Доказательство неверности теоремы Кантора

hurtsy · 01/07/08 836 Киев

mihaild в сообщении #1147000 писал(а):

Не очень понятно, что значит "множества, определяемые аксиомой".

hurtsy в сообщении #1146963 писал(а):

«Аксиому бесконечности» можно сформулировать следующим образом: «Существует [по меньшей мере одно] „бесконечное множество“, которое состоит из $\varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ldots$ .»

gefest_md в сообщении #1147002 писал(а):

Оно не "состоит из", а содержит.

Формулировка Википедии, с уточнением gefest_md тут утверждается что такое бесконечное множество существует. Это утверждает Википедия, если вы считаете это ошибкой, будьте так добры исправьте, у вас имеется такое право.

mihaild в сообщении #1147000 писал(а):

Какое именно? Несчетных множеств много, среди них точно есть не-индуктивные, среди них есть индуктивные.

Я не занимаюсь исследованиями по несчетным множествам и это не публикация. Но у Кантора есть теорема, которую доказали позднее, уж вы то знаете, множество всех подмножеств счетного множества несчетно. Я не говорю о каких то проблемах о которых вы все время рефреном повторяете "какие еще проблемы".

mihaild в сообщении #1147000 писал(а):

множество счетно, если существует биекция между ним и минимальным индуктивным множеством. Я всё еще не понимаю, в чем проблема.

А утверждение мое, не формально и не формализовано и даже согласен "безграмотно" следующее само понятие бесконечность противоречиво и это я вижу в том, что невозможно взаимно однозначное соответствие счетного множества с множеством всех натуральных чисел. Если вы показываете такое соответствие я соглашаюсь что счетность есть понятие непротиворечивое.

Someone в сообщении #1146998 писал(а):

По определению конечного множества.

Когда я говорю об индексации я считаю что существует изоморфизм счетного множества и множества всех натуральных чисел. Мощность множества всех натуральных чисел, я слыхал называется потенциальной бесконечностью. С уважением,

mihaild · 16/07/14 9207 Цюрих

hurtsy в сообщении #1147008 писал(а):

если вы считаете это ошибкой, будьте так добры исправьте

Поправил, спасибо.

hurtsy в сообщении #1147008 писал(а):

Я не занимаюсь исследованиями по несчетным множествам и это не публикация

Что не делает ваш вопрос корректным. Вы спрашивали "несчетное множество индуктивно?" - этот вопрос аналогичен "яблоко красное?" (без указания конкретного яблока).

hurtsy в сообщении #1147008 писал(а):

не говорю о каких то проблемах

Под "проблемой" я имел в виду

hurtsy в сообщении #1146963 писал(а):

Может следует для этого ввести аксиому?

В смысле - зачем вводить аксиому (и какую?)? Чем без нее плохо? Что вы хотите сделать, но не можете из-за отсутсвия этой аксиомы?

hurtsy в сообщении #1147008 писал(а):

само понятие бесконечность противоречиво

В логике есть строгое определение понятия "противоречивость теории" - когда в теории одновременно выводятся $A$ и $\neg A$ для некоторого $A$ . Что такое "противоречивость понятия"?

hurtsy в сообщении #1147008 писал(а):

невозможно взаимно однозначное соответствие счетного множества с множеством всех натуральных чисел

По определению, множество счетно тогда и только тогда, когда между ним и множеством натуральных чисел существует биекция.

Вообще, вы говорите "счетное множество", как будто это какой-то один конкретный объект. Это не так - есть разные счетным множества, и для них, естественно, будут разные биекции.

hurtsy в сообщении #1147008 писал(а):

Мощность множества всех натуральных чисел, я слыхал называется потенциальной бесконечностью

Насколько я знаю, понятие "потенциальная бесконечность" пытались ввести, но так и не получилось. Мощность множества натуральных чисел называют либо счетной, либо $\aleph_0$ (алеф $0$ ).

hurtsy · 01/07/08 836 Киев

mihaild в сообщении #1147013 писал(а):

По определению, множество счетно тогда и только тогда, когда между ним и множеством натуральных чисел существует биекция.

