Совпадение теорем

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1149496 писал(а):

А говорю я, потому что меня здесь убеждали, что в предложения с "Если, то" люди вкладывают тот же смысл, который имеет импликация с теми же посылкой с следствием.

Это они зря делали. Люди в эти слова в разных ситуациях вкладывают самый разный смысл.

Вот в математике, как правило, эти слова всегда означают одно и то же (хотя я смутно припоминаю, что в каких-то видах логики импликация определялась иначе, но тут я ничего не знаю и могу врать).

Sinoid в сообщении #1149496 писал(а):

а строк с истинной посылкой в таблице истинности импликации всего 2, то будет реализовываться четвертая строка

Почему это? Есть очень хорошая теорема Смаллиана: "если $2 + 2 = 5$, то я - Папа Римский".
Или вы про то, что "если посылка истинна, то должна реализовываться четвертая строка"? Да, ровно это и надо доказывать, чтобы доказать импликацию.

[Sinoid]

gefest_md в сообщении #1149481 писал(а):

Ничего не поменялось. "Число имеет вид $6p$" истинно или ложно?

Согласен, но в сознании обывателя, далекого от логики, это будет все равно аналогом реализации единственной, последней, строки таблицы истинности, аналогов трех первых строк из анализа этой теоремы на основе житейского опыта у него, скорее всего не появится. Я хочу сказать лишь, что связка "Если, то" в повседневной жизни и в матлогике - разные понятия.

[arseniiv]

Sinoid
По-моему, все ваши слова про импликацию можно заменить одной теоремой: если $A\vDash B$, то $\vDash A\to B$. По определению $A\vDash B$ имеет место, если во всех интерпретациях, где $A$ истинна, истинна и $B$. Заметьте, что никак не упоминаются интерпретации, где $A$ ложна и какие бы то ни было строки каких бы то ни было таблиц истинности, потому что, кстати говоря, строк может быть сколько угодно в зависимости от того, сколько в $A$ и $B$ пропозициональных переменных.

[Sinoid]

Только бы не запутаться.
Во-первых,

arseniiv в сообщении #1149534 писал(а):

если $A\vDash B$, то $\vDash A\to B$.

Если я не ошибаюсь, в этой теореме используется не импликация, а эквивалентность. Во-вторых,

arseniiv в сообщении #1149534 писал(а):

По-моему, все ваши слова про импликацию можно заменить одной теоремой: если $A\vDash B$, то $\vDash A\to B$. По определению $A\vDash B$ имеет место, если во всех интерпретациях, где $A$ истинна, истинна и $B$

Так логическое следствие вводится после введения импликации и чтобы дойти до логического следствия, хорошо понимая изучаемый материал, нужно соответственно хорошо понять импликацию. Импликация же определяется, как нечто (логическая связка), ложное в единственном случае. И сразу же после ее определения дается пример записи с помощью нее теорем вида "Если число делится на 6, то оно делится и на 3" в форме $A \to B$. И вот, чтобы увидеть картину изменения значений истинности этой связки в зависимости от изменений значений посылки и следствия этой связки на фоне картины изменения истинности исходной теоремы (Если число делится на 6, то оно делится и на 3) в зависимости от изменений истинности ее условия и заключения - теоремы, из которой эта связка и взялась (вполне естественное наблюдение),- я и отождествляю истинность(ложность) условия, заключения, самой теоремы, с 1(0) - элементами таблицы истинности связки, полученной, повторюсь, из этой теоремы. Для человека, перестраивающегося с бытового, "одновариантного", понимания предложений "Если..., то" на понимание этих предложений в смысле матлогики, это будет лишний раз подтверждение непротиворечивости применения импликаций для записи теорем. В-третьих,

arseniiv в сообщении #1149534 писал(а):

сколько в $A$ и $B$ пропозициональных переменных.

А это вообще не важно. Сколько бы переменных там не было, если в формуле последней операцией является импликацией, то как ни крути, а перед последним вычислением слева и справа от импликации будет стоять не какая-либо формула, а 0 или 1. И значение этой формулы зависят от значений левой и правой частей импликации. Соответствие же картин изменений значений истинности теоремы и полученной из нее формулы $A \to B$ в зависимости от изменений... я получил.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1149714 писал(а):

Если я не ошибаюсь, в этой теореме используется не импликация, а эквивалентность.

