Количество элементов бесконечного множества - бесконечно. Обычно говорят не про "количество" элементов в бесконечном множестве, а про его мощность.
Согласен, числа здесь какими-то неопределенными получаются, неоднозначными, словно плавающими в море с определенными границами мощности. Но все же также мощность множества называют кардинальным числом.
И всё же
- это единственное (!) простое делящееся_на_3 число в отличии от других не_делящихся_на_3.
Конечно есть разные утверждения про
-адические числа, аналоги которых для произвольного
неверны. Возможно, среди этих утверждений даже есть интересные. Но пока что вы их не привели.
По поводу делимости 3 только на 3 – согласен, видите, я же говорю числа друг перед другом отличаются. Только 2-ка первая в этом ряду, вот поэтому слово четность есть, а троичность и нетроичность нет. То есть двойку как четное отличили в силу ее первого места.
Вы просили привести отличия 2-адических чисел от всех остальных. Пожалуйста, для любого натурального n, веса 2^n в позиционном (двуадическом) ряду являются величиной равной множеству подмножеств числа n. Это верно только для двойки, для весов по другим числам это неверно.
Видимо, под непрерывными множествами вы понимаете связные. Если да, то какие - просто связные или линейно связные? Если нет - то дайте ваше определение "непрерывного множества".
Ок, вы можете определить тело как связное измеримое множество ненулевой меры (кстати бесконечной подходит?). Что вы дальше будете с этим определением делать?
Я попытаюсь ответить вам развернуто, хотя это и офтоп, но вы спросили здесь.
Я хочу сопоставить (ограниченному) физическому телу наиболее адекватную по возможности математическую модель. В геометрии тела – это области (то есть нечто внутренне связное), ограниченные кривыми, поверхностями, по которым потом вычисляется объем как интеграл. Затем мне хотелось бы все же подтвердить название натурального ряда только возможной счетностью тел в Натуре. Причем, существование дисперсного континуального множества, пыли Кантора, свидетельствуют что в принципе возможна континуальная делимость. То есть, к примеру, отрезок веревки в принципе можно разрезать в континууме мест, совершая разрезы по Канторову множеству, тогда как мера пыли Кантора равна нулю, а мера оставшихся частей в сумме равна
. Как же быть с телами? Наверное, придется все же ограничиваться фиксированной наименьшей неделимостью, каких-то атомов, пикселов. Но возможность изничтожить тело в пыль должна же оставаться… Но в реальности невозможно организовать в принципе и обычную счетную делимость до бесконечности, то есть просто нечто поделить на бесконечное число частей, совершая последовательно по одному разрезу, и связано это с принципом ограниченности.
Говоря о модели реального тела, интересен еще вопрос о границе тела. Если два тела соприкасаются и имеют общую точку, то они оказываются связными, то представляют собой уже одно тело. Чтобы исключить подобное, обычно граница представляет линию, полосу нейтралитета, на которой и за которую происходит борьба, в качестве диффузии молекул там, ссор соседей и т.п. войны за жизненное пространство, за расширение, поэтому в общем случае мы определим тело как открытое множество. Но коль скоро тело завоевало свою границу, то может быть и замкнутым. А также обычные тела ограничены. Но мы оставляем в определении широту для всей вселенной как представляющей единое связное тело без пустот.
Все пространство
, как идеальная модель, лежащая в основании вселенной (а не какое-нибудь кривое и ограниченное в духе Эйнштейна, Минковского) представляет связное непрерывное бесконечное множество, нигде не допускающее пустоты. Все мироздание есть всюду непрерывное, связное единое тело. Вселенная не может быть в виде бублика, ибо бублик предполагает некую абсолютную пустоту, что в принципе невозможно (ибо неверно уже логически «ничто есть», также оно не может быть ограниченным, ибо опять же допускала бы абсолютную пустоту вне).
Заметим также, что объем возникает как интеграл, а интеграл (первообразная) представляет непрерывную функцию. Я же тела рассматриваю как интегральные целостности, то есть непрерывность неявно закладывая, и это прямо согласуется с определением тела, как связного множества, линейно связного – то есть, есть непрерывный путь. Вот это мне и надо было!
В моем понимании, тела задаются интегрированием, суммированием, объединением. Это укладывается в мою парадигму мироустройства, где тела являются интегральными целостностями. Интегрирование (ибо обратно дифференцируемо) предполагает непрерывность, то есть связность в
линейная связность и связность эквивалентны).
Так интеграл задает непрерывность, берем две точки
и
и интеграл от
, то получаем непрерывную функцию
и длину
.
Непрерывная на отрезке функция всегда имеет первообразную. Я утверждаю, что все границы реальных тел гладко непрерывны, то есть дифференцируемы и интегрируемы.
Множество, да, предполагается, как идеальная основа (реальных тел), – множество вещественных точек
.