Этого достаточно. Значит то что я просил биекцию существует. Теперь выпишите какой элемент счетного множества соответствует натуральному числу равному числу Авогадро умноженному на число литров равному объему видимой вселенной в литрах или лучше в нанолитрах. Могу выписать несколько символов $\varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\ldots$ чтоб вам меньше было писанины. Вам остается написать конечное число символов, ведь натуральное число конечно( копирайт Someone )

С уважением,

-- Вс авг 28, 2016 01:35:48 --

mihaild · 16/07/14 9207 Цюрих

hurtsy в сообщении #1147031 писал(а):

какой элемент счетного множества соответствует натуральному числу равному

Во-первых, не указано, какого именно множества.
Во-вторых, не задана конкретная биекция.
В-третьих, объем видимой вселенной к математике отношения не имеет.
В-четвертых, что-то мне кажется, что вы троллите.

Lia · 20/03/14 12041

!	hurtsy Предупреждение за бредогенерацию на почве безграмотности.

sergei1961 · 25/08/11 ∞ 1074

Может пора закрыть эту тему?

Alexeev_Andrey · 07/07/16 ∞ 28

Karan в сообщении #1144514 писал(а):

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

Конечные множества – это множества, содержащие конечное число элементов, равное какому-то конечному натуральному числу, чему соответствуют бесконечные последовательности 0 и 1, у которых конечное число единиц.

Неверно или неточно. Что такое "число элементов" и каким оно может быть, если не конечным?

Под числом элементов я понимал здесь количество элементов, оно может быть не конечным. Количество элементов бесконечного множества - бесконечно. Ведь говорится: множество натуральных чисел содержит бесконечное число элементов.

Построение биекции с отрезком натурального ряда в свою очередь уже предполагает натуральные числа. Если множество равномощно отрезку натурального ряда, значит элементы множества можно перенумеровать, перечислить. Если элементы можно перечислить (хоть просто пересчитать до конца, ибо бесконечность не имеет конца) значит оно равномощно отрезку натурального ряда. Так что это эквивалентные утверждения.

Из учебных материалов, цитирую:
«Определение. Множество, равномощное отрезку натурального ряда, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.
Иными словами, конечное множество (если оно не пусто) есть такое множество, элементы которого можно "пересчитать", т. е. перенумеровать так: $a1, a2, ..., an$ , причем все элементы будут занумерованы, все числа от $1$ до $n$ будут использованы и различные элементы получат различные номера.
Определение. Мощностью конечного множества называется число элементов в этом множестве.
Множество $A$ называется конечным, если оно равномощно множеству $\{1,…,n\}$ для некоторого $n \in \mathbb N$ . Мощность такого множества идентифицируют с количеством его элементов: $|A|=n$ . Таким образом по определению два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одно и то же числа элементов.
То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
Мощностью любого конечного множества можно считать число его элементов.
Мощность конечного множества $A$ - это число его элементов.»

Karan в сообщении #1144514 писал(а):

Alexeev_Andrey в сообщении #1144499 писал(а):

Но $2$ – исключительное число в простом ряду, оно одно простое четное.

Ничего исключительного тут нет. Точно так же $3$ - это единственное простое число, делящееся на $3$ . Просто для четности в естественном языке есть отдельное слово, а для делимости на 3 нет.

Если вы скажите олимпионику (олимпийскому чемпиону, или просто участнику олимпийских игр), что $2$ -ое место такое же как $1$ -ое, то он с вами, скорее, не согласится. Числа тоже друг перед другом имеют отличия. Я просто хотел сказать, что часто структуры характеристики 2 рассматриваются особо. $0$ и $1$ все же базовые числа вообще. Виртуальная реальность строится все же не на троичной или какой большей, а на двоичной системе счисления. И все же $2$ – это единственное (!) простое четное число в отличии от других нечетных. Конечно же с позиции определения $p$ -адических чисел можно его считать таким же как все… и все же оно – первое в этом ряду…

Xaositect в сообщении #1144520 писал(а):

В этой равномощности, собственно, все различие между теорией множеств и топологией. Теория множеств не предполагает никакой связи между точками множества, никак не различает непрерывные и дискретные множества. Для такого различия на множестве должны быть дополнительная структура - топология. Ваши "непрерывные тела" в топологии называются связными множествами, а "тельность" - количеством связных компонент. Используйте общепринятую терминологию (и изучите ее для этого), тогда Вас будет гораздо легче понимать.