Значит, всё довольно плохо. Нет, в этой импликация, а результат $\vDash A\leftrightarrow B$ сильнее.

Sinoid в сообщении #1149714 писал(а):

Так логическое следствие вводится после введения импликации

Зачем это? Можно говорить о логическом следствии совершенно отдельно. (Можно даже отложить введение импликации, вообще исключив её из определения формулы.)

Sinoid в сообщении #1149714 писал(а):

И вот <…> я и отождествляю истинность(ложность) условия, заключения, самой теоремы, с 1(0) - элементами таблицы истинности связки <…>

Так тут нечего отождествлять, это и так одно и то же.

Sinoid в сообщении #1149714 писал(а):

Для человека, перестраивающегося с бытового, "одновариантного", понимания предложений "Если..., то"

(Я лично до сих пор так и не понял, что это за особое понимание.)

Sinoid в сообщении #1149714 писал(а):

Сколько бы переменных там не было, если в формуле последней операцией является импликацией, то как ни крути, а перед последним вычислением слева и справа от импликации будет стоять не какая-либо формула, а 0 или 1.

Это да. Но в результате может получиться так, что некоторые строки таблицы истинности импликации не у дел, а вы используете слово «четырёхвариантный».

Короче говоря, если мы хотим показать $A\vDash B$, никакие четыре варианта нам не нужны. Нам нужно, чтобы напротив истинных значений $A$ стояли истинные у $B$.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1149789 писал(а):

Sinoid в сообщении #1149714

писал(а):
Если я не ошибаюсь, в этой теореме используется не импликация, а эквивалентность. Значит, всё довольно плохо. Нет, в этой импликация, а результат $\vDash A\leftrightarrow B$ сильнее.

Да нет же, я про другое. Вы написали:

arseniiv в сообщении #1149534 писал(а):

можно заменить одной теоремой: если $A\vDash B$, то $\vDash A\to B$

Структура этой теоремы "Если..., то...". И с ваших слов получается, что эта теорема импликация. На самом же деле эта теорема звучит так: $A\vDash B$ тогда и только тогда, когда $\vDash A\to B$, ее структура "... тогда и только тогда, когда ...", это эквивалентность.

arseniiv в сообщении #1149789 писал(а):

Sinoid в сообщении #1149714

писал(а):
И вот <…> я и отождествляю истинность(ложность) условия, заключения, самой теоремы, с 1(0) - элементами таблицы истинности связки <…> Так тут нечего отождествлять, это и так одно и то же.

Но в учебниках-то не указывается, какая строка истинности таблицы соответствует каким случаям комбинации истинности/ложности посылки и следствия теоремы, записанной еще словами (без символов алгебры логики). Да, наверное, слово "отождествлял" не совсем уместно. Точнее было бы сказать "предположил тождественность" каждой отдельной комбинации из всевозможных комбинаций значений истинности/ложности условия и заключения теоремы еще до ее формализации с определенной строкой таблицы истинности, выбираемой так, чтобы значения истинности в первых ее двух ячейках совпадали со значениями истинности/ложности условия и заключения этой отдельной комбинации с целью выявления совпадения значения истинности теоремы на выбранной комбинации со значением из последнего столбца этой же строки.

arseniiv в сообщении #1149789 писал(а):

Короче говоря, если мы хотим показать $A\vDash B$, никакие четыре варианта нам не нужны

Да логическое следствие я пока вообще не рассматриваю. Я присматриваюсь к деталям превращения теоремы "Если $A$, то $B$" в формулу $A \to B$.

arseniiv в сообщении #1149789 писал(а):

Но в результате может получиться так, что некоторые строки таблицы истинности импликации не у дел, а вы используете слово «четырёхвариантный».

Так, чтобы так не получилось, я в качестве теоремы для анализа, осмысления выбрал теорему с атомарными, неделимыми условием и заключением.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1149850 писал(а):

Структура этой теоремы "Если..., то...". И с ваших слов получается, что эта теорема импликация. На самом же деле эта теорема звучит так: $A\vDash B$ тогда и только тогда, когда $\vDash A\to B$, ее структура "... тогда и только тогда, когда ...", это эквивалентность.

