Доказательство неверности теоремы Кантора

[Alexeev_Andrey]

Доброго времени!

Мощность всех подмножеств натурального ряда счетна. То есть мощность $2^{\mathbb N}$ счетна. То есть теорема Кантора, которой мне морочили голову на мат-мехе Университета, неверна! Да и не понятно, уже по формуле, как мощность могла стать несчетной, если мы возводим 2 в дискретную, натуральную степень, просто здесь бесконечность мы проходим экспоненциально быстро. А это свидетельствует, что аксиома выбора, применяемая в доказательстве противного, не истинна.

Доказательство первого утверждения по индукции, по количеству элементов в подмножестве. База индукции – одноэлементные множества. Это в точности множество натуральных чисел $\mathbb N$. Для интереса приведем доказательство для двух элементных множеств. Двухэлементные множества можно представить так: множества, содержащие 1, – это $\{1, 2\}, \{1, 3\}, \{1, 4\}$ и т.д. в сумме равномощные $\mathbb N$, далее $\{2, 3\}, \{2, 4\}, \{2, 5\}$ и т.д., опять равномощные $\mathbb N$, первый символ в этих двухэлементных множествах есть перебор $\mathbb N$, значит мы получаем счетное объединение счетного числа множеств, что само счетно. Значит двухэлементных множеств счетное число. Пусть утверждение верно для $m$-элементных множеств, то есть их счетное число, тогда и $m+1$ элементных множеств счетное число, действительно, фиксируем какое-то $m$-элементное множество, чтобы из него получить все $m+1$ элементные множества, достаточно добавить к нему $\mathbb N$-$m$ (элементы) числа натурального ряда. Тогда для фиксированного набора из $ m$ элементов мы получим счетное число $m+$1 элементных множеств, содержащих множество из фиксированных $m$ элементов в качестве подмножества. А тогда, так как по индукционному предположению $m$-элементных множеств счетно, то мы опять получаем счетное число счетных множеств, что счетно. А поскольку множество всех подмножеств представимо в виде суммы всех одноэлементных множеств, двухэлементных множеств и т.д. по натуральному ряду, то мы опять имеем счетную сумму счетных множеств, что счетно. Таким образом множество всех подмножеств 2^{\mathbb N} счетно. Аналогично можно доказать, что и {\mathbb N}^2, {\mathbb N}^3...{\mathbb N}^{\mathbb N} – счетны. Ну это и верно, ибо элементы перечисленных множеств представляют дискретные точки в \mathbb N-ом пространстве.

Если это так и противоречит утверждению теоремы Кантора, гласящего, что для любого множества мощность всех подмножеств данного множества больше мощности самого множества, то возникает естественный вопрос: в чем неверность в доказательстве теоремы Кантора?
Давайте вспомним доказательство теоремы Кантора:
Пусть $X$ – произвольное множество, $P(X)$ – множество всех подмножеств $X$.
Пусть $f$ – биекция $X$ на $P(X)$.
Пусть $Y = \{ x \in X: x \notin f(x) \}$ (множество элементов, которые не принадлежат своим образам, подмножествам $X$)
$f$ – биекция, поэтому $Y = f(y)$ для некоторого $y$.
Но если $y \in Y$, то $y \in f(y)$ и $y \notin Y$.
Если же $y \notin Y$, то $y \notin f(y)$ и $y \in Y$.
В любом случае получаем противоречие, значит биекции $f$ не существует.