Теория множеств – да. Но вот на вещественной прямой непрерывные множества имеют мощность только континуума. То есть топология в свою очередь оказывается связана с мощностью множества. И в какой-то момент мне показалось, что на прямой только непрерывные множества – континуальные, ибо натуральные числа, рациональные числа – дисперсны, представляют набор отдельных (нигде не связных) точек (выше я называл их дискретными), которые, мне подумалось, наверное, можно пересчитать, раз они отделены друг от друга. Но существование Канторова множества опровергает это представление и опять же связано это как раз с построением Канторовых точек путем удвоения их на каждом шаге добавления, а именно $1+2+2^2+2^3+…$ , что равно $-1$ , то есть ненатурально, то есть данное количество точек нельзя пересчитать. Но вместе с тем Канторово множество – множество отдельных, нигде не связных точек.

В геометрии вычисляют объемы чего? Тел. На плоскости отдельный отрезок представляет компоненту связности, но мера, площадь этой компоненты на плоскости равна нулю, и отрезок на плоскости не представляет тела.
В геометрии телом называют некоторую ограниченную связную область, но, чтобы расширить это определение, чтобы добавить и неограниченные области, например, срез пространства, я просто свое название придумал, ибо не знаю, не нашел другого определения тела.
Я попытался дать такое определение: математически тело – это компонента связности ненулевой меры (не обязательно ограниченная).
Мне нужно просто математическое (геометрическое) определение тела. Я сам предлагаю такое. Готов выслушать за и против.

То, что я нашел и что мне не совсем подходит:
«Геометри́ческое те́ло — связная часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью своей наружной границы. Геометрическое тело можно определить замкнутой поверхностью, которая будет являться его границей. Геометрическим телом называют также компактное множество точек, и две точки из множества можно соединить отрезком, который целиком будет проходить внутри границы тела, что указывает на состояние геометрического тела из множества внутренних точек.»

mihaild · 16/07/14 9207 Цюрих

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

Количество элементов бесконечного множества - бесконечно.

Обычно говорят не про "количество" элементов в бесконечном множестве, а про его мощность.

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

И все же $2$ – это единственное (!) простое четное число в отличии от других нечетных.

И всё же $3$ - это единственное (!) простое делящееся_на_3 число в отличии от других не_делящихся_на_3.

Конечно есть разные утверждения про $2$ -адические числа, аналоги которых для произвольного $p$ неверны. Возможно, среди этих утверждений даже есть интересные. Но пока что вы их не привели.

Видимо, под непрерывными множествами вы понимаете связные. Если да, то какие - просто связные или линейно связные? Если нет - то дайте ваше определение "непрерывного множества".

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

это компонента связности

Обычно говорят про компоненты связности уже заданного множества. Про отдельное множество говорят, что оно связно.

Ок, вы можете определить тело как связное измеримое множество ненулевой меры (кстати бесконечной подходит?). Что вы дальше будете с этим определением делать?

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

Геометрическое тело можно определить замкнутой поверхностью, которая будет являться его границей

Озёра Вады против такого определения. Правда дальше требуется выпуклость, но это ИМХО нехорошо (что, куб с дыркой уже не тело?).

arseniiv · 27/04/09 28128

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

Я просто хотел сказать, что часто структуры характеристики 2 рассматриваются особо.

Частота рассмотрения — это внематематический фактор.

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

$0$ и $1$ все же базовые числа вообще.

Слова ни о чём.

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

Виртуальная реальность строится все же не на троичной или какой большей, а на двоичной системе счисления.

Опять же, цифровая вычислительная техника (а не виртуальная реальность) использует двоичную систему из технических соображений, к математике это практически не относится.

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

И все же $2$ – это единственное (!) простое четное число в отличии от других нечетных.

