проблема со степенью

[Lia]

(Оффтоп)

mihaild

mihaild в сообщении #1143546 писал(а):

(Lia, т.к. в школе обычно не вводится определение вещественного числа, то для "точного определения" школьных сведений недостаточно)

Я не стану спорить с первым, а что касается второго, то школы разные бывают. И в некоторых, игнорируя тот факт, что вещественные числа не определены - они так всю школу не определены, чем они там, бедняги, занимаются, сами не знают, - тем не менее вводят степень произвольного положительного вещественного числа, через экспоненту. Мне вот лично так когда-то определяли. (Как определяли экспоненту - не спрашивайте ) отдельный разговор.)

А в некоторых - да, не вводят.

Меня же интересовал background ТС, а не содержание школьной программы, поэтому вопрос вполне логичный, имхо.

[amon]

knizhnik в сообщении #1143547 писал(а):

Каких учебников?

В.И. Смирнов. Курс высшей математики, т.1, глава 1, параграф 1.

[Infty]

knizhnik в сообщении #1143412 писал(а):

$(-1)^\frac{2}{4}=(-1)^\frac{1}{2}=\sqrt{-1}=i$, но $(-1)^\frac{2}{4}=\sqrt[4]{(-1)^2}=\sqrt[4]{1}=1$
Почему не совпадает, и в чем ошибка? По-моему все выполнено верно.

Можно выйти из ситуации повысив приоритет выполнения операции извлечения корня четной степени из отрицательного числа. Т.е. договорится о том, что сначала необходимо выполнять операции, в которых возникают мнимые числа.

[Lia]

Нет, мы пойдем другим путем.

Infty заблокирован как злостный клон.

[Mikhail_K]

knizhnik в сообщении #1143523 писал(а):

Ясно, что например число $0.10110111\ldots$ иррационально. Рассмотрим следующую цепочку вычислений:
$2^0=1$
$2^{0.1}=1.071 \ldots
$2^{0.1011}=1.0725909 \ldots
$2^{0.10110111}=1.072591785826 \ldots
$2^{0.1011011101111}=1.072591785908 \ldots
Понятно, что какие то цифры в записи числа на каком-то этапе мы можем гарантировать. По крайней мере первые несколько. Значит в той мере, в какой мы увеличиваем последовательность цифр $0.10110111\ldots$, настолько точно мы вычисляем вещественную степень. Наверное так все это работает.

Ну в принципе верно, Вы фактически привели определение степени с иррациональным показателем через предел. Просто можно это сформулировать более строго и внятно.

[INGELRII]

Вот только при попытке возвести отрицательное число в иррациональную степень внезапно обнаружится, что предела-то не существует.

[Mikhail_K]

INGELRII в сообщении #1143568 писал(а):

Вот только при попытке возвести отрицательное число в иррациональную степень внезапно обнаружится, что предела-то не существует.

Это да.
Давайте разложим по полочкам.
Есть степень с целым показателем. Она определена для любых вещественных оснований и целых показателей. (За исключением возведения нуля в нулевую или отрицательную степень). Значение такой степени есть вещественное число.
Есть вещественная степень (определяется через предел). Она определена для любых неотрицательных оснований (с тем же замечанием про нуль) и вещественных показателей. Значение такой степени, опять же, вещественно. В случае, когда степень с целым показателем и вещественная степень существуют обе, они равны.
(Иногда допускают возведение отрицательных чисел в рациональные степени, представимые несократимой дробью с нечётным знаменателем. Я думаю, что без такой степени вполне можно обойтись - она требует слишком аккуратного обращения, и рассматривать только корни нечётной степени из отрицательных чисел).
И есть комплексная степень. Она определена для произвольных комплексных оснований (кроме нуля) и комплексных показателей. Является многозначной, а иногда бесконечнозначной операцией. Если какая-то степень существует в вещественном и комплексном смысле одновременно, то среди значений комплексной степени найдётся равное значению вещественной степени.
(Наконец, есть ещё экспонента, которая хотя и записывается в виде $e^z$, где $z$ комплексное, но означает не совсем то же самое, что возведение $e$ в степень $z$ в комплексном смысле. В частности, экспонента есть однозначная функция).

knizhnik в сообщении #1143539 писал(а):

Между тем ясно, что все эти вопросы выходят далеко за рамки любой помощи и не способствуют ей. Я теряю здесь время.

Форум - это не отвечалка на праздные вопросы типа чему равно $(-1)^{\sqrt{2}}$. Сами по себе такие отдельные вопросы бессмысленны - ну вот узнали Вы, чему равно, потом спросите чему равно $\cos i$, потом ещё что-нибудь. Поэтому на форуме стараются не столько ответить Вам на вопрос (хотя и это тоже), сколько повысить Ваш уровень знаний, помочь освежить в памяти имеющиеся знания и получить новые.
Про комплексные числа можно немного почитать здесь: topic85860.html . Но лучше сесть за учебники. Ссылки Вам были даны.

[knizhnik]

Цитата:

В.И. Смирнов. Курс высшей математики, т.1, глава 1, параграф 1.

А где там? Что там? Укажите конкретно.

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1149999 писал(а):

А где там? Что там? Укажите конкретно.

Там алфавитный указатель есть (ну и у меня просмотр по диагонали занял 2 минуты, так что его точно легко повторить самостоятельно).

[knizhnik]

Нормальное определение в книге не просматривается. Как выполнять операции над вещественными числами тоже не говорится. Про степень тоже не говорится.

-- 08.09.2016, 11:42 --

Считаете, что я плохо искал?

[Aritaborian]

knizhnik, приведите конкретные цитаты из учебника Смирнова и укажите, что в них у вас «не просматривается».

[knizhnik]

Aritaborian

amon в сообщении #1143551 писал(а):

В.И. Смирнов. Курс высшей математики, т.1, глава 1, параграф 1.

Мне тут неверно указали где искать. Надо параграф 2, 40-41.

[Aritaborian]

Там-то всё необходимое нашли?