Рассмотрим в качестве $X$ множество натуральных чисел $\mathbb N$. Тогда заметим сперва, что $Y$ в приведенном выше доказательстве существует, то есть не пусто. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть одноэлементные множества в качестве образов при отображении $f$, в случае, если бы $Y$ было пусто, то все элементы множества $\mathbb N$, то есть просто числа принадлежали ли бы своим образам одноэлементным множествам, то есть $f$ было бы тождественным отображением, но тогда бы выпали двухэлементные множества и множества большей размерности (по количеству элементов) из пересчета, значит множество $Y$ не пусто и существует (по аксиоме выделения). Так в чем же неправ Кантор? Выше мы показали, что из того факта, что сложение и умножение счетных множеств не выводит из класса счетности, следует, что множество всех подмножеств должно быть счетным, что противоречит утверждению теоремы Кантора. Так давайте приведем конкретную, конструктивную биекцию, которая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между $\mathbb N$ и $2^{\mathbb N}$.
Рассмотрим элементы множества $\mathbb N$-бесконечномерного пространства вида $\{0,0,1,0…\}$, то есть $\{ x_i \}$, где $ x_i = 0$ или $1$. И сопоставим эти элементы множеству всех подмножеств $\mathbb N$ таким образом $ x_i = 0$ или $1$ - в зависимости от того, присутствует ли в подмножестве $\mathbb N$ элемент $i$ (натуральное число $i$). Например, подмножеству $\{1, 2, 3\}$ соответствует элемент $\{1, 1, 1, 0, 0, …\}$. Легко видеть, что данное представление есть взаимно-однозначное соответствие между 2^{\mathbb N} и $\{x_i\}$, где $ x_i = 0$ или $1$, а $i$ пробегает весь натуральный ряд.
Теперь расположим элементы $\{x_i\}$ в следующем порядке:
$\{0, 0, 0, 0…\}$ нулевой элемент, соответствующий пустому множеству, нулю (множество всех подмножеств имеет пустое множество). А далее ниже $\{1, 0, 0, 0…\}$ – элемент, соответствующий $1$, и занумеруем их следующим образом:
1)
$\{0, 0, 0, 0, 0, 0…\}$ – $1$
$\{1, 0, 0, 0, 0, 0…\}$ – $2$.
Далее рассмотрим пару элементов, по количеству предыдущих элементов, где добавим на вторую позицию по $1$-це.
2)
$\{0, 1, 0, 0, 0, 0…\}$ – $3$
$\{1, 1, 0, 0, 0, 0…\}$ – $4$
Далее рассмотрим уже четыре элемента $2\cdot2$, где на третью позицию добавим по $1$-це.
3)
$\{0, 0, 1, 0, 0, 0…\}$ – $5$
$\{1, 0, 1, 0, 0, 0…\}$ – $6$
$\{0, 1, 1, 0, 0, 0…\}$ – $7$
$\{1, 1, 1, 0, 0, 0…\}$ – $8$
4) Далее рассмотрим уже $8$ элементов $4\cdot2$, где на четвертую позицию добавим по $1$ и т.д.
Во-первых данное представление является биекцией между $\mathbb N$ и 2^{\mathbb N}. Действительно, слева мы перечисляем всевозможные множества, состоящие из $0$ и $1$ в разных позициях, заполняя их по возможности слева направо. Причем каждый раз, на каждом шаге мы добавляет в $2$ раза больше элементов, чем на предыдущем шаге. На первом шаге у нас было $2$ элемента, на втором – $4$, на третьем – $8$ и т.д. На $n$ – ом шаге 2^n элементов, что счетно, причем мы нумеруем эти элементы натуральными числами, как показано справа. Что уже доказывает счетность множества всех подмножеств. Но данная биекция имеет и еще одно замечательное свойство, а именно, в ней каждый элемент, каждое натуральное число не принадлежит подмножеству, ему соответствующему при данной биекции. Это доказывается по индукции и следует из неравенства $n<2^n$, верного для всех натуральных $n$. А именно. При $n=0, 0<1$. И показательная функция растет быстрее линейной.
Теперь заметим, что $2$-ому шагу соответствуют числа $3, 4$ и некоторые множества, состоящие из $1$ и $2$. Третьему шагу – $5, 6, 7, 8$ и некоторые множества, состоящие из $1, 2, 3$. Четвертому шагу – $9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16$ и некоторые множества из $1, 2, 3, 4$ и т.д., $n$ – ому шагу числа в диапазоне $2^n - 2^{n-1}$ и множества из чисел $1, 2…n$. Но поскольку ${n-1<2^{n-1}}$, то ни один из номеров не принадлежит своему образу при биекции. А тогда бы получаем, что в теореме Кантора, $Y = \{x \in X: x \notin f(x) \} = ${\mathbb N}$, то есть все множество $\mathbb N$. А какой элемент $y$ (игрек) в теореме Кантора соответствует $\mathbb N$ $= \{ 1, 1, 1, 1…1… \}$, то есть когда $f(y)= \mathbb N = \{ 1, 1, 1, 1…1… \}$ (само множество натуральных чисел, натуральная бесконечность)? В нашем представлении – это не конечный элемент, а само $\mathbb N$, то есть $y = \mathbb N$, натуральная бесконечность. Вот где собака порылась!
Заметим, что конечным подмножествам из $\mathbb N$, у которых есть максимальный элемент, соответствуют конечные, фиксированные элементы из $\mathbb N$, а вот бесконечным подмножествам, у которых не фиксирован максимальный элемент, которого попросту нет, соответствуют бесконечные, нефиксированные элементы из $\mathbb N$. Они (и подмножества и элементы из $\mathbb N$) словно находятся в бесконечном процессе взаимно-однозначного построения, но в каждый фиксированный момент, когда максимальный элемент в бесконечном подмножестве фиксируется, то ему однозначно соответствует фиксированный элемент из $\mathbb N$. Так вот в каждый фиксированный момент для бесконечного множества $\{1, 1, 1…1…\} = \mathbb N$, соответствующий ему элемент не принадлежит своему прообразу, а потому не принадлежит в построении множеству $Y$, но так как в конце концов оказывается, что $Y = \mathbb N$, то бесконечность $\mathbb N$ принадлежит всецелой бесконечности $\mathbb N$. И этим противоречие снимается. Заметим, что в самом $\mathbb N$ не существует максимального элемента, он полагается символично бесконечностью.
P. S. Хотя возникает смутное противоречие, а можно ли нумеровать бесконечные элементы (подмножества) бесконечными числами? Должен ли быть элемент обязательно конечным? Если мы приняли за базис то, что счетная сумма счетных множеств счетна, то почему нет? Мы же здесь тоже перенумеровываем бесконечности по диагональному методу Кантора, напомню, расположив бесконечности по порядку в виде бесконечной матрицы и начав нумерацию их левого угла по диагонали (например, слева, спускаясь ниже направо вверх).