Я рассматриваю простые множества
, на них линейная связность совпадает со связностью. Но все же предполагаю более сильное – линейную связность, из которой следует связность. Тогда первое приближение: математическая модель физического тела: линейно связное открытое (ограниченное для конкретных тел) множество на , ненулевой меры. Мера – наверное, достаточно Жордана (коль граница множества у меня предположительно непрерывные функции). Непрерывность множества обычная – хоть по Коши (непрерывность и функции), Дедекинду. Интеграл по Риману.
Я хочу сказать, что непрерывность есть результат интегрирования (хотя есть непрерывные функции, которые не являются дифференцируемыми, то есть не являются результатом некоторого интегрирования, ну тогда они просто не могут быть моделью границ реальных тел (* см сноску). Пусть есть две дискретные точки
и
. Интеграл от константы
есть непрерывная линейная функция
, путь, значение которой на этом пути равно
, представляя меру интервала
, его непрерывную длину. Далее интеграл от
дает квадрат
, далее
куб… и т.д. То есть результат интегрирования по восходящей от нуля до константы – числа, точки – и далее мы получаем восходящие размерности. И длины, площади, объемы тел вычисляются через интегралы. В моем представлении реальные тела являются как результаты некоего интегрирования, чей идеальный, математический образ, форма, также должна в частности удовлетворять основам интегрирования.
*примером непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции представляет функция Вейерштрасса. Но эта функция представляет собой бесконечную сумму косинусов, каждый косинус имеет производную функцию – минус синус, к тому же сам ряд есть сумма, то есть представляет некое интегрирование (суммирование). Функция эта представляет негладкую волновую функцию, вроде биржевого графика, который не имеет касательной в каждой точке. Но почему вообще функции, описывающие границы реальных физических тел, должны быть гладкими? Ну это согласуется с тем представлением, что все является результатом излучений, имеющих волновую природу. Так вот даже функция Вейерштрасса имеет волновую природу, только ломается коэффициентами. Об общей волновой природе свидетельствует и разложения функций в ряды Фурье. Но опять же возникают функции, для которых ряд Фурье не сходится.
Если функция дифференцируема, то она непрерывна. В точках разрыва функция не может иметь производной. Существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не являются дифференцируемыми.
А о чем последнее свидетельствует, если предположить, что все физические тела получаются путем некоего интегрирования? О том, что в Природе все вещи имеют гладкие непрерывные границы, без угловых точек, то есть любое заострение остается все же гладким. Карандаш до точки не заточить (или прямо скороговоркой: заточку до точки не заточить). Идеальный угол до конца не заполнить материей. Это согласуется с тем, что все же молекулы имеют минимальный неотрицательный размер и не вырождаются до точки. То есть можно еще добавить в определение тела, что границы математических тел как образа физических тел – это гладкие функции, имеющие непрерывную производную.
То есть из предположения, что все тела получаются путем интегрирования, мы имеем следствие, что они всюду должны быть дифференцируемы, то есть они имеют все гладкие границы, поверхности. В Природе как известно не бывает идеальных кубов, пирамид и т.п., но, чтобы оставить им возможность, буду предполагать кусочную гладкость, ибо интеграл от
до
, есть отрезок от
до
. То есть достаточно, что интеграл задает непрерывность, дифференцируемую на внутренних точках. А в целом интегрирование можно понимать и более широко и как где-то просто суммирование.
Мне необходимо математическое определение физического тела для того, чтобы удостовериться в концептуальной истинности своего понимания устройства мироздания, как восхождения в интегрировании, в частности, хотя бы чтобы согласовывалось с (моё определение) основным интегральным уравнением мироздания
(последовательное взятие интеграла, начиная с
), как математическая модель. В частности, при переходе с идеального на материальный уровень. Идеальный – математический, материальный – физический. Так вот все согласуется. Ура!
Ибо математическая модель физического тела (пусть ограниченного): открытое (оставляем открытой границу) ограниченное (можно заключить в какой-то шар, но это не обязательно) связное множество, имеющее гладкую (дифференцируемую, непрерывную) границу. Это некий идеальный объект, математическая модель материального физического тела. Связность – линейная связность предполагает непрерывность. Все интегралы – непрерывные функции. Также непрерывные функции интегрируемы. То есть связность, линейная связность здесь нечто существенное, согласное с моим представлением, что тела суть интегралы, интегральные целостности.
Отчасти это связано и с ответом Бертрану Расселу на сущность элемента множества, как некоей единицы, целостности (хотя элементами множества могут быть и не непрерывные множества, но рассматриваемые как некая суммарная – интегральная – целостность, то есть как некая единая совокупность).