Чётное число — это ровно число, делящееся на 2. Соответственно, 2 тут не выделено, как уже выше писали. Разве что это наименьшее простое число, и про 1 так уже не сказать. Правда, и тут подкрадывается обобщение на все положительные целые: $n$ — единственное число с наименьшим количеством простых делителей, делящееся на $n$ . :mrgreen:

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

а именно $1+2+2^2+2^3+…$ , что равно $-1$ , то есть ненатурально, то есть данное количество точек нельзя пересчитать

Это не аргумент в пользу несчётности канторова множества.

Alexeev_Andrey · 07/07/16 ∞ 28

mihaild в сообщении #1151719 писал(а):

Количество элементов бесконечного множества - бесконечно. Обычно говорят не про "количество" элементов в бесконечном множестве, а про его мощность.

Согласен, числа здесь какими-то неопределенными получаются, неоднозначными, словно плавающими в море с определенными границами мощности. Но все же также мощность множества называют кардинальным числом.

mihaild в сообщении #1151719 писал(а):

И всё же $3$ - это единственное (!) простое делящееся_на_3 число в отличии от других не_делящихся_на_3.

Конечно есть разные утверждения про $2$ -адические числа, аналоги которых для произвольного $p$ неверны. Возможно, среди этих утверждений даже есть интересные. Но пока что вы их не привели.

По поводу делимости 3 только на 3 – согласен, видите, я же говорю числа друг перед другом отличаются. Только 2-ка первая в этом ряду, вот поэтому слово четность есть, а троичность и нетроичность нет. То есть двойку как четное отличили в силу ее первого места.

Вы просили привести отличия 2-адических чисел от всех остальных. Пожалуйста, для любого натурального n, веса 2^n в позиционном (двуадическом) ряду являются величиной равной множеству подмножеств числа n. Это верно только для двойки, для весов по другим числам это неверно.

mihaild в сообщении #1151719 писал(а):

Видимо, под непрерывными множествами вы понимаете связные. Если да, то какие - просто связные или линейно связные? Если нет - то дайте ваше определение "непрерывного множества".

Ок, вы можете определить тело как связное измеримое множество ненулевой меры (кстати бесконечной подходит?). Что вы дальше будете с этим определением делать?

Я попытаюсь ответить вам развернуто, хотя это и офтоп, но вы спросили здесь.

Я хочу сопоставить (ограниченному) физическому телу наиболее адекватную по возможности математическую модель. В геометрии тела – это области (то есть нечто внутренне связное), ограниченные кривыми, поверхностями, по которым потом вычисляется объем как интеграл. Затем мне хотелось бы все же подтвердить название натурального ряда только возможной счетностью тел в Натуре. Причем, существование дисперсного континуального множества, пыли Кантора, свидетельствуют что в принципе возможна континуальная делимость. То есть, к примеру, отрезок веревки в принципе можно разрезать в континууме мест, совершая разрезы по Канторову множеству, тогда как мера пыли Кантора равна нулю, а мера оставшихся частей в сумме равна $1$ . Как же быть с телами? Наверное, придется все же ограничиваться фиксированной наименьшей неделимостью, каких-то атомов, пикселов. Но возможность изничтожить тело в пыль должна же оставаться… Но в реальности невозможно организовать в принципе и обычную счетную делимость до бесконечности, то есть просто нечто поделить на бесконечное число частей, совершая последовательно по одному разрезу, и связано это с принципом ограниченности.

Говоря о модели реального тела, интересен еще вопрос о границе тела. Если два тела соприкасаются и имеют общую точку, то они оказываются связными, то представляют собой уже одно тело. Чтобы исключить подобное, обычно граница представляет линию, полосу нейтралитета, на которой и за которую происходит борьба, в качестве диффузии молекул там, ссор соседей и т.п. войны за жизненное пространство, за расширение, поэтому в общем случае мы определим тело как открытое множество. Но коль скоро тело завоевало свою границу, то может быть и замкнутым. А также обычные тела ограничены. Но мы оставляем в определении широту для всей вселенной как представляющей единое связное тело без пустот.
Все пространство ${\mathbb R}^3$ , как идеальная модель, лежащая в основании вселенной (а не какое-нибудь кривое и ограниченное в духе Эйнштейна, Минковского) представляет связное непрерывное бесконечное множество, нигде не допускающее пустоты. Все мироздание есть всюду непрерывное, связное единое тело. Вселенная не может быть в виде бублика, ибо бублик предполагает некую абсолютную пустоту, что в принципе невозможно (ибо неверно уже логически «ничто есть», также оно не может быть ограниченным, ибо опять же допускала бы абсолютную пустоту вне).