Мне привели пример, что нельзя данным способом занумеровать ряд четных чисел (или, скажем, любое бесконечное подмножество). Почему же нет? Ряд счетных чисел бесконечен и ему соответствует бесконечное число, которое строится вместе с построением ряда счетных чисел, причем единственным образом, также как строится число, соответствующее всему ряду натуральных чисел (который тоже бесконечен). Бесконечные числа бывают, так же как и бесконечные подмножества, состоящие из бесконечных чисел. Как же бесконечность натуральных чисел? Назовите мне в таком случае самое большое конечное натуральное число? Бесконечно большие числа бывают, как бывают бесконечно малые.
Хотелось бы услышать возражение против доказательства счетности множества всех подмножеств, основанное на счетной сумме (по числу элементов в подмножестве) счетных подмножеств (равному фиксированному числу элементов).

Еще вопрос напоследок: может ли последовательность рациональных чисел, всех, иметь иррациональный предел?

С ув. Алексеев Андрей (Андрей Петербургский)

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

Никто не станет лазить по вашим ссылкам с вордовскими файлами.
Лучше скажите в двух словах - чего доказано-то? Есть или нет жизнь на Марсе промежуточные мощности?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

Приведите основные шаги доказательства в теле сообщения. Объясните, как доказательство соотносится с известными результатами Геделя и Коэна о совместности континуум-гипотезы с ZFC.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Тема возвращена, сообщение Dan B-Yallay убрано в оффтоп, так как тема начального сообщения изменилась.

-- 10.08.2016, 15:21 --

Также копирую содержательную часть из переписки об исправлении темы:

Alexeev_Andrey в сообщении #1143139 писал(а):

Karan в сообщении #1143131 писал(а):

И я говорил о четных числах, а не о "счетных" (таких не бывает). И бесконечных натуральных чисел тоже не бывает, все натуральные числа конечны.

Ну ладно убрал, а бесконечные числа бывают, как бывают бесконечно малые, так бывают и бесконечно большие

[warlock66613]

Alexeev_Andrey в сообщении #1136384 писал(а):

Таким образом множество всех подмножеств $2^{\mathbb N}$ счетно.

Вы рассмотрели только все конечные подмножества множества натуральных чисел, так как до бесконечных вы обычной индукцией добраться не можете.