Есть три разных теоремы: $A \vDash B \Leftarrow\ \vDash A \rightarrow B, A\ \vDash B \Rightarrow \vDash A \rightarrow B$ и $A\ \vDash B \Leftrightarrow \vDash A \rightarrow B$ (и можно придумать исчисление, в котором из двух первых верна только одна).

Sinoid в сообщении #1149850 писал(а):

Я присматриваюсь к деталям превращения теоремы "Если $A$, то $B$" в формулу $A \to B$.

"На самом деле" преобразование обратное. То есть мы считаем, что "внутри" у нас всё записано формулами. Но поскольку расписывать всё формулами некомфортно, мы преобразуем формулы в слова (а еще опускаем легко восстанавливающиеся скобки, и т.д.). Это иногда может привести к проблемам, но обычно упрощает жизнь. А при возникновении проблем всегда можно довольно легко (если говоривший "действительно" понимает, о чем говорил) вернуться к формулам.

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1149850 писал(а):

Структура этой теоремы "Если..., то...". И с ваших слов получается, что эта теорема импликация. На самом же деле эта теорема звучит так: $A\vDash B$ тогда и только тогда, когда $\vDash A\to B$, ее структура "... тогда и только тогда, когда ...", это эквивалентность.

А, это. Ну так это не беда, мне нужно было только в одну сторону, а если у нас есть теорема «$\mathcal A$ тогда и только тогда, когда $\mathcal B$», то у нас будет и теорема «если $\mathcal A$, то $\mathcal B$». Несложное упражнение на выводимость.

Sinoid в сообщении #1149850 писал(а):

Да логическое следствие я пока вообще не рассматриваю.

Так в нём как раз и ключ, как я понял ваши затруднения.

Sinoid в сообщении #1149850 писал(а):

Я присматриваюсь к деталям превращения теоремы "Если $A$, то $B$" в формулу $A \to B$.

Ну, это просто в каком-то роде синтаксическое преобразование, потому что если математик в формулировке на естественном языке не имел в виду одного конкретного её понимания, получится как раз что-то формализуемое несколькими неэквивалентными способами, а у нас здесь по условию один. Вот и mihaild уже про это сказал.

Sinoid в сообщении #1149850 писал(а):

Так, чтобы так не получилось, я в качестве теоремы для анализа, осмысления выбрал теорему с атомарными, неделимыми условием и заключением.

Но можно выбрать и что-то другое, так что слово «четырёхвариантный» всё-таки неудачное. Впрочем, это уже не очень осмысленный разговор; на данный момент я сказал что хотел. Если вам ещё интересно, и будет интересно переформулировать поточнее вопрос в том виде, в котором он находится сейчас, я попробую ответить ещё раз.

[Sinoid]

arseniiv в сообщении #1149881 писал(а):

как раз что-то формализуемое несколькими неэквивалентными способами, а у нас здесь по условию один

Конечно один, но распадается-то он на 4 строки (варианта реализации) таблицы истинности

Вот смотрите, когда два обывателя, для которых это обсуждение показалось бы пустой болтовней, в разговоре между собой говорят "Если $A$, то $B$", они (как правило, в большинстве случаев) понимают это так: предложение "Если верно $A$, то верно и $B$" верно. Интересует ли их при этом возможность быть верным предложению "Если неверно $A$, то неверно и $B$"? Только давайте пока забудем про математику, а ответим как простые люди.

arseniiv в сообщении #1149881 писал(а):

так что слово «четырёхвариантный» всё-таки неудачное

А как бы сказали вы?

mihaild в сообщении #1149872 писал(а):

Есть три разных теоремы: $A \vDash B \Leftarrow\ \vDash A \rightarrow B, A\ \vDash B \Rightarrow \vDash A \rightarrow B$ и $A\ \vDash B \Leftrightarrow \vDash A \rightarrow B$ (и можно придумать исчисление, в котором из двух первых верна только одна).

Ну я таких тонкостей еще не знаю.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1150152 писал(а):

Только давайте пока забудем про математику, а ответим как простые люди.

Что думают "обыватели" - 1) неинтересно; 2) неконкретно (в разных ситуациях - разное); 3) не имеет никакого отношения к математике, и в математике низачем не нужно.

