2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение04.09.2016, 13:36 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid в сообщении #1148982 писал(а):
А как тогда в этой же нотации обозначается 0? Случайно не $\bot$ ?
Случайно да. В прочем, оно, по-моему, куда чаще встречается, чем $\top$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение04.09.2016, 14:27 


03/06/12
2862
arseniiv в сообщении #1148991 писал(а):
В прочем, оно, по-моему, куда чаще встречается, чем $\top$.

Пока ни того, ни другого не встречал.
Мне вот подумалось, забываю написать. Смотрите. Вот 2 предложения "Если $A$, то $B$" и "Из $A$ следует $B$". Вот в бытовом смысле эти предложения тождественны. А в матлогике это совершенно разные даже не предложения, а конструкции. Первая - это четырехвариантная связка и если она есть в рассуждении, то при наличии в том же рассуждении посылки $A$ в нем появляется логическое следствие "$A$ следует $B$" и это логическое следствие уже одновариантно. Я в верном направлении мыслю?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение04.09.2016, 15:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9117
Цюрих
Да, $\bot$.

Update: не заметил новую страницу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение04.09.2016, 15:30 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Про четырёх-/одновариантность в первый раз слышу. :? Похоже, вам повезло с литературой…

-- Вс сен 04, 2016 17:39:30 --

(Втуне надеюсь, это не слова какого-нибудь любителя развести бессмысленную классификацию.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение04.09.2016, 16:02 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Sinoid в сообщении #1149013 писал(а):
Вот 2 предложения "Если $A$, то $B$" и "Из $A$ следует $B$". Вот в бытовом смысле эти предложения тождественны.
Если кто-то решает, что лучше высказать одно из этих предложений вместо другого, то может они не тождественны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение04.09.2016, 21:44 


03/06/12
2862
gefest_md в сообщении #1149042 писал(а):
Если кто-то решает, что лучше высказать одно из этих предложений вместо другого, то может они не тождественны?

Чтобы решать что-то подобное, нужно иметь более-менее аналитическое мышление, я же имел ввиду простых обывателей, да в том числе и участников этого обсуждения, когда они не задумываются о нюансах отличий понятий матлогики.
arseniiv в сообщении #1149036 писал(а):
Про четырёх-/одновариантность в первый раз слышу. :? Похоже, вам повезло с литературой…

Это собственные попытки понять импликацию. Хорошо, давайте еще попробую объяснить свои мысли так (может, в этот раз удастся пробить стену). Вот скажите, пожалуйста, сколько строк в таблице истинности импликации?

-- 04.09.2016, 23:03 --

Послушайте, ну вот тут же, там где "житейский смысл импликации" импликация распадается на 4 варианта.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение04.09.2016, 23:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9117
Цюрих
Не очень понятно, что значит "$n$-вариантность".

Импликация - булева функция 2х аргументов, соответственно, в ее таблице истинности $2^2 = 4$ строки.
Sinoid в сообщении #1149111 писал(а):
они не задумываются о нюансах отличий понятий матлогики
В матлогике, как раз чтобы не заморачиваться с формулировками, пишут значки. $\vdash, \vDash, \rightarrow$ (выводимость в теории, выполненность в модели, обычная импликация) - и доказывают разные теоремы про их связи. Как именно переводить формулы в слова - неважно, пока понятно, как вернуться к формулам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение05.09.2016, 08:16 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Sinoid в сообщении #1149111 писал(а):
Хорошо, давайте еще попробую объяснить свои мысли так (может, в этот раз удастся пробить стену). Вот скажите, пожалуйста, сколько строк в таблице истинности импликации?
Четыре, как и у любой другой функции $\{0,1\}^2\to X$. Импликация тут не выделена; а чтобы в таблице истинности была только одна строка, нужно брать функцию нуля аргументов $\{()\}\to X$, а такие функции взаимно однозначно соответствуют просто элементам $X$, и тут никакой импликацией пахнуть не может.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение05.09.2016, 14:05 


03/06/12
2862
mihaild в сообщении #1149136 писал(а):
в ее таблице истинности $2^2 = 4$ строки.

Вот! И 4 их именно потому, что на первых двух местах каждой строки таблицы истинности рассматриваются всевозможные комбинации значений посылки и следствия. И каждую эту строку я и называю вариантом. Вот когда школьник доказывает теорему "Если число делится на 6, то оно делится и на 3", он понимает ее как одновариантную мысль: Истина то, что если истина часть, которая между "если" и "то", то истина часть, которая после "то". Для него, как и для большинства обывателей, существует только единственная строка таблицы истинности импликации. И предложения типа "Если ты балерина, то я космонавт" употребляются в единственном понимании истинности посылки и следствия (ложь, ложь), (0, 0). Это потративший на размышления математик, когда записывает теорему "Если число делится на 6, то оно делится и на 3" в виде импликации $A \to B$ и видит, как при этом появляется еще 3 варианта комбинаций истиности/ложности для посылки и следствия (когда он доказывал эту теорему на бумаге - прямым путем, с помощью теории чисел, без доказательства от противного и т. п. он записал посылку, предположил ее истинной и из этой истинной по предположению посылки вывел истинность заключения, т.е. в момент доказательства это утверждение для него было одновариантно), ничему не удивляется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение05.09.2016, 14:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9117
Цюрих
Кажется, я вас не понимаю.