[Alexeev_Andrey]

Как же? Математическая индукция утверждает, что если верно для $n$ и верно для $n+1$, то верно и для всех натуральных $n$, то есть для всего $\mathbb N$, для бесконечности, и для бесконечно больших. Я рассматриваю подмножества по количеству элементов.

[Xaositect]

Это или похожее "доказательство" разных опровергателей Кантора на форуме уже пару раз обсуждалось.
Ошибка тут очевидна, она состоит в непонимании того, что индукция, которая доказывает утверждение для любого натурального числа, без дополнительных предположений не может доказать то же утверждение для счетного множества, то есть путанице между понятиями "сколь угодно большое конечное" и "бесконечное".

Вначале верно доказано, что множество всех $m$-элементных подмножеств множества $\mathbb{N}$ счетно. Отсюда следует, что множество всех конечных подмножеств $\mathbb{N}$ тоже счетно, как счетное объединение счетных множеств. А вот потом идет неправомерное расширение индукции по конечным множествам на бесконечные. Ошибка тут:

Alexeev_Andrey в сообщении #1136384 писал(а):

А поскольку множество всех подмножеств представимо в виде суммы всех одноэлементных множеств, двухэлементных множеств и т.д. по натуральному ряду, то мы опять имеем счетную сумму счетных множеств, что счетно.

Множество всех множеств включает не только одноэлементные, двуэлементые и прочие конечные подмножества, но еще и бесконечные подмножества, например, множество всех четных чисел, множество всех чисел вида $(n^2 + m^3)^7$, множество всех простых чисел, множество геделевых номеров истинных утверждений арифметики и прочее.

Alexeev_Andrey в сообщении #1136384 писал(а):

P. S. Хотя возникает смутное противоречие, а можно ли нумеровать бесконечные элементы (подмножества) бесконечными числами? Должен ли быть элемент обязательно конечным?

Правильно возникает. Мы нумеруем натуральными числами, а бесконечных натуральных чисел не бывает, они все записываются конечным числом цифр.

Alexeev_Andrey писал(а):

Ну ладно убрал, а бесконечные числа бывают, как бывают бесконечно малые, так бывают и бесконечно большие

Нельзя мешать разные числа. Мы говорим о натуральных числах, а там бесконечно малых и бесконечно больших нет. Даже в стандартном матанализе вообще нет бесконечно малых и бесконечно больших чисел, только бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и функции.
Бывают бесконечно малые и бесконечно большие нестандартные действительные числа, но это птица совершенно иного рода, чем числа натуральные.

[warlock66613]

Alexeev_Andrey в сообщении #1143146 писал(а):

Математическая индукция утверждает, что если верно для $n$ и верно для $n+1$, то верно и для всех натуральных $n$

Совершенно верно, для всех натуральных $n$. То есть вы рассмотрели только подмножества, мощность которых - натуральное число (включая случаи сколь угодно больших натуральных чисел). Но, например, подможество всех чётных чисел не попало в вашу индукцию, поскольку оно счётное, то есть его мощность - это вообще не натуральное число.

Alexeev_Andrey в сообщении #1143146 писал(а):

для бесконечности, и для бесконечно больших

Нет, такого обычная математическая индукция не утверждает. Только для произвольно большого, но конечного $n$.

[mihaild]

Alexeev_Andrey в сообщении #1136384 писал(а):

Еще вопрос напоследок: может ли последовательность рациональных чисел, всех, иметь иррациональный предел?

Последовательность, содержащая все рациональные числа? Нет, она вообще не может иметь предела.

[Karan]

Manat Manbrahovich забанен как злостный клон.
Пустое сообщение пользователя zvm удалено.

[Alexeev_Andrey]

mihaild в сообщении #1143151 писал(а):

Alexeev_Andrey в сообщении #1136384 писал(а):

Еще вопрос напоследок: может ли последовательность рациональных чисел, всех, иметь иррациональный предел?

Последовательность, содержащая все рациональные числа? Нет, она вообще не может иметь предела.