Заметим также, что объем возникает как интеграл, а интеграл (первообразная) представляет непрерывную функцию. Я же тела рассматриваю как интегральные целостности, то есть непрерывность неявно закладывая, и это прямо согласуется с определением тела, как связного множества, линейно связного – то есть, есть непрерывный путь. Вот это мне и надо было!
В моем понимании, тела задаются интегрированием, суммированием, объединением. Это укладывается в мою парадигму мироустройства, где тела являются интегральными целостностями. Интегрирование (ибо обратно дифференцируемо) предполагает непрерывность, то есть связность в ${\mathbb R}^3$ линейная связность и связность эквивалентны).
Так интеграл задает непрерывность, берем две точки $0$ и $1$ и интеграл от $1$ , то получаем непрерывную функцию $x$ и длину $1$ .
Непрерывная на отрезке функция всегда имеет первообразную. Я утверждаю, что все границы реальных тел гладко непрерывны, то есть дифференцируемы и интегрируемы.

Множество, да, предполагается, как идеальная основа (реальных тел), – множество вещественных точек ${\mathbb R}, {\mathbb R}^2, {\mathbb R}^3$ .
Я рассматриваю простые множества ${\mathbb R}, {\mathbb R}^2, {\mathbb R}^3$ , на них линейная связность совпадает со связностью. Но все же предполагаю более сильное – линейную связность, из которой следует связность. Тогда первое приближение: математическая модель физического тела: линейно связное открытое (ограниченное для конкретных тел) множество на , ненулевой меры. Мера – наверное, достаточно Жордана (коль граница множества у меня предположительно непрерывные функции). Непрерывность множества обычная – хоть по Коши (непрерывность и функции), Дедекинду. Интеграл по Риману.
Я хочу сказать, что непрерывность есть результат интегрирования (хотя есть непрерывные функции, которые не являются дифференцируемыми, то есть не являются результатом некоторого интегрирования, ну тогда они просто не могут быть моделью границ реальных тел (* см сноску). Пусть есть две дискретные точки $0$ и $1$ . Интеграл от константы $1$ есть непрерывная линейная функция $x$ , путь, значение которой на этом пути равно $1$ , представляя меру интервала $(0, 1)$ , его непрерывную длину. Далее интеграл от $x$ дает квадрат $x^2/2$ , далее $x^3/6$ куб… и т.д. То есть результат интегрирования по восходящей от нуля до константы – числа, точки – и далее мы получаем восходящие размерности. И длины, площади, объемы тел вычисляются через интегралы. В моем представлении реальные тела являются как результаты некоего интегрирования, чей идеальный, математический образ, форма, также должна в частности удовлетворять основам интегрирования.

*примером непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции представляет функция Вейерштрасса. Но эта функция представляет собой бесконечную сумму косинусов, каждый косинус имеет производную функцию – минус синус, к тому же сам ряд есть сумма, то есть представляет некое интегрирование (суммирование). Функция эта представляет негладкую волновую функцию, вроде биржевого графика, который не имеет касательной в каждой точке. Но почему вообще функции, описывающие границы реальных физических тел, должны быть гладкими? Ну это согласуется с тем представлением, что все является результатом излучений, имеющих волновую природу. Так вот даже функция Вейерштрасса имеет волновую природу, только ломается коэффициентами. Об общей волновой природе свидетельствует и разложения функций в ряды Фурье. Но опять же возникают функции, для которых ряд Фурье не сходится.

