9/6/8/2/1/1/2/2/1.html
(пункт 3 на указанной странице)
В духе классической парадигмы "логического программирования":
http://www.px-pict.com/9/6/4/4/1.html
Классическое сочинение в этой области:
Kowalski R. Predicate Logic as Programming Language.
http://www.px-pict.com/9/7/4/4/4.html

[Свободный Художник]

В дальнейших построениях на эту тему будет очень полезен материал курса лекций по логическому программированию от
Frank Pfenning (Carnegie Mellon University, 2007):
www.mpi-sws.org/~dg/teaching/lis2014/mo ... -fp-07.pdf

Этот человек активно работает и сейчас:
http://www.cs.cmu.edu/~fp/