Я извиняюсь, я ошибочно, невнятно выразился. Я имел ввиду, что каждое рациональное число в двоичном (или десятичном) представлении конечно (имеет конечное число знаков, единиц, после запятой), может ли тогда предел бесконечной последовательности (конечных) рациональных чисел быть нерациональным числом? Теперь я еще раз точно убедился, что да, то нерациональное – иррациональное число (в двоичной записи имеющее бесконечное число знаков, единиц). Логика отрицания здесь такова: (конечное) просто рациональное число представимо конечной последовательностью двоичных знаков, неконечное (бесконечное) рациональное число (то, что я назвал бесконечно малым рациональным числом) – нерационально, иррационально.

[Slav-27]

Alexeev_Andrey в сообщении #1143632 писал(а):

каждое рациональное число в двоичном (или десятичном) представлении конечно (имеет конечное число знаков, единиц, после запятой)

$\frac13$

[Xaositect]

Предел последовательности рациональных чисел конечно может быть иррациональным, и предел последовательности конечных десятичных (или двоичных) дробей может быть бесконечной дробью, но вот это Ваше утверждение неверно:

Alexeev_Andrey в сообщении #1143632 писал(а):

Я имел ввиду, что каждое рациональное число в двоичном (или десятичном) представлении конечно (имеет конечное число знаков, единиц, после запятой), [...]

Например, рациональное число $\frac13$ представляется только бесконечной дробью и в двоичной ($\frac13 = 0.01010101\dots_2$), и в десятичной системе ($\frac13 = 0.3333\dots$).

[Alexeev_Andrey]

Xaositect в сообщении #1143637 писал(а):

Предел последовательности рациональных чисел конечно может быть иррациональным, и предел последовательности конечных десятичных (или двоичных) дробей может быть бесконечной дробью, но вот это Ваше утверждение неверно:

Alexeev_Andrey в сообщении #1143632 писал(а):

Я имел ввиду, что каждое рациональное число в двоичном (или десятичном) представлении конечно (имеет конечное число знаков, единиц, после запятой), [...]

Например, рациональное число $\frac13$ представляется только бесконечной дробью и в двоичной ($\frac13 = 0.01010101\dots_2$), и в десятичной системе ($\frac13 = 0.3333\dots$).

Да, это я погорячился, по аналогии с натуральными числами, что конечные двоичные представления соответствуют конечным натуральным числам. Но я подумаю над разложениями дробей...

-- 12.08.2016, 15:27 --

Да, мне придется согласиться с вами, теорема Кантора устояла и устояло представление Вейерштрасса, что любое вещественное число есть счетная последовательность $0$ и $1$ (хотя это утверждение довольно прочно зиждется на простом неравенстве, где две сходящиеся последовательности рациональных чисел отличаются на степени $\frac{1}{2}$, которые при стремлении к бесконечности сводят $\frac{1}{2}$ к нулю)… Действительно, множества, состоящие из счетного числа $0$ и $1$, которые рассматриваю я, есть не что иное как двоичные представления натуральных чисел. И тогда мы получаем, что конечные натуральные числа соответствуют в представлении вещественных чисел (пусть от $0$ до $1$) конечным двоичным последовательностям (можно рассматривать и десятичные представления), то есть конечным рациональным числам (с конечным числом двоичных или десятичных знаков), а бесконечные последовательности соответствуют вещественным числам (с бесконечным числом двоичных или десятичных знаков), - это если двоичному разложению натурального числа поставить в соответствие по цифрам знаки после запятой в двоичной дроби. И все шито-крыто. Множество всех подмножеств является континуумом.

Но последняя попытка внести большую ясность:
Для начала в моем представлении, моем отображении, между множествами всех подмножеств, или что тоже самое множеств наборов $0$ и $1$, перейдем к пределу, то слева мы получим бесконечные последовательности, бесконечные подмножества, а справа бесконечно большие числа. То есть если мы от конечных последовательностей, которым соответствуют конечные числа, переходим к бесконечным последовательностям, то соответственно мы переходим и к бесконечным натуральным числам. Такова логика отрицания и построения. Вот, кстати, и в Википедии по этому поводу что-то есть, если поискать "бесконечно малая и бесконечно большая".

