Задача от Дж.Литлвуда. "Парадокс бесконечности"

[AD]

Коровьев писал(а):

Выбирайте.

А кто сказал, что среди ваших вариантов есть правильный?

[Профессор Снэйп]

Давидюк везде парадоксов найдёт...

Давайте сделаем так:

Шаг 1. Кладём шар номер 1 в ящик.

Шаг 2. Убираем из ящика всё, что там лежит, после чего кладём туда шары с номерами 2 и 3.

Шаг 3. Убираем из ящика всё, что там лежит, после чего кладём туда шары с номерами 4, 5 и 6.

Шаг 4. Убираем из ящика всё, что там лежит, после чего кладём туда шары с номерами 7, 8, 9 и 10.

Ну и так далее. Когда все шаги пройдут, что в ящике останется?

[TOTAL]

Ну хватит уже над шарами издеваться.
1) за 1/2 минуты до полудня левой ногой Литллвуд ступает в ящик, правая - снаружи
2) за 1/3 минуты до полудня он прыжком меняет положение ног
3) и т.д.
Где будет каждая из ног Литллвуда в полдень?

[AD]

В последнем варианте соответствующий предел последовательности множеств не существует. В предыдущих - существует.

По-моему, пора бы упомянуть это (впрочем, общеизвестное) определение.

Если $\{A_k\}_{k=1}^\infty$ -- последовательность подмножеств некоторого множества $X$, то

$$\varlimsup_{k\to\infty} A_k\buildrel{\mathrm{def}}\over{=}\bigcap_{n=1}^\infty\bigcup_{k=n}^\infty A_k$$

-- множество точек $X$, принадлежащих бесконечно многим $A_k$.

$$\varliminf_{k\to\infty} A_k\buildrel{\mathrm{def}}\over{=}\bigcup_{n=1}^\infty\bigcap_{k=n}^\infty A_k$$

-- множество точек $X$, принадлежащих всем $A_k$, кроме конечного числа.

Если

$$\varliminf_{k\to\infty}A_k=\varlimsup_{k\to\infty} A_k$$

, то это множество обозначается символом

$$\lim_{k\to\infty}A_k$$

и называется пределом последовательности $A_k$.

Трактовка упомянутых задач в свете этого определения мне лично кажется естественной.

[Sonic86]

Попробую (хотя чувствую, что бесполезно ) резюмировать:
1. Число шаров стремится к бесконечности.
2. Ни одного шара не останется (особенно хорошо сказал Юстас)
Требуется уточнять формулировку задачи:
Надо различать шары (например, как элементы множеств) и их количество (мощность множества) (Наверняка даже такая теория есть )Будем говорить, что шар останется в корзине, если начиная с некоторого шага он всегда присутствует в корзине. Тогда очевидно, что количество шаров стремится к бесконечности, но в итоге ни одного шара не останется. Парадокса нет - это психологическая иллюзия у того, кто пристально не присмотрелся к процессу.

[powerZ]

Как же так? Каждый раз кладут в 10 раз больше шаров чем вынимают. Ну хорошо, каждый номер в конечном итоге будет вынут. Но вместо него еще 10 прибавится? Юстас наверно и правда хорошо сказал, только я не понял ничего. Нельзя ли объяснить не в множествах и подмножествах, а в шарах и минутах. Задача то формулировалась в этих терминах?

[Macavity]

Задача непростая, неоднозначная. Поэтому предлагаю внимательно контролировать каждый шаг. Фиксировать не только сколько взяли и сколько положили шаров, но и сколько осталось. Давайте введем функцию на множестве натуральных чисел, значение которой будет количество оставшихся шаров. Очевидно она неотрицательна и возрастает на всей области определения, причем неограниченно. Следовательно ответ - бесконечное количество шаров.

Впрочем, может это задача сродни теореме Гёделя и ответ на данную задачу невозможно отнести ни к истине, ни ко лжи...

[SAN_666]

Эта проблема давно решена. Кого интересует конкретный разговор - пишите в личку.

[juna]

Если попытаться смоделировать этот процесс, то ясно, что мы не можем положить и вынуть шарик мгновенно. Поэтому, когда отставшееся до полудня время меньше времени вынимания (кладки) шарика, мы ничего не сможем положить и вынуть. Так что, сколько останется зависит от указанных длительностей вынимания (кладки), а задача не имеет отношения к действительности и живет только в воображении.

[Someone]

juna писал(а):

задача не имеет отношения к действительности и живет только в воображении

Само собой разумеется. А кто-нибудь думает иначе?