Что вообще значит "одновариантная мысль"? (определение) Что значит "существует только одна строка"?

Чтобы доказать импликацию $A \rigtharrow B$, нужно, например, доказать, что не быват $\neg B \wedge A$. Или воспользоваться теоремой о дедукции и доказать, что $A \vdash B$. Никакой проблемы я тут не вижу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение05.09.2016, 15:29 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Sinoid в сообщении #1149268 писал(а):
Вот когда школьник доказывает теорему "Если число делится на 6, то оно делится и на 3", он понимает ее как одновариантную мысль: Истина то, что если истина часть, которая между "если" и "то", то истина часть, которая после "то". Для него, как и для большинства обывателей, существует только единственная строка таблицы истинности импликации.
Не можем говорить о конкретной строке таблицы, если в выражениях "число делится на 6" и "число делится на 3" число неизвестно.

-- Пн сен 05, 2016 14:56:33 --

т.е. нельзя сказать, что "число делится на 6" либо истинно, либо ложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение05.09.2016, 22:18 


03/06/12
2862
mihaild в сообщении #1149283 писал(а):
Что вообще значит "одновариантная мысль"? (определение)

Это значит, что школьник, еще незнакомый с понятиями достаточности и необходимости, при анализе теоремы, для того, чтобы понять всей своей сутью только что доказанную теорему, будет брать только числа, кратные шести (единственность посылки) и всякий раз будет получать, что это число кратно трем. Ну не будет среднестатистический школьник, только-только начинающий изучать алгебру и геометрию, рассматривать числа вида $6k_1+3$ для иллюстрации возможности случая ложной посылки и истинного заключения, просто потому что ему еще не показали, что такое может быть. Не существует в его понимании применительно к этой теореме первой, второй и третьей строки таблицы истинности.
gefest_md в сообщении #1149302 писал(а):
т.е. нельзя сказать, что "число делится на 6" либо истинно, либо ложно.

Так я могу просто переформулировать теорему: "Число вида $6p$ является числом вида $3q$".
Так, хорошо, давайте попробую зайти с другой стороны. Есть теорема
Sinoid в сообщении #1149268 писал(а):
"Если число делится на 6, то оно делится и на 3"

Ввожу обозначения
$A$ : "число делится на 6",
$B$ : "это же число делится на 3"
Записываю теорему с помощью импликации: $A \to B$. Строю таблицу истинности этой импликации: $$\begin{tabular}{|c|c||c|}
\hline \mbox{\ensuremath{A}} & \mbox{\ensuremath{B}}  & \mbox{\ensuremath{A\rightarrow B}}\\
\hline 0 & \mbox{0}  & 1\\
\hline 0 & 1  & 1\\
1 & 0 & 0\\
\hline 1 & 1  & 1
\\\hline \end{tabular}
 $$
скажите, пожалуйста, какую формулировку имеет, скажем, первая строка этой таблицы в терминах теоремы "Если число делится на 6, то оно делится и на 3" ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение05.09.2016, 22:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9117
Цюрих
Sinoid в сообщении #1149470 писал(а):
будет брать только числа, кратные шести (единственность посылки) и всякий раз будет получать, что это число кратно трем
И правильно. Если нас интересует истинность импликации - нам нужно проверять только случаи, когда посылка истинна. Другие нас не интересуют. Нам важно, чтобы не реализовывалась третья строка. Какие из остальных комбинаций бывают, какие нет - на истинность утверждения не влияют.

Вообще, "одновариантность" и прочие "существование строк в понимании" - это математические понятия, или нет? Если да, то в их определении никаких "школьников" быть не должно. Если нет - то зачем о них вообще говорить?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение05.09.2016, 22:52 
Аватара пользователя


01/12/06
760
рм
Sinoid в сообщении #1149470 писал(а):
Так я могу просто переформулировать теорему: "Число вида $6p$ является числом вида $3q$".
Ничего не поменялось. "Число имеет вид $6p$" истинно или ложно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совпадение теорем
Сообщение05.09.2016, 23:45 


03/06/12
2862
mihaild в сообщении #1149474 писал(а):
Вообще, "одновариантность" и прочие "существование строк в понимании" - это математические понятия, или нет? Если да, то в их определении никаких "школьников" быть не должно. Если нет - то зачем о них вообще говорить?

А говорю я, потому что меня здесь убеждали, что в предложения с "Если, то" люди вкладывают тот же смысл, который имеет импликация с теми же посылкой с следствием.
mihaild в сообщении #1149474 писал(а):
Нам важно, чтобы не реализовывалась третья строка.

Так тоже правильно. При этом, если посылка оказывается истинной, то, т.к. третья строка никогда не реализуется, а строк с истинной посылкой в таблице истинности импликации всего 2, то будет реализовываться четвертая строка. Если же, при условии возможности реализации четвертой строки и невозможности реализации третьей строки наступил случай ложности посылки, даже если, скажем, при этом условии следствие всегда истина, это опять-таки возможный вариант из таблицы истинности импликации и это не будет вызывать противоречия при записи теоремы в виде "посылка $\to$ следствие"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 110 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group