Теория бесконечно больших натуральных чисел или бесконечно малых рациональных чисел (только что изобрел, точнее домыслил) :
Для начала, натуральные числа бывают конечные и (вот она сила отрицания, заполняющая собой все в полноте!) и неконечные, бесконечные. Они есть как есть натуральная бесконечность. То есть все натуральные числа делятся на два класса – конечные и бесконечные. Просто вы до сих пор знали только числа из первого класса.
Вы не можете отрицать, что множество натуральных чисел бесконечно. Для обозначения бесконечности и значок существует $\infty$. Так вот это не просто бесконечность, а она имеет свою структуру и состоит из бесконечных натуральных чисел. Эти числа мы определим следующим образом: бесконечной счетной последовательности нулей и единиц сопоставим бесконечное натуральное число, соответствующее его двоичному представлению, причем единственным образом! Тогда самым большим бесконечным числом будет $\{1, 1, 1, 1…\}$, которому будет соответствовать бесконечное натуральное число равное $1+2+2^2+2^3+…$, обозначим его $N(2)$. Другое бесконечное число, меньшее на $1$-цу, выглядит так $\{0, 1, 1, 1…\}$, что соответствует $2+2^2+2^3+…$, обозначим его $N(2) - 1$, тогда разница между $N(2)$ и $N(2) - 1$ будет как раз равна $1$. Причем, заметим (вот это уже круто!), что $2\cdot N(2)$ = $ 2 \cdot {(1+2+2+2^2+2^3+…)} = {(2+2^2+2^3+…)}= N(2) - 1$, то есть $N(2) = - 1$.

(К примеру еще $3\cdot N(2) = (1+2) \cdot (1+2+2^2+2^3+…) = (1+2+2^2+2^3+…) + $
$+ (2+2^2+2^3+…) = 1+2+2^2+2^3+… = N(2) - 2 = - 3$).

Тогда $N(2) - 1 = - 2$ и т.д. $N(2) - n = - n - 1 = - (n +1)$.

Заметим, что бесконечные натуральные числа зависят от основания. Например, в десятичной записи, самое большое натуральное число, обозначим его $N(10)$ выглядит так $99999…$, то есть соответствует максимальному десятичному представлению всех натуральных чисел, тогда $N(10) -1 = 89999…$ Разница же между $N(10)$ и $N(10) -1$ равна 1.

Так вот получается новое отображение между множеством счетных последовательностей из $0$ и $1$ и множеством целых чисел:
$\{0, 0, 0, 0…\}$ – пустое множество – $0$.
$\{1, 1, 0, 0…\}$ – для всех конечных множеств берем двоичное представление конечного натурального числа.
$\{…0, 0, 0, 1\}$ – для всех бесконечных множеств берем двоичное бесконечное представление, что соответствует отрицательным числам в обратном порядке
$\{1, 1, 1, 1…\}$ – это $( - 1)$.

Но опять промашка, вроде, если рассмотреть $\{0, 1, 0, 1…\}$ – четные числа, то опять получаем бесконечно большие числа, но в обратном отрицательном порядке, что соответствует $N(2) - 1 - 2^2 - 2^4… = - 2 - 2^2 - 2^4…$

То есть теорема Кантора верна, устояла!

Заметим, что бесконечно большие натуральные числа в точности соответствуют бесконечно малым рациональным числам, например, каждому бесконечно большому натуральному числу можно в точности поставить в соответствие бесконечно малое рациональное, а именно тот же набор цифр после запятой. То есть бесконечно большие натуральные числа равномощны бесконечно малым рациональным числам. То есть счетные последовательности из $0$ и $1$ равномощны множеству бесконечных (по разрядам в двоичном или десятичном представлении) рациональных чисел.

Можно трактовать то, что бесконечно большое (самое большое) натуральное число, равное $(-1)$, говорит о том, что оно ненатурально, то есть не является конечным положительным натуральным числом. То есть, что бесконечно большие числа ненатуральны.

Все же я опять прихожу к тому, что отрицание строится так: конечные последовательности – конечные натуральные числа, бесконечные последовательности – ненатуральные числа, то есть как раз бесконечно малые рациональные числа, которых континуум.

