2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение12.08.2016, 02:06 


20/03/14
12041

(Оффтоп)

mihaild
mihaild в сообщении #1143546 писал(а):
(Lia, т.к. в школе обычно не вводится определение вещественного числа, то для "точного определения" школьных сведений недостаточно)

Я не стану спорить с первым, а что касается второго, то школы разные бывают. И в некоторых, игнорируя тот факт, что вещественные числа не определены - они так всю школу не определены, чем они там, бедняги, занимаются, сами не знают, - тем не менее вводят степень произвольного положительного вещественного числа, через экспоненту. Мне вот лично так когда-то определяли. (Как определяли экспоненту - не спрашивайте ) отдельный разговор.)

А в некоторых - да, не вводят.

Меня же интересовал background ТС, а не содержание школьной программы, поэтому вопрос вполне логичный, имхо.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение12.08.2016, 02:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5225
ФТИ им. Иоффе СПб
knizhnik в сообщении #1143547 писал(а):
Каких учебников?
В.И. Смирнов. Курс высшей математики, т.1, глава 1, параграф 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение12.08.2016, 02:14 


10/08/16

18
knizhnik в сообщении #1143412 писал(а):
$(-1)^\frac{2}{4}=(-1)^\frac{1}{2}=\sqrt{-1}=i$, но $(-1)^\frac{2}{4}=\sqrt[4]{(-1)^2}=\sqrt[4]{1}=1$
Почему не совпадает, и в чем ошибка? По-моему все выполнено верно.


Можно выйти из ситуации повысив приоритет выполнения операции извлечения корня четной степени из отрицательного числа. Т.е. договорится о том, что сначала необходимо выполнять операции, в которых возникают мнимые числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение12.08.2016, 02:18 


20/03/14
12041
Нет, мы пойдем другим путем.
 !  Infty заблокирован как злостный клон.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение12.08.2016, 08:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4831
knizhnik в сообщении #1143523 писал(а):
Ясно, что например число $0.10110111\ldots$ иррационально. Рассмотрим следующую цепочку вычислений:
$2^0=1$
$2^{0.1}=1.071 \ldots
$2^{0.1011}=1.0725909 \ldots
$2^{0.10110111}=1.072591785826 \ldots
$2^{0.1011011101111}=1.072591785908 \ldots
Понятно, что какие то цифры в записи числа на каком-то этапе мы можем гарантировать. По крайней мере первые несколько. Значит в той мере, в какой мы увеличиваем последовательность цифр $0.10110111\ldots$, настолько точно мы вычисляем вещественную степень. Наверное так все это работает.

Ну в принципе верно, Вы фактически привели определение степени с иррациональным показателем через предел. Просто можно это сформулировать более строго и внятно.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение12.08.2016, 08:35 
Аватара пользователя


11/08/11
1135
Вот только при попытке возвести отрицательное число в иррациональную степень внезапно обнаружится, что предела-то не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение12.08.2016, 09:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4831
INGELRII в сообщении #1143568 писал(а):
Вот только при попытке возвести отрицательное число в иррациональную степень внезапно обнаружится, что предела-то не существует.

Это да.
Давайте разложим по полочкам.
Есть степень с целым показателем. Она определена для любых вещественных оснований и целых показателей. (За исключением возведения нуля в нулевую или отрицательную степень). Значение такой степени есть вещественное число.
Есть вещественная степень (определяется через предел). Она определена для любых неотрицательных оснований (с тем же замечанием про нуль) и вещественных показателей. Значение такой степени, опять же, вещественно. В случае, когда степень с целым показателем и вещественная степень существуют обе, они равны.
(Иногда допускают возведение отрицательных чисел в рациональные степени, представимые несократимой дробью с нечётным знаменателем. Я думаю, что без такой степени вполне можно обойтись - она требует слишком аккуратного обращения, и рассматривать только корни нечётной степени из отрицательных чисел).
И есть комплексная степень. Она определена для произвольных комплексных оснований (кроме нуля) и комплексных показателей. Является многозначной, а иногда бесконечнозначной операцией. Если какая-то степень существует в вещественном и комплексном смысле одновременно, то среди значений комплексной степени найдётся равное значению вещественной степени.
(Наконец, есть ещё экспонента, которая хотя и записывается в виде $e^z$, где $z$ комплексное, но означает не совсем то же самое, что возведение $e$ в степень $z$ в комплексном смысле. В частности, экспонента есть однозначная функция).

knizhnik в сообщении #1143539 писал(а):
Между тем ясно, что все эти вопросы выходят далеко за рамки любой помощи и не способствуют ей. Я теряю здесь время.

Форум - это не отвечалка на праздные вопросы типа чему равно $(-1)^{\sqrt{2}}$. Сами по себе такие отдельные вопросы бессмысленны - ну вот узнали Вы, чему равно, потом спросите чему равно $\cos i$, потом ещё что-нибудь. Поэтому на форуме стараются не столько ответить Вам на вопрос (хотя и это тоже), сколько повысить Ваш уровень знаний, помочь освежить в памяти имеющиеся знания и получить новые.
Про комплексные числа можно немного почитать здесь: topic85860.html . Но лучше сесть за учебники. Ссылки Вам были даны.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение08.09.2016, 03:49 


11/08/16

312
Цитата:
В.И. Смирнов. Курс высшей математики, т.1, глава 1, параграф 1.
А где там? Что там? Укажите конкретно.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение08.09.2016, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9073
Цюрих
knizhnik в сообщении #1149999 писал(а):
А где там? Что там? Укажите конкретно.
Там алфавитный указатель есть (ну и у меня просмотр по диагонали занял 2 минуты, так что его точно легко повторить самостоятельно).

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение08.09.2016, 23:42 


11/08/16

312
Нормальное определение в книге не просматривается. Как выполнять операции над вещественными числами тоже не говорится. Про степень тоже не говорится.

-- 08.09.2016, 11:42 --

Считаете, что я плохо искал?

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение08.09.2016, 23:54 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
knizhnik, приведите конкретные цитаты из учебника Смирнова и укажите, что в них у вас «не просматривается».

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение09.09.2016, 00:02 


11/08/16

312
Aritaborian
amon в сообщении #1143551 писал(а):
В.И. Смирнов. Курс высшей математики, т.1, глава 1, параграф 1.
Мне тут неверно указали где искать. Надо параграф 2, 40-41.

 Профиль  
                  
 
 Re: проблема со степенью
Сообщение09.09.2016, 00:04 
Аватара пользователя


11/06/12
10390
стихия.вздох.мюсли
Там-то всё необходимое нашли?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 58 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group