Если функция дифференцируема, то она непрерывна. В точках разрыва функция не может иметь производной. Существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.
А о чем последнее свидетельствует, если предположить, что все физические тела получаются путем некоего интегрирования? О том, что в Природе все вещи имеют гладкие непрерывные границы, без угловых точек, то есть любое заострение остается все же гладким. Карандаш до точки не заточить (или прямо скороговоркой: заточку до точки не заточить). Идеальный угол до конца не заполнить материей. Это согласуется с тем, что все же молекулы имеют минимальный неотрицательный размер и не вырождаются до точки. То есть можно еще добавить в определение тела, что границы математических тел как образа физических тел – это гладкие функции, имеющие непрерывную производную.
То есть из предположения, что все тела получаются путем интегрирования, мы имеем следствие, что они всюду должны быть дифференцируемы, то есть они имеют все гладкие границы, поверхности. В Природе как известно не бывает идеальных кубов, пирамид и т.п., но, чтобы оставить им возможность, буду предполагать кусочную гладкость, ибо интеграл от $0$ до $1$ , есть отрезок от $0$ до $1$ . То есть достаточно, что интеграл задает непрерывность, дифференцируемую на внутренних точках. А в целом интегрирование можно понимать и более широко и как где-то просто суммирование.

Мне необходимо математическое определение физического тела для того, чтобы удостовериться в концептуальной истинности своего понимания устройства мироздания, как восхождения в интегрировании, в частности, хотя бы чтобы согласовывалось с (моё определение) основным интегральным уравнением мироздания $(0-1-x-x^2/2…)$ (последовательное взятие интеграла, начиная с $0$ ), как математическая модель. В частности, при переходе с идеального на материальный уровень. Идеальный – математический, материальный – физический. Так вот все согласуется. Ура!
Ибо математическая модель физического тела (пусть ограниченного): открытое (оставляем открытой границу) ограниченное (можно заключить в какой-то шар, но это не обязательно) связное множество, имеющее гладкую (дифференцируемую, непрерывную) границу. Это некий идеальный объект, математическая модель материального физического тела. Связность – линейная связность предполагает непрерывность. Все интегралы – непрерывные функции. Также непрерывные функции интегрируемы. То есть связность, линейная связность здесь нечто существенное, согласное с моим представлением, что тела суть интегралы, интегральные целостности.

Отчасти это связано и с ответом Бертрану Расселу на сущность элемента множества, как некоей единицы, целостности (хотя элементами множества могут быть и не непрерывные множества, но рассматриваемые как некая суммарная – интегральная – целостность, то есть как некая единая совокупность).
«Отвечая на критику, Рассел следующим образом объяснял значение своей работы. «Но, можете Вы возразить, ничто не поколеблет Вашего убеждения в том, что дважды два равно четыре. Вы совершенно правы — за исключением незначительных частных случаев. Два должно быть двумя чего-то, и утверждение "дважды два равно четырем" бесполезно, если его невозможно применить к чему-либо. Две собаки и две собаки, разумеется, это четыре собаки. Но могут представиться случаи, когда Вы усомнитесь в том, являются ли эти два животных собаками. "Во всяком случае, животных четверо", — могли бы возразить Вы. Но существуют микроорганизмы, относительно которых трудно сказать, животные они или растения. "Прекрасно, — возразите Вы, — пусть будут не животные, а живые организмы". Но есть такие объекты, относительно которых трудно сказать, живые они или нет. Вам не останется ничего другого, как сказать: "Две сущности и две сущности равны четырем сущностям". Если Вы объясните мне, что Вы понимаете под «сущностью», то спор можно будет считать законченным».
$2+2=4$ как раз и является абстракцией от чего либо, и само по себе есть в идеализме (математики). А под сущностью можно понимать цельность, целостность как категорию, интегральную целостность. Рассел спрашивает о базовом понятии математики – числе, $1$ -це. Данное число вводится аксиоматически, но по сути означает некую целостность. Далее подобные и различные целостности сравниваются, что уже представляет делимость, множественность (за это отвечает отрицание, что разнит). Это то, что просто есть, как есть мир…

-- 07.10.2016, 16:21 --

arseniiv в сообщении #1151740 писал(а):

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

$0$ и $1$ все же базовые числа вообще.