Вообще, я никак не могу понять, в чём проблема. Процесс устроен так, что он удаляет каждый шар. Поэтому никаких шаров остаться не может. Никакие подсчёты количества шаров на каждом шаге никакого отношения к этой задаче не имеют.

[Macavity]

Someone писал(а):

juna писал(а):

задача не имеет отношения к действительности и живет только в воображении

Само собой разумеется. А кто-нибудь думает иначе?

Вообще, я никак не могу понять, в чём проблема. Процесс устроен так, что он удаляет каждый шар. Поэтому никаких шаров остаться не может. Никакие подсчёты количества шаров на каждом шаге никакого отношения к этой задаче не имеют.

Это ещё надо доказать, что процесс построен правильно. Неужели Вы считаете его конструктивным, ну сослались бы ещё на аксиому выбора или что-то ещё. Задача как раз и поставлена неоднозначно.

Бог с этими шарами, давайте о других. Что по поводу парадокса Банаха-Тарского - это что тоже не парадокс? Но разве он не зависит от принятия или не принятия той же аксиомы выбора.

Я думаю, что и в данном случае вопрос в аксиоматике.
А разве изменение системы аксиом не приводит к построению совсем иной геометрии?
А что имеет и не имеет отношение к задаче это как раз и есть тема для дискуссии.

[Someone]

Macavity писал(а):

Неужели Вы считаете его конструктивным, ну сослались бы ещё на аксиому выбора или что-то ещё.

Процесс описан конструктивно и однозначно, так как прямо указаны номера шаров, которые добавляются и которые удаляются, никакая аксиома выбора здесь не нужна. Ответ также совершенно однозначен.

Macavity писал(а):

Что по поводу парадокса Банаха-Тарского - это что тоже не парадокс?

А какой там парадокс?

Вы не путайте реальный мир с математическим.

[Профессор Снэйп]

Грустно как-то всё это читать.

Есть такие замечательные конструкции, в которых техника перекладывания шаров по бесконечным ящикам доводится до совершенства. А тут какие-то настолько глупые споры разводят...

Вспоминается кто-то из древних греков, задавшийся неразрешимым вопросом:

Цитата:

Что более нравственно: считать число звёзд на небе чётным или нечётным?

[Macavity]

Профессор Снэйп писал(а):

Есть такие замечательные конструкции, в которых техника перекладывания шаров по бесконечным ящикам доводится до совершенства.

Это как раз и есть гвоздь программы. Раз их много значит ими не удовлетворены. А от таких споров в начале двадцатого века едва не рухнула математика, однако и возродилась по настоящему. Не грустите, она не рухнет!

Someone писал(а):

Процесс описан конструктивно и однозначно, так как прямо указаны номера шаров, которые добавляются и которые удаляются, никакая аксиома выбора здесь не нужна.

Ну как же не нужна. Я приведу небольшой пример.

Аксио́ма вы́бора утверждает: «Для каждого семейства A непустых непересекающихся множеств существует множество B, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств X, принадлежащих A».

Далеко не все математики согласны с этой аксиомой. Можно её заменить другими.

Аксиома 1. Все натуральные числа образуют множество.
Аксиома 2. Для каждого конечного семейства A непустых конечных непересекающихся множеств существует множество B, имеющее один и только один общий элемент с каждым из множеств X, принадлежащих A.

Рассмотрим семейство можеств A, в которые входят множества X_i, каждое из которых состоит из удаляемых шаров на i-том шаге. То есть X_1 состоит из шара номер 1, X_2 состоит из шара 2 и т.д. X_i состоит из шара i. Применение Аксиомы 2 не гарантирует, что существует некое множество, которое имеет один общий элемент с каждым из X_i, но согласно Аксиоме 1 натуральные числа образуют именно множество. Получается, что то что будет изьято в виде шаров не есть множество натуральных чисел. Больше чем есть взять нельзя и значит взяли меньше. Какое-то количество шаров осталось.

Конечно, это не более чем абсолютно нестрогий набросок, однако как я писал аксиома выбора (её принятие или нет) порождает именно парадоксы (Парадокс Банаха-Тарского). Смотрите например - http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0% ... 0%B3%D0%BE

P.S. Я думал, что в данном случае рассматривается математический мир...

P.P.S. Подправил одну опечатачку в примере.

[PAV]

Macavity, не оффтопьте. Хотите обсуждать другие парадоксы - заводите отдельные темы.

PAV: