[draft] Справочник. Комплексные числа

[arseniiv]

Ко́мпле́ксные числа — это упорядоченные пары действительных чисел $(a,b)$ с определёнными на них операциями:

$$(a,b) \pm (c,d) = (a\pm c,b\pm d),$$$$(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd,ad + bc).$$

Видно, что числа вида $(x,0)$ умножаются и складываются как вещественные. Это даёт основание отождествить их с вещественными и записывать просто как $x$.

Элемент $(0,1)$ называют мнимой единицей. $(0,1)\cdot(0,1) = (-1,0) \equiv -1$. Любое комплексное число $(a,b)$ можно представить в виде $a + b(0,1)$, а для укорочения записи вместо $(0,1)$ пишут $i$.
(В приложениях — обычно когда буква $i$ уже занята — используют вместо неё $j$.)

Такая алгебраическая форма записи $(a,b) = a + bi$ позволяет выводить правила сложения и умножения, не запоминая их:

$$(a + bi) \pm (c + di) = (a\pm c) + (b \pm d)i$$$$(a + bi)\cdot(c + di) = ac + bci + adi + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.$$

Примеры: $(-1 + 3i) + (5 - 2i) = 4 + i$, $(-1 + 3i)(5 - 2i) = -5 + 15i + 2i - 6\cdot(-1) = 1 + 17i$.

Внимание! Соотношение $i^2=-1$ нельзя читать как $i=\sqrt{-1}$ («$i$ — это корень из минус единицы»), и нельзя заменять в выкладках $i$ на $\sqrt{-1}$ !!!

Первая компонента пары $z = (a,b)$ называется действительной частью комплексного числа и обозначается $\operatorname{Re}z$, вторая — мнимой частью комплексного числа, $\operatorname{Im}z$, так что

$$\operatorname{Re}z = a \mathbin\text{и} \operatorname{Im}z = b \Leftrightarrow z = a + bi.$$

Примеры: $\operatorname{Re}(-3 - i) = -3$, $\operatorname{Re} i = 0$, $\operatorname{Im}\pi = 0$, $\operatorname{Im}(5i + 11) = 5$.

Равенство $z = w$ двух комплексных значений по определению эквивалентно двум равенствам $\operatorname{Re}z = \operatorname{Re}w \mathbin\text{и} \operatorname{Im}z = \operatorname{Im}w$, так что, если известно $a,b,c,d\in\mathbb R$,

$$a + bi = c + di \Leftrightarrow\begin{cases} a = c, \\ b = d. \end{cases}$$

Сменив знак у мнимой части, получим комплексно сопряжённое число $\bar z$ (альтернативное обозначение: $z^*$):

$$\overline{a + bi} = a - bi.$$

Можно установить следующие равенства:

$$\overline{z\pm w} = \bar z\pm\bar w,$$$$\overline{zw} = \bar z\bar w,$$$$\bar{\bar z} = z,$$$$z + \bar z = 2\operatorname{Re}z,$$$$z - \bar z = 2i\operatorname{Im}z,$$$$z\bar z = \operatorname{Re}^2z + \operatorname{Im}^2z.$$

Последнее выражение вещественно и неотрицательно, и мы вольны взять от него корень, получив модуль, или абсолютную величину, комплексного числа:

$$|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2},\quad |z| = \sqrt{z\bar z}.$$

Если комплексное число $z$ имеет только действительную компоненту $a$, его модуль совпадает с соответствующим модулем $|a|$ действительного числа, отсюда и название.

Примеры: $\overline{1{,}5 - 2{,}3i} = 1{,}5 + 2{,}3i$, $|3i| = 3$, $|3 + 4i| = 5$.