«Отвечая на критику, Рассел следующим образом объяснял значение своей работы. «Но, можете Вы возразить, ничто не поколеблет Вашего убеждения в том, что дважды два равно четыре. Вы совершенно правы — за исключением незначительных частных случаев. Два должно быть двумя чего-то, и утверждение "дважды два равно четырем" бесполезно, если его невозможно применить к чему-либо. Две собаки и две собаки, разумеется, это четыре собаки. Но могут представиться случаи, когда Вы усомнитесь в том, являются ли эти два животных собаками. "Во всяком случае, животных четверо", — могли бы возразить Вы. Но существуют микроорганизмы, относительно которых трудно сказать, животные они или растения. "Прекрасно, — возразите Вы, — пусть будут не животные, а живые организмы". Но есть такие объекты, относительно которых трудно сказать, живые они или нет. Вам не останется ничего другого, как сказать: "Две сущности и две сущности равны четырем сущностям". Если Вы объясните мне, что Вы понимаете под «сущностью», то спор можно будет считать законченным».
как раз и является абстракцией от чего либо, и само по себе есть в идеализме (математики). А под сущностью можно понимать цельность, целостность как категорию, интегральную целостность. Рассел спрашивает о базовом понятии математики – числе,
-це. Данное число вводится аксиоматически, но по сути означает некую целостность. Далее подобные и различные целостности сравниваются, что уже представляет делимость, множественность (за это отвечает отрицание, что разнит). Это то, что просто есть, как есть мир…
-- 07.10.2016, 16:21 -- и
все же базовые числа вообще.
Слова ни о чём.
Обо всем. Буквально.
(и для начала хотя бы уже о паре {0, 1}, на которой основан и математический, и реальный мир)
0, 1 – ложь, истина, основа бинарной логики
0, 1- нет, есть; ничто, бытие; пустота, абсолют; да-нет, где третьего не дано.
0 – начало и любой системы координат, 1 – задает единицу измерения, эталон.
0, 1 – минимальное множество, используемое в основе построения вещественных* чисел
*хотя вещественные, действительные числа, точки, вовсе не вещественные, ибо мера каждой равна 0. Они идеальные, представляя непрерывную (без пустот) идеальную основу натуральных вещей. Идеальное множество в основании всякого физического (вещественного, действительного) существования.
Опять же, цифровая вычислительная техника (а не виртуальная реальность) использует двоичную систему из технических соображений, к математике это практически не относится.
Имеет отношение к математике, но, конечно, первично математика имеет отношение ко всему в мире. Например, кратчайшими линиями являются геодезические, так по ним будут катиться шарики, преломление луча идет в соответствии с минимум затрачиваемого времени и т.п. можно привести множество экстремальных закономерностей, свидетельствующих об общем принципе оптимальности, мини-макса, царящем в мире. Так вот то, что в технике наиболее подходит (проще, надежнее, удобнее, экономичнее – лучше в сравнительной степени) двоичная система счисления как раз говорит в пользу ее экстремальности, наилучшести, исключительности и в математическом смысле. Да мы и видим это, 2-ка не по делимости, а по простому порядку – наименьшее простое число, первое в ряду, что как раз согласуется с принципом оптимальности и избранием 2-ки в технике. Также двоичная система лежит и в основе азбуки морзы (там тоже лучше подходит два знака).
Вы просили привести отличия 2-адических чисел от всех остальных. Пожалуйста, для любого натурального n, веса 2^n в позиционном (двуадическом) ряду являются величиной равной множеству подмножеств числа n. Это верно только для двойки, для весов по другим числам это неверно.
Хотя стоит отметить, что в цифровой технике наиболее экономичной является троичная система счисления. И все же 2-ка победила по иным критериям, то есть широко распространена именно двоичная система счисления.
а именно
, что равно
, то есть ненатурально, то есть данное количество точек нельзя пересчитать
Это не аргумент в пользу несчётности канторова множества.
Более точно, Канторово множество строится так: берется интервал на нем выбирается
точки, потом
и т.д.. каждый раз удваивая количество граничных точек. То есть
. Такой ряд содержит несчетное число единиц. В отличие от ряда
, который содержит счетное число единиц. Причем, интересно отметить, что первый ряд имеет единственное, строго определенное значение, а второй ряд представляет собой неопределенную бесконечность.
Само по себе не говорит, если не знать, что точно также, с разницей в одну точку, строится множество вещественных чисел на интервале
в двоичной системе счисления: полагается в середине одна точка, в каждом из образовавшихся
интервалов по одной точке и т.д., то есть ряд
представляет собой количество вещественных точек на прямой, что равномощно континууму. А также натуральная сумма
равна
(счетность плавает в этом море), то есть счетное их число не может равняться
.
Кстати, теорема Кантора неверна для унифицированных множеств (состоящих из одних единиц или совершенно одинаковых идеальных элементов). Например, счетное множество, состоящее из одних единиц, имеет счетное число подмножеств.
Кривая Пеано – непрерывное, но не биективное отображение отрезка на квадрат. Не нашел док-ва, где показывается, что биективного непрерывного отображения не существует.