проблема со степенью

[knizhnik]

$(-1)^\frac{2}{4}=(-1)^\frac{1}{2}=\sqrt{-1}=i$, но $(-1)^\frac{2}{4}=\sqrt[4]{(-1)^2}=\sqrt[4]{1}=1$
Почему не совпадает, и в чем ошибка? По-моему все выполнено верно.

[Mihr]

knizhnik, ошибка в том, что Вы смешиваете арифметический корень с алгебраическим степени $n$ (который $n$-значен). А знак арифметического корня в подобной записи вообще не употребляется (если быть корректным).

[mihaild]

Ошибка в переходе $(-1)^{\frac{2}{4}} = \left((-1)^2\right)^\frac{1}{4}$.
(ну и еще в том, что корень многозначный, но это в данном случае вторично)

[warlock66613]

knizhnik в сообщении #1143412 писал(а):

Почему не совпадает, и в чем ошибка?

Если символом $\sqrt{}$ вы обозначаете арифметический корень, то ошибка в том, что он (для чётных степеней) определён только на положительных числах, соответственно $\sqrt {-1}$ не существует. Если же символом радикала вы обозначаете алгебраический корень, то главная ошибка в том, что вы неправильно нашли, чему равен $\sqrt[4]1$, В общем, почитайте что-нибудь про извлечение корней из комплексных чисел и возведение их к нецелую степень.

[knizhnik]

Цитата:

Ошибка в переходе $(-1)^{\frac{2}{4}} = \left((-1)^2\right)^\frac{1}{4}$.

Свойство степени $(s^p)^q=s^{pq}$ позволяет выносить за скобки. Вынесем за скобки $\frac{1}{4}$. Дальше всё, как у меня написано в начале.

[mihaild]

knizhnik в сообщении #1143422 писал(а):

Свойство степени $(s^p)^q=s^{pq}$ позволяет выносить за скобки

Это свойство в комплексной плоскости не выполняется.

[knizhnik]

Цитата:

Это свойство в комплексной плоскости не выполняется.

Тогда что же делать? Некоторое время назад я попытался вычислить, чему равно число $(-1)^\sqrt{2}$. Если операция возведения замкнута в арифметике вещественных чисел, то результат должен быть вещественным числом. Гипотетических варианта два: $(-1)^{\sqrt{2}}=-1$ или $(-1)^{\sqrt{2}}=1$. Предположим первый вариант:
$(-1)^{\sqrt{2}}=-1$
Тогда обе части можно возвести в ту же степень:
$((-1)^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=(-1)^{\sqrt{2}}$, но
$(-1)^{(\sqrt{2}\cdot{\sqrt{2}})}=(-1)^{(\sqrt{2}^{2})}=(-1)^2=1$
Получаем противоречие. Для второго варианта противоречия не получается. Но если свойство это неверное, тогда и доказательство мое неверное. А как тогда правильно решить? А что тогда за число $(-1)^\pi$? Что за число $(-1)^e$? Помогите понять правильно операцию.

[Mihr]

knizhnik, оба Ваших предположения неверные. Попробуйте воспользоваться формулой Эйлера.

[knizhnik]

Я не знаю такой формулы.

[Mihr]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 1%80%D0%B0

[DiMath]

knizhnik
Вам стоит обратиться к основам комплексного анализа. Судя по всему, Вы не знакомы с понятием многозначности функции, ветвлениях, аналитических продолжениях и тд.
Если по делу, то значение (а точнее, множество значений) $\sqrt[4]{1}$ корректно определять корнем уравнения $x^4=1$. Легко убедиться, что кроме 1, также $i=\sqrt{-1}$ является корнем. Ваша проблема в том, что Вы выбираете не ту ветвь функции.

[knizhnik]

Цитата:

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%BE%D1%80%D0%BC%D1%83%D0%BB%D0%B0_%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0

Не могу применить, не знаю, как применить. Я эту формулу впервые вижу. Формула выглядит так: $e^{ix}=\cos x+i\sin x$. Мой пример выглядит так: $(i^2)^{\sqrt{2}}$. Может и есть тут аналогия, но для меня неочевидная.

Цитата:

Вам стоит обратиться к основам комплексного анализа. Судя по всему, Вы не знакомы с понятием многозначности функции, ветвлениях, аналитических продолжениях и тд.

Тогда что нужно читать?

[Mihr]

knizhnik в сообщении #1143443 писал(а):

Не могу применить, не знаю, как применить.

Положите $x=\pi$.

[mihailm]

Отрицательные числа можно возводить только в целую степень - выражение просто не определено

[Mikhail_K]

mihailm в сообщении #1143446 писал(а):

Отрицательные числа можно возводить только в целую степень - выражение просто не определено

Если не выходить в комплексную плоскость, то да. Если выходить, то возводить можно и в дробную, но результат будет не однозначный. Что касается $(-1)^{\sqrt{2}}$, то у этого выражения на самом деле аж бесконечно много значений. Из-за этого, наверное, в иррациональную степень отрицательные и комплексные числа возводить, и впрямь, не стоит без крайней необходимости)