Деление

На действительное число, как и умножать, делить просто: $\dfrac{a + bi}r = \dfrac ar + \dfrac bri$.
Сопряжение подсказывает, как делить на комплексные числа. Надо найти $x$ такой, что $ax = b$. Умножим обе части на $\bar a$: $\bar aax = \bar ab$. $\bar aa\in\mathbb R$, после этого поделим на действительное число $\tilde aa$ и получим

$$\dfrac ba = x = \dfrac{\bar ab}{\bar aa}.$$

Заметим, что $\overline{z/w} = \bar z/\bar w$.

Пример: $\frac{5 + 5i}{1 + 3i} = \frac{(5 + 5i)(1 - 3i)}{1^2 + 3^2} = \frac{20 - 10i}{10} = 2 - i$.

Заметка: $1/i = -i$. Например, $A = iB \Leftrightarrow -iA = B$ и $\frac{iA}B = -\frac A{iB}$; эти преобразования так же просто делаются и умножением на $i$.

Множество всех комплексных чисел $\{(a,b)\mid a,b\in\mathbb R\}$ обозначается $\mathbb C$ и является полем.

(Полем?)

Поле — это множество $A$ вместе с двумя бинарными операциями $+$ и $\cdot$ (называемых «сложение» и «умножение» соответственно) на нём, для которых для всех элементов $A$ выполняются следующие утверждения:
1. $a + (b + c) = (a + b) + c$ (ассоциативность сложения).
2. $a + b = b + a$ (коммутативность сложения).
3. $\exists0\quad 0 + a = a$ (существование нейтрального элемента для сложения).
4. $\exists(-a)\quad a + (-a) = 0$ (существование обратного элемента по сложению).
5. $a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b)\cdot c$ (ассоциативность умножения).
6. $a\cdot b = b\cdot a$ (коммутативность умножения).
7. $\exists1\quad 1\cdot a = a$ (существование нейтрального элемента для умножения)
8. $a\ne0\Rightarrow\exists(a^{-1})\quad a\cdot a^{-1} = 1$ (существование обратного элемента по умножению на $A\setminus\{0\}$).
9. $a\cdot(b + c) = (a\cdot b) + (a\cdot c)$ (дистрибутивность $\cdot$ по $+$).
10. $0\ne1$ (нетривиальность поля).

Примем как данность, что $\mathbb R$ с обычными сложением и умножением является полем и покажем, как из этого следует, что $\mathbb C$ со сложением и умножением пар — тоже поле:

1, 2, 3 и 4 следуют из соответствующих свойств вещественного сложения, если выбрать нулём $(0,0)$ и $-(a,b) = (-a,-b)$.
5, 6 и 9 проверяются непосредственным вычислением.
7. Беря в качестве единицы $(1,0)$, получаем $(1,0)(a,b) = (1\cdot a - 0\cdot b,1\cdot b + 0\cdot a) = (a,b)$.
8. В соответствии с соображениями о делении выше берём $z^{-1} = \frac1{\bar zz}\bar z$, т. е. $(a,b)^{-1} = (\frac a{a^2 + b^2},-\frac b{a^2 + b^2})$ получаем нужное.
10. Так как для поля $\mathbb R$ известно $0\ne1$, $(0,0)\ne(1,0)$.

Комплексная плоскость

Так как комплексные числа являются парами действительных, их можно рассматривать как точки некоторой плоскости (комплексной плоскости) или радиус-векторы этих точек. Прямая, состоящая из действительных чисел $x \equiv (x, 0)$, зовётся действительной осью. Прямая, состоящая из чисел вида $yi \equiv (0, y)$, называется мнимой осью.