(Оффтоп)

Н. К. Верещагин писал(а):

Вы же не для каких-то директоров банка презентацию делаете, вы рассказываете свой результат простым людям. Рассказ простым людям должен начинаться, например, со слов "рассмотрим пространство функций на $\mathbb{N}$, таких, что ...".

Sinoid в сообщении #1150152 писал(а):

А как бы сказали вы?

А что сказать-то предлагается? Что импликация - функция двух булевых аргументов? Или что $2^2 = 4$? Вот так это обычно и говорится.

Sinoid в сообщении #1150152 писал(а):

Ну я таких тонкостей еще не знаю.

А какие тут тонкости? Что $A \leftrightarrow B$, $A \leftarrow B$ и $A \rightarrow B$ - это разные, и, вообще говоря, не эквивалентные утверждения?

[arseniiv]

Sinoid в сообщении #1150152 писал(а):

А как бы сказали вы?

Не знаю, потому что до сих пор не понимаю точный смысл слова.

Sinoid в сообщении #1150152 писал(а):

Вот смотрите, когда два обывателя, для которых это обсуждение показалось бы пустой болтовней, в разговоре между собой говорят "Если $A$, то $B$", они (как правило, в большинстве случаев) понимают это так: предложение "Если верно $A$, то верно и $B$" верно.

Мы обычно всегда подразумеваем, что то, что мы говорим, верно. Другие варианты обычно маркируются грамматически или как-то ещё. Математического языка это тоже касается. Даже «неверно, что $A$» легко понимается как (предполагаемое верным при передаче) утверждение метатеории.

Лучше не спрашивайте небольшие вопросы вдогонку: я не смогу на них нормально ответить:

arseniiv в сообщении #1149881 писал(а):

на данный момент я сказал что хотел. Если вам ещё интересно, и будет интересно переформулировать поточнее вопрос в том виде, в котором он находится сейчас, я попробую ответить ещё раз.

Целиком с нуля переформулировать, я хотел сказать.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1150158 писал(а):

Sinoid в сообщении #1150152

писал(а):
Только давайте пока забудем про математику, а ответим как простые люди. Что думают "обыватели" - 1) неинтересно;

Правильно! И потому для них не существует аналога первой строки в таблице истинности импликации. Верно?

mihaild в сообщении #1150158 писал(а):

Или что $2^2 = 4$?

Отлично! Теперь объясните, пожалуйста, 4 чего через какие-нибудь количественные понятия, каким-либо образом связанные с условием и следствием исходной теоремы "Если число делится на 6, то оно делится и на 3". Я не знаю, может это 4 кг., 4 метра, это вообще чего 4?

-- 08.09.2016, 23:27 --

arseniiv в сообщении #1150160 писал(а):

Целиком с нуля переформулировать, я хотел сказать.

Быть может, вам будет удобно начать новую тему?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1150166 писал(а):

Правильно! И потому для них не существует первой строки в таблице истинности импликации. Верно?

Не знаю. Определите, пожалуйста, понятие "существование для $Y$ строки в таблице $X$", тогда можно будет думать о верности или неверности.

Sinoid в сообщении #1150166 писал(а):

4 чего через какие-нибудь количественные понятия

$4$ - это, по определению, $S(S(S(S(0))))$, где $S$ и $0$ - соответственно функциональный символ валентности $1$ и константный символ, оба из сигнатуры арифметики. Или $1+1+1+1$, где $1$ - единица поля $\mathbb{R}$, а $+$ - сложение в этом поле. Я не знаю, что значит "$4$ чего".

[Sinoid]

Я просто не знаю, что мне делать. Вам, mihaild, все равно, а arseniiv'у уже это длинное обсуждение доставляет дискомфорт. И вот не знаю, то ли продолжать это обсуждение, то ли начать новое. Неужели никто из читающих это обсуждение не понимает, пусть даже без строгих определений, о чем я говорю?

[mihaild]

Не могу сказать про всех читающих - но, скорее всего, не понимает.

Sinoid в сообщении #1150174 писал(а):

не понимает, пусть даже без строгих определений, о чем я говорю?

Вот как раз из-за отсутствия строгих определений вас и нельзя понять. Формальные утверждения, как правило, понимать проще (и их вообще не обязательно понимать, с ними можно работать синтаксически).