to Indigo
Цитата:
Если у Вас есть некоторое представление для ВСЕХ натуральных чисел
Все натуральные числа можно представить по этой схеме ТРИВИАЛЬНЫМ образом:
пусть k - натуральное число, возведя его в первую степень мы получим его же
k=k^1
теперь мы можем представить k^1 скалярным произведением
k^1=(a[k],b[1])
где a[k] - k-я строка треугольника Паскаля, b[1] - 1-я строка второго треугольника (его строки нумеруются начиная с нуля!).
Т.к. b[1]=(1,1,0 ...), а первый компонент вектора a[1] равен 1, то такое представление дает
k^1=1+(k-1)
в силу чего и является тривиальным. Скажем
3^2=9=1*1+8*1=(a[9],b[1]) - тривиальное представление
3^2=1*1+2*3+1*2=(a[3],b[2]) - нетривиальное представление
Очевидно, что тривиальным образом можно представить любое натуральное число.
Меня интересует - сколькими нетривиальными способами можно представить произвольное натуральное число? Кстати, не менее интересно, имеют ли какой-нибудь комбинаторный смысл треугольники с номерами >2?
Цитата:
Для этого надо доказать, что
а) таким образом можно представить все натуральные числа.
б) для каждого натурального числа существует только одно представление.
По сказанному выше:
а) Все натуральные числа допускают, по крайней мере, тривиальное представление.
б) Почти уверен, что каждое натуральное число может быть представлено не единственным образом. При этом число его представлений будет конечным, что очевидно. Тогда соответствие между натуральными числами и целыми точками 4-х мерного пространства просто не будет взаимно-однозначным. Это никак не уменьшает моего интереса к конкретному виду этого соответствия.
Цитата:
Не вижу причин, почему бы благородному дону не рассказать об этом?
Благородному дону крайне желателен внимательный собеседник, оперативно указывающий на ошибки, неясности и неточности. Как Вы это сделали относительно элементов второго треугольника, указав правильный вид сомножителя чисел Стирлинга.
Есть предложение считать интерес проявленным и обсудить связь треугольника Паскаля с производной.
Беру небольшой тайм-аут для приведения мыслей в порядок.
to golos
Цитата:
напишите наиболее простые понятия, чтоб я смог понять
При всём моём желании кое-что Вам придётся сделать самому. Например, разобраться с биномиальными коэффициентами и правилом умножения матриц. Это можно сделать с помощью огромного множества книг. Для понимания того, о чём я говорю, в общем, ничего больше не нужно.
)
Не знаю. Возможно, это лишь забавный математический казус, но факт имеет место быть.
![$C[n,k]= \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)}{k!}=\frac{1}{k!}(n(n-1) \ldots (n-k+1))$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/5/4d5de37bcbc8ca811b0aa571ba80eb2882.png "$C[n,k]= \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n(n-1) \ldots (n-k+1)}{k!}=\frac{1}{k!}(n(n-1) \ldots (n-k+1))$")
,