Операции принимают такое геометрическое истолкование:
• $z + w$ — сумма векторов $z$ и $w$;
• $rz, r\in\mathbb R$ — вектор с тем же ($r > 0$) или противоположным ($r < 0$) направлением, что и $z$, но в $|r|$ раз длиннее;
• $\operatorname{Re}z, \operatorname{Im}z$ — проекции на вещественную и мнимую ось;
• $\bar z$ — отражение $z$ относительно вещественной оси;
• $|z|$ — длина вектора $z$;
• $1/\bar z = z/|z|^2$ — инверсия относительно единичной окружности $|z| = 1$;

\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex] \draw[->](-2.3,0)--(2.9,0) node[above] {$\mathrm{Re}$}; \draw[->](0,-1.3)--(0,1.7) node[right] {$\mathrm{Im}$}; \draw[dashed] (2,-1)--(2,1)--(0,1); \draw[dashed] (-2,-1)--(2,1); \fill (0,0) circle (0.04) node[above right] {$0$} \fill (2,0) circle (0.04) node[above right] {$\mathop{\mathrm{Re}} z$} \fill (0,1) circle (0.04) node[above right] {$\mathop{\mathrm{Im}} z$} \fill (2,1) circle (0.04) node[above right] {$z$} \fill (2,-1) circle (0.04) node[below right] {$\bar{z}$} \fill (-2,-1) circle (0.04) node[below left] {$-z$} \end{tikzpicture}

\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex] \draw[->](-2.3,0)--(2.9,0) node[above] {$\mathrm{Re}$}; \draw[->](0,-0.8)--(0,2.1) node[right] {$\mathrm{Im}$}; \fill (0,0) circle (0.04) node[below left] {$0$} \draw[ color=blue] (0,0)--(0.7,1.1); \draw[ color=blue] (0,0)--(1.5,-0.5)--(2.2,0.6)--(-0.8,1.6)--(-1.5,0.5)--(0,0); \fill (1.5,-0.5) circle (0.04) node[below ] {$z$}; \fill (-1.5,0.5) circle (0.04) node[below left] {$-z$}; \fill (0.7,1.1) circle (0.04) node[above right] {$w$}; \fill (2.2,0.6) circle (0.04) node[above right] {$w+z$}; \fill (-0.8,1.6) circle (0.04) node[above left] {$w-z$}; \end{tikzpicture}

Чтобы разобраться с умножением, введём величину, которая вместе с модулем однозначно задаёт комплексное число — аргумент. Аргумент $\operatorname{Arg}z$ — это угол, на который нужно повернуть вокруг начала координат точку $|z|$, чтобы совместить её с $z$ (таких углов, отличающихся на $2\pi n, n\in\mathbb Z$, бесконечно много). $\operatorname{Arg}0$ не определён.

• $xy$ — это точка, получаемая из $x$ поворотом на $\operatorname{Arg}y$ и растяжением на $|y|$ относительно начала координат.

Аргумент — многозначная функция. Порой бывает нужно выбрать одно значение из всех, называемое главным значением аргумента и обозначаемое $\arg z$. Как правило, $\arg z$ выбирается так, чтобы быть в промежутке $(-\pi;\pi]$ или $[0;2\pi)$. Тогда любое ненулевое $z$ однозначно сопоставляется паре $(|z|,\arg z)$ полярных координат $z$.

\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex] \draw[->](-0.5,0)--(1.8,0) node[above] {$\mathrm{Re}$}; \draw[->](0,-0.5)--(0,1.6) node[right] {$\mathrm{Im}$}; \fill (0,0) circle (0.04) node[below right] {$0$}; \draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(1.06066017,1.06066017); \draw[->] (0.6,0) arc (0:45:0.6); \node[right] at (0.55,0.25) {\small$\arg z$} \fill (1.06066017,1.06066017) circle (0.04) node[right] {$z$}; \node[left] at (0.65,0.75) {$|z|$}; \end{tikzpicture}

Аргумент и модуль комплексного числа

Пусть $z\ne0$ и $\varphi = \operatorname{Arg}z$. В соответствии с определением аргумента, синуса и косинуса получим:

$$\operatorname{Re}z = |z|\cos\varphi,\quad \operatorname{Im}z = |z|\sin\varphi$$$$z = |z|(\cos\varphi + i\sin\varphi).$$

Такое представление называют тригонометрической формой комплексного числа.