Итог понимания:
1. Бесконечно малые рациональные числа представляют собой просто нерациональные – иррациональные числа. Это как раз те, у которых бесконечное число знаков после запятой в двоичном (или десятичном) представлении, как раз что соответствует бесконечным последовательностям $0$ и $1$ (то есть любое вещественное число зажимается делением пополам за счетное число шагов. То есть, если бы пикселы можно было делить до бесконечности, мы бы получили идеальную непрерывную картинку). То есть счетная последовательность $0$ и $1$ задает непрерывность (это относится к пониманию бинарности, бинарной структуре мироздания, а также к бинаронсти виртуальной реальности, которая является отражением обычной реальности и стоится на двоичных битах). Конечные рациональные числа как раз соответствуют конечным последовательностям $0$ и $1$ и их счетное число. Кстати, также заметим, что вещественная, непрерывная прямая оказывается в биективном соответствии со всевозможными комбинациями натуральных чисел, то есть представляет собой некую всевозможную полноту. Это к вопросу о построении реальности, а именно, если взять за исходное, базовое представление вещественной прямой ее натуральный ряд (разбиение на отрезки), а потом взять всевозможные комбинации этого натурального ряда, то получим в основании вещественный ряд. То есть природа как бы заполняет все возможности, все возможные комбинации при построении. Это обнадеживает тем, что мы живем в довольно полном по возможности мире.
2. Бесконечно большие натуральные числа, которые равномощны бесконечно малым рациональным числам, то есть их континуум штук, представляют собой ненатуральные числа.

Что ж закрепили понимание. Надеюсь, другим будет уже не повадно доказывать противное теореме Кантора.

Остается квадрат и пыль Кантора. Так, я чувствую, и мое доказательство гипотезы континуума может рухнуть… и окажется, что бывает дискретный континуум, хотя бы пыль Кантора. Ну посмотрим…

Я почему так старался и пытался подвернуть разложение вещественных числе в бесконечные десятичные или двоичные представление, потому что на них основывается доказательство того, что пыль Кантора континуальна и интервал равномощен квадрату, а я вдруг иным способом доказал (ну пока что думаю, что доказал) противное. А именно:
1. Я совершенным иным, не через десятичные представления, доказал, ну или пока еще только думаю, что доказал, что интервал неравномощен квадрату.
2. Также я доказал, ну или пока еще только думаю, что доказал, гипотезу континуума, а по сути, что любое дискретное множество – счетно. Откуда следует, что Канторово множество, Канторова пыль, как дискретное множество, состоящее из отельных точек, - счетно.

Ради интереса приведу доказательство первой части (вторую, если все будет нормально, постараюсь выложить в новую тему для обсуждения, там на $4$ страницы форума, хотя уже сам засомневался в ее верности, но поглядим):

Давайте зададимся простенькой задачкой, задачей о кеглях. Пусть у нас имеется некое количество одинаковых кеглей. Может ли это количество быть несчетным? Давайте выстроим эти кегли в ряд вдоль бесконечной прямой, длина каждой кегли фиксирована и ограничена, пусть равна $1$, тогда мы получаем обычный числовой ряд, который может умастить всю евклидову бесконечность, но он счетный, ибо представляет натуральную последовательность. Равно рассуждая, можно трехмерное пространство умастить счетным числом кубиков любой величины, главное, чтобы они были ненулевого объема, тогда бесконечность разбивается на счетное число частей.
Далее заметим в случае с нашими кеглями, пусть они имеют прямоугольную форму и заполняют всю бесконечность вдоль прямой, границы между ними можно подвигать как угодно, но сохраняя положительную величину, любую сколь угодно малую или сколь угодно большую длину кегли, иначе она выродится, попросту перестанет существовать. Мы можем одну кеглю растянуть как угодно вплоть до одной сплошной бесконечности, а можем сжать до размеров любого сколь угодно малого $\varepsilon$, большего нуля, можем даже длину некоторых кеглей устремить к $0$. Но, что самое важное, поступая так с любой кеглей, как нам заблагорассудится, число кегель не меняется, а остается счетным, представляя разбиение бесконечности. Ибо бесконечность-то у нас одна, все та же – $\mathbb{R}$.

Далее. Множество $\mathbb{N}\cdot\mathbb{C}$ – континуально. Действительно, если мы рассмотрим интервал $(0, 1)$, и возьмем его $n$ раз, то это просто можно биективно отобразить на интервал $n\cdot (0,1)$, равный $(0, n)$. А далее $n$ счетно можно устремить к бесконечности. То есть счетным числом интервалов покрыть бесконечную прямую (положительную ее часть).