Слова ни о чём.

Обо всем. Буквально.
(и для начала хотя бы уже о паре {0, 1}, на которой основан и математический, и реальный мир)
0, 1 – ложь, истина, основа бинарной логики
0, 1- нет, есть; ничто, бытие; пустота, абсолют; да-нет, где третьего не дано.
0 – начало и любой системы координат, 1 – задает единицу измерения, эталон.
0, 1 – минимальное множество, используемое в основе построения вещественных* чисел

*хотя вещественные, действительные числа, точки, вовсе не вещественные, ибо мера каждой равна 0. Они идеальные, представляя непрерывную (без пустот) идеальную основу натуральных вещей. Идеальное множество в основании всякого физического (вещественного, действительного) существования.

arseniiv в сообщении #1151740 писал(а):

Опять же, цифровая вычислительная техника (а не виртуальная реальность) использует двоичную систему из технических соображений, к математике это практически не относится.

Имеет отношение к математике, но, конечно, первично математика имеет отношение ко всему в мире. Например, кратчайшими линиями являются геодезические, так по ним будут катиться шарики, преломление луча идет в соответствии с минимум затрачиваемого времени и т.п. можно привести множество экстремальных закономерностей, свидетельствующих об общем принципе оптимальности, мини-макса, царящем в мире. Так вот то, что в технике наиболее подходит (проще, надежнее, удобнее, экономичнее – лучше в сравнительной степени) двоичная система счисления как раз говорит в пользу ее экстремальности, наилучшести, исключительности и в математическом смысле. Да мы и видим это, 2-ка не по делимости, а по простому порядку – наименьшее простое число, первое в ряду, что как раз согласуется с принципом оптимальности и избранием 2-ки в технике. Также двоичная система лежит и в основе азбуки морзы (там тоже лучше подходит два знака).
Вы просили привести отличия 2-адических чисел от всех остальных. Пожалуйста, для любого натурального n, веса 2^n в позиционном (двуадическом) ряду являются величиной равной множеству подмножеств числа n. Это верно только для двойки, для весов по другим числам это неверно.

Хотя стоит отметить, что в цифровой технике наиболее экономичной является троичная система счисления. И все же 2-ка победила по иным критериям, то есть широко распространена именно двоичная система счисления.

arseniiv в сообщении #1151740 писал(а):

Alexeev_Andrey в сообщении #1151697 писал(а):

а именно $1+2+2^2+2^3+…$ , что равно $-1$ , то есть ненатурально, то есть данное количество точек нельзя пересчитать

Это не аргумент в пользу несчётности канторова множества.

Более точно, Канторово множество строится так: берется интервал на нем выбирается $2$ точки, потом $4$ и т.д.. каждый раз удваивая количество граничных точек. То есть $2+4+8+… = -2$ . Такой ряд содержит несчетное число единиц. В отличие от ряда $1+1+1+1… = \sum\limits_{i=1}^{\infty}1$ , который содержит счетное число единиц. Причем, интересно отметить, что первый ряд имеет единственное, строго определенное значение, а второй ряд представляет собой неопределенную бесконечность.

Само по себе не говорит, если не знать, что точно также, с разницей в одну точку, строится множество вещественных чисел на интервале $(0, 1)$ в двоичной системе счисления: полагается в середине одна точка, в каждом из образовавшихся $2$ интервалов по одной точке и т.д., то есть ряд $1+2+2^2+…$ представляет собой количество вещественных точек на прямой, что равномощно континууму. А также натуральная сумма $1$ равна $+ \infty$ (счетность плавает в этом море), то есть счетное их число не может равняться $-1$ .

Кстати, теорема Кантора неверна для унифицированных множеств (состоящих из одних единиц или совершенно одинаковых идеальных элементов). Например, счетное множество, состоящее из одних единиц, имеет счетное число подмножеств.

Кривая Пеано – непрерывное, но не биективное отображение отрезка на квадрат. Не нашел док-ва, где показывается, что биективного непрерывного отображения не существует.

mihaild · 16/07/14 9207 Цюрих