Формула Эйлера и экспонента

Экспоненту можно определить для любого комплексного числа $z$ с помощью известного разложения в ряд $e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\ldots+\frac{z^n}{n!}+\ldots$, сходящийся в каждой точке комплексной плоскости. При этом вещественная и мнимая часть ряда для $\exp(ix)$ окажутся рядами для $\cos x$ и $\sin x$. Это приводит к формуле Эйлера

$$\exp(i\varphi) = \cos\varphi + i\sin\varphi$$

и экспоненциальной (показательной) форме записи комплексного числа

$$z = |z|\exp i\varphi,$$

более короткой, чем тригонометрическая.

Пример: $e^{i\frac{3\pi}4} = \cos\frac{3\pi}4 + i\sin\frac{3\pi}4 = \frac1{\sqrt2}(-1 + i)$.

По аналогии с вещественным случаем, $\exp z$ часто обозначается как $e^z$, но не стоит понимать такую запись как возведение числа $e$ в комплексную степень.

Утверждения

$$e^{z+w} = e^ze^w,\quad e^{z-w} = \frac{e^z}{e^w},\quad e^0 = 1$$

по-прежнему верны, что даёт выражение комплексной экспоненты через функции вещественного аргумента:

$$e^{x + iy} = e^x(\cos y + i\sin y).$$

Оба множителя не обращаются в ноль ни в одной точке, так что $e^z\ne0$.

В показательной форме умножение и деление благодаря свойствам экспоненты принимают такой вид:

$$r_1e^{i\varphi_1}\cdot r_2e^{i\varphi_2} = r_1r_2e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)},$$$$\frac{r_1e^{i\varphi_1}}{r_2e^{i\varphi_2}} = \frac{r_1}{r_2}e^{i(\varphi_1 - \varphi_2)},$$

что объясняет данную выше геометрическую интерпретацию умножения.

Заметьте, что $e^{2\pi ni} = \cos 2\pi n + i\sin 2\pi n = 1$, так что $e^{z + 2\pi ni} = e^z$, то есть, экспонента имеет период $2\pi i$.

Логарифм

На комплексных числах также существует и натуральный логарифм, обратная к экспоненте функция. Из-за периодичности последней логарифм — многозначная функция:

$$\operatorname{Ln}z = \operatorname{Ln}\left(e^{\ln|z| + i\operatorname{Arg}z}\right) = \ln|z| + i\operatorname{Arg}z.$$

Каждый способ выбора главного значения аргумента определяет главное значение логарифма, однозначную функцию $\ln z = \ln|z| + i\arg z$.
Как $\operatorname{Ln}0$, так и $\ln0$ не определены. Для ненулевых же $z$ выполняется $e^{\operatorname{Ln}z} = e^{\ln z} = z$, а вот $\operatorname{Ln}e^z = z + 2\pi ni$.

Из свойств экспоненты получаем

$$\operatorname{Ln}zw = \operatorname{Ln}z + \operatorname{Ln}w,$$$$\operatorname{Ln}z^m = m\operatorname{Ln}z \equiv m\ln|z| + im\arg z + 2\pi i n.$$

Степени и корни

Степень с целочисленным показателем определяется так же, как и в случае вещественных чисел:

$$z^n = \begin{cases} zz^{n-1}, &\text{если }n>0, \\ 1, &\text{если }n=0, \\ 1/{z^{-n}}, &\text{если }n<0. \end{cases}$$

В показательной форме возведение в степень выглядит так:

$$\left(re^{i\varphi}\right)^n = \underbrace{re^{i\varphi}\cdots re^{i\varphi}}_{n\text{ множителей}} = r^ne^{in\varphi}.$$

Она распространяется и на $n<0$.