Докажем, что интервал $(0, 1)$ неравномощен квадрату $(0, 1) \times (0, 1)$.

* историческая справка: «результат о равномощности отрезка квадрату был получен в 1877 году немецким математиком Георгом Кантором и удивил его самого, поскольку противоречил интуитивному ощущению "размерности" (квадрат двумерен, поэтому вроде бы должен содержать больше точек, чем одномерный отрезок). Вот что Кантор писал Дедекинду (20 июня 1877 года), обсуждая вопрос о равномощности пространств разного числа измерений: «Как мне кажется, на этот вопрос следует ответить утвердительно, хотя на протяжении ряда лет я придерживался противоположного мнения».

Действительно, докажем противное, единичный квадрат представляет собой континуальное, непрерывное множество единичных тел (интервалов длиной один). Наглядно это можно мыслить себе так, брать точку на оси $x$, по ней однозначно определяется единичный интервал вдоль оси $y$. У нас континуум точек на единичном интервале оси $x$. Мы знаем, вспоминая нашу задачу с кеглями, что $\mathbb{R}$, вещественную прямую, можно умастить счетным числом единичных интервалов и только, выше мы показали, что $\mathbb{N}\cdot\mathbb{C}$ равномощно $\mathbb{C}$ (континуальному множеству). Но тогда континуальное число единичных интервалов не может поместиться на $\mathbb{R}$, ибо в противном случае мы получили бы счетное множество равномощно континуальному, то есть все равно, взять ли счетное число единичных тел (кеглей) или несчетное (каких не бывает вовсе в Природе размерности больше $0$) и умастить ими одну и туже бесконечность $\mathbb{R}$! Здесь можно возразить, что если интервал $(0, 1)$ разбить на две части, а потом на три, то $2$ неравномощно $3$. Но дело в том, что мы сравниваем интервалы одинаковой длины. На интервалы одинаковой длины можно разбить интервал $(0, 1)$ единственным образом. При переходе же к счетности положительная длина утрачивает свое значение, ибо за единицу длины в этом случае мы можем брать любую длину. И в доказательстве с кеглями мы неявно использовали, что счетное множество одинаковых тел неравномощно континуальному множеству одинаковых тел, то есть просто, что счетное множество неравномощно континууму (в противном случае мы получили бы, что вещественная прямая, разрезанная на счетное число единичных интервалов, равномощна вещественной прямой, разрезанной на несчетное число интервалов, и эти одинаковые интервалы находятся в биективном соответствии просто при сопоставлении по одинаковой длине вдоль всей вещественной прямой). Грубо говоря, счетное число точек можно расширить до ненулевой ширины полосок, а несчетное нельзя*. А тогда интервал $(0, 1)$ неравномощен квадрату $(0, 1) \times (0, 1)$. То есть множества $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^2$ неравномощны. Аналогично доказывается и для высших размерностей. Для трехмерного случай достаточно рассмотреть ненулевые срезы плоскостей и нулевые по размеру плоскости, ну и т.д. для иных размерностей.

*Также можно доказать это иначе, а именно, если существует биекция между квадратом и прямой, то каждой точке квадрата соответствует некоторая точка на прямой, тогда рассмотрим все точки на одной полоске квадрата, что вдоль оси y и представляет континуальный интервал, ей на прямой должна соответствовать некая непрерывность, ибо все дискретные множества на прямой счетны в силу доказанного, что любое дискретное множество счетно (в чем еще предстоит увериться или опровергнуть), то есть континуальной полоске (вертикальному интервалу) должен соответствовать по крайней мере какой-то один непрерывный интервал. Полосок в квадрате несчетное число, значит на прямой должно располагаться несчетное число непересекающихся (ибо биекция) интервалов, что противоречит тому, что их может быть только счетное число.

[arseniiv]

Alexeev_Andrey в сообщении #1143643 писал(а):

Но тогда континуальное число единичных интервалов не может поместиться на $\mathbb{R}$, ибо в противном случае мы получили бы счетное множество равномощно континуальному

Нет. Если $|A\times B| = |A\times B'|$, это не означает $|B| = |B'|$.

(Мощность континуума обозначается $\mathfrak c$ (код видно, если навести мышку на формулу), а $\mathbb C$ — это практически везде множество комплексных чисел.)