Определим теперь корень целочисленной степени $\sqrt[n]w$, решив уравнение $z^n = w$:

$$r^ne^{in\varphi} = |w|e^{i\operatorname{Arg}w} \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow r^n = |w| \mathbin\text{и} n\varphi = \arg w + 2\pi k \Leftrightarrow$$$$\Leftrightarrow r = \sqrt[n]{|w|} \mathbin\text{и} \varphi = \frac{\arg w}n + \frac{2\pi k}n,$$

где $k\in\mathbb Z$, что отвечает $n$ комплексным числам $z_k = \sqrt[n]{|w|}e^{\frac{\arg w}n + \frac{2\pi k}n}, 0\leqslant k<n$.
Корень $n$-й степени, как и аргумент — многозначная функция.

Например, $\sqrt{-1}$ имеет два значения: $\pm i$. Предостережение в начале связано с тем, что, обозначая как $\sqrt{-1}$ только одно из значений, можно путём неаккуратных преобразований, навеянных свойствами действительных чисел, прийти к противоречию.

\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex] \draw[->](-1.9,0)--(2.2,0) node[above] {$\mathrm{Re}$}; \draw[->](0,-1.9)--(0,2.6) node[right] {$\mathrm{Im}$}; \fill (0,0) circle (0.04) node[below right] {$0$}; \draw[dotted] (0,0) circle (1.5); \draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(-0.9994358328285693,2.4128515423363814); \draw[dashed, dash pattern = on 2 off 3] (0,0)--(1.38581929876693,0.5740251485476346); \draw (0.4,0) arc (0:112:0.4); \draw (0.6,0) arc (0:22:0.6); \node[above] at (0.22222809320784093,0.3325878449210181) {\small$\varphi$} \node[right] at (0.5884711682419382,0.15) {\small$\varphi/5$} \fill (1.3058258449441862, 0) circle (0.04) node[below] {$1$}; \fill (-0.9994358328285693,2.4128515423363814) circle (0.04) node[left] {$z$}; \fill (1.38581929876693,0.5740251485476346) circle (0.04) node[right] {$w_1$}; \fill (-0.11768864359176731,1.495376000599692) circle (0.04) node[above left] {$w_2$}; \fill (-1.4585548805965147,0.3501680457838583) circle (0.04) node[left] {$w_3$}; \fill (-0.7837478470739229,-1.2789602465311387) circle (0.04) node[below left] {$w_4$}; \fill (0.9741720724952758,-1.1406089484000463) circle (0.04) node[below right] {$w_5$}; \end{tikzpicture}

Корни 5-й степени $w_n = \sqrt[5]z$.
Корни $n$-й степени образуют вершины правильного $n$-угольника вокруг центра координат

\begin{tikzpicture}[scale=1.5,>=latex] \draw[->](-1.6,0)--(1.8,0) node[above] {$\mathrm{Re}$}; \draw[->](0,-1.5)--(0,1.6) node[right] {$\mathrm{Im}$}; \draw[dotted] (0,0) circle (1); \fill (0,0) circle (0.04) node[above right] {$0$} \fill (1,0) circle (0.04) node[above right] {$1$} \fill (-1,0) circle (0.04) node[above left] {$-1$} \fill (0,1) circle (0.04) node[above right] {$i$} \fill (0,-1) circle (0.04) node[below right] {$-i$} \end{tikzpicture}

Корни четвёртой степени из единицы — $\pm1, \pm i$

Возведение в комплексную степень $z^w$ определяется как $e^{w\operatorname{Ln}z}$.
Если в качестве $w$ взять $n$ или $1/n$, получатся определённые выше целочисленная степень или корень, но возведение числа $z = e$ в степень $w$ даст многозначную функцию $\exp(w + 2\pi nwi)$, а не $\exp w$.

Тригонометрические и гиперболические функции

Из формулы Эйлера следует

$$\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}2,$$$$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i},$$

для $x\in\mathbb R$. Можно принять их определениями косинуса и синуса для любого комплексного аргумента подставляя вместо $x$ комплексные числа. Определения гиперболических функций

$$\ch x = \frac{e^x + e^{-x}}2,$$$$\sh x = \frac{e^x - e^{-x}}2,$$

распространяются на комплексные аргументы аналогично.

Пример. Благодаря такому определению, свойства тригонометрических функций типа формулы суммы углов или тождества $\cos^2z + \sin^2z = 1$, верного и для $z\in\mathbb C$, можно вывести механически:

$$\cos(a+b) + i\sin(a+b) = e^{i(a+b)} = e^{ia}e^{ib} = (\cos a + i\sin a)(\cos b + i\sin b) =$$$$= (\cos a\cos b - \sin a\sin b) + i(\cos a\sin b + \sin a\cos b),$$$$\cos^2z + \sin^2z = (\cos z + i\sin z)(\cos z - i\sin z) = e^{iz}e^{-iz} = e^0 = 1.$$

Функции $\cos,\,\sin,\,\ch,\,\sh$ от комплексного аргумента выражаются через свои значения от вещественного так:

$$\cos(x + iy) = \cos x\ch y -i\sin x\sh y,$$$$\sin(x + iy) = \sin x\ch y + i\cos x\sh y,$$$$\ch(x + iy) = \ch x\cos y + i\sh x\sin y,$$$$\sh(x + iy) = \sh x\cos y + i\ch x\sin y$$

и связаны друг с другом так:

$$\begin{gathered}\cos z = \ch iz,\\\sin z = -i \sh iz,\\\end{gathered}\qquad\begin{gathered}\ch z = \cos iz,\\\sh z = -i \sin iz.\\\end{gathered}$$

Равенства

$$\begin{gathered} e^{iz} = \cos z + i\sin z, \\ e^z = \ch z + \sh z \end{gathered}$$

продолжают работать и для $z\in\mathbb C$.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

Выразив тригонометрические и гиперболические функции через экспоненту, неудивительно прийти к выражению обратных через логарифм. Ниже приведены многозначные функции.

$$\begin{gathered} \operatorname{Arccos}z = -i\operatorname{Ln}\left( z + i\sqrt{1 - z^2} \right), \\ \operatorname{Arcsin}z = -i\operatorname{Ln}\left( iz + \sqrt{1 - z^2} \right), \\ \operatorname{Arctg}z = -\frac i2\operatorname{Ln}\frac{1 + iz}{1 - iz}, \\ \operatorname{Arcctg}z = -\frac i2\operatorname{Ln}\frac{iz - 1}{iz + 1}, \end{gathered}\qquad\begin{gathered} \operatorname{Arch}z = \operatorname{Ln}\left( z + \sqrt{z^2 - 1} \right), \\ \operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}\left( z + \sqrt{z^2 + 1} \right), \\ \operatorname{Arth}z = \frac12\operatorname{Ln}\frac{1 + z}{1 - z}, \\ \operatorname{Arcth}z = \frac12\operatorname{Ln}\frac{z + 1}{z - 1}. \end{gathered}$$

Основная (это название такое) теорема алгебры

Любой многочлен с комплексными коэффициентами, не являющийся константой, имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие: уравнение

$$c_n z^n + \ldots + c_1 z + c_0 = 0,$$

где $c_0,\ldots,c_n\in\mathbb C$ и $c_n\ne0$, в комплексных числах имеет ровно $n$ корней с учётом их кратностей.

(Набросок доказательства.)

Многочлен $P$ имеет корень $a$ — иначе говоря, он представим как $Q\cdot(z - a)$. Многочлен $Q$ — либо константа, либо имеет корень $a'$, и в любом случае имеет степень на одну меньше. Многочлен $n$-й степени, таким образом, распадётся в произведение $n$ скобок $(z - a_i)$, т. е. будет иметь $n$ корней с учётом их кратностей.

Иначе говоря, поле $\mathbb C$ алгебраически замкнуто.

Корни такого уравнения с вещественными $c_i$ — вещественные числа и пары комплексно-сопряжённых. Пример: $z^3 - 3z^2 + z + 5 = (z + 1)(z - 2 + i)(z - 2 - i)$.