Действительные числа (задачи из Давидовича)

[gefest_md]

irod в сообщении #1137165 писал(а):

12. Доказать, что все натуральные числа положительны.

Если умеете писать сокращённо, с помощью кванторов: (1) что надо доказать, (2) определение $\mathbb{N}$, тогда, смотря на записи, Вы сразу услышите у себя "Вот если бы ..., тогда бы".

[irod]

arseniiv в сообщении #1137208 писал(а):

12. Мне тоже не очень нравится, но по другой причине: как вы видите, принцип математической индукции доказывается в 13, так что если вы его используете здесь, эту теорему нельзя будет использовать в доказательстве 13.

arseniiv в сообщении #1137238 писал(а):

Подсказка к 12. Нас просят доказать $\mathbb N\subset P$. Чтобы пересечение принадлежало $P$, достаточно, чтобы хотя бы одно из пересекаемых множеств принадлежало $P$.

А можно ли тут "схитрить" и не упоминать явно принцип мат.индукции? Вот что я имею в виду. Я по-прежнему хочу использовать индуктивное множество $A_0$ из своего предыдущего доказательства, но попробую доказать что все его элементы положительны по-другому (без мат.индукции).

Рассмотрим наименьшее индуктивное подмножество $A_0 \subset \mathbb{F}$, содержащее $1$.
По определению индуктивного подмножества, $x \in A_0 \Rightarrow x+1 \in A_0$. Взяв $x=1$, элемент $x+1=1+1 \in A_0$ будет положительным по аксиоме порядка 2 как сумма положительных элементов ($1 \in P$ согласно зад.8). Затем, взяв $x=1+1$, элемент $x+1=(1+1)+1 \in A_0$ также будет положительным по той же причине. И т.д., перебирая последовательно все элементы, принадлежащие $A_0$ по определению индуктивного подмножества, и обозначая каждый такой элемент за $x$, элемент $x+1 \in A_0$ будет положительным. Следовательно, все элементы в $A_0$ положительны, т.е. $A_0 \subset P$.

[SomePupil]

irod, таким способом Вы не обойдёте индукцию, а просто подумаете, что обошли мат. индукцию; то, что Вы хитрым способом переберете все элементы $A_0 -$ далеко не очевидный факт, который, на самом деле, и составляет содержание принципа мат. индукции.

Лучше последуйте этому совету:

gefest_md в сообщении #1137347 писал(а):

irod в сообщении #1137165 писал(а):

12. Доказать, что все натуральные числа положительны.

Если умеете писать сокращённо, с помощью кванторов: (1) что надо доказать, (2) определение $\mathbb{N}$, тогда, смотря на записи, Вы сразу услышите у себя "Вот если бы ..., тогда бы".

Предварительно вспомнив, что множества, состоящие только из натуральных чисел, всегда имеют наименьший элемент.

[irod]

SomePupil
ок, схитрить не получилось, так что, действительно, последую совету gefest_md. Пока новый вариант доказательства в процессе, выложу его позже.

SomePupil в сообщении #1138459 писал(а):

Предварительно вспомнив, что множества, состоящие только из натуральных чисел, всегда имеют наименьший элемент.

А вот это, боюсь, невозможно, потому что это одна из следующих задач (номер 16) этого листка, и сейчас я не могу это использовать.

[arseniiv]

irod
Да, я как раз и предполагал, что «хорошее» доказательство 12 не будет пользоваться матиндукцией, и притом можно будет из него механической заменой получить доказательство 13, на которое тут уже намекают. (Кстати, сколько спойлеров вы уже открыли? Если ещё остались, откройте хоть один. А если все…)

-- Пн июл 18, 2016 04:41:02 --

SomePupil
Мне кажется, стоит руководствоваться определениями из источника ТС. Там и в определение индуктивного множества входит наличие 1 (ну, тут все друг друга всё равно поняли), и натуральные числа вводятся прямо-таки только что, и никакие замечательные свойства их до того не известны.

[irod]

arseniiv в сообщении #1138554 писал(а):

(Кстати, сколько спойлеров вы уже открыли? Если ещё остались, откройте хоть один. А если все…)

Все открыл.

arseniiv в сообщении #1137238 писал(а):

Подсказка к 12. Нас просят доказать $\mathbb N\subset P$. Чтобы пересечение принадлежало $P$, достаточно, чтобы хотя бы одно из пересекаемых множеств принадлежало $P$.

(Ещё)

Значит, стоит попробовать найти индуктивное множество, принадлежащее $P$.

(Ещё)

Взяв за основу любое индуктивное множество. Хотя бы одно должно существовать, раз мы говорим об уже существующем $\mathbb N$.

В своем последнем варианте доказательства я как раз и пытался следовать этим подсказкам. Я хотел показать что правила наполнения (определения) множества $P$ и индуктивного подмножества $A_0\subset\mathbb{F}$ совпадают (как-то коряво сказал, но надеюсь идея понятна): в одном случае $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$, в другом $x,1\in P \Rightarrow x+1\in P$.
Дело кончилось неявным использованием мат.индукции.

-- 19.07.2016, 13:51 --

Теперь что у меня получилось по совету gefest_md с кванторами.
Что надо доказать: $\forall a\in\mathbb{F}\ (a\in\mathbb{N}\Rightarrow a\in P)$.
Определение $\mathbb{N}$: тут проблема.
Для начала определение индуктивного подмножества: $A=\{1\}\cup\{x\mid x-1\in A\}\subset\mathbb{F}$.
Можно было бы написать определение $\mathbb{N}$ так: $\mathbb{N}=\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}A_i$, где $A_i$ -- индуктивное подмножество поля $\mathbb{F}$. Но тогда мы предполагаем, что индуктивных подмножеств счетное число, а это не факт.
Еще вариант:
$\mathbb{N}=\{1\}\cup\{x\mid\forall A\subset\mathbb{F}\ (x\in A)\}$, где $A$ -- индуктивное подмножество.
Это правильно?

[arseniiv]

irod в сообщении #1138805 писал(а):

в одном случае $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$, в другом $x,1\in P \Rightarrow x+1\in P$.
Дело кончилось неявным использованием мат.индукции.

(Жалко, что кончилось. ) Это очень полезное в этой ситуации наблюдение. Кстати, мои подсказки оказались немного к более сложному пути решения — никаких пересечений не нужно…

irod в сообщении #1138805 писал(а):

Для начала определение индуктивного подмножества: $A=\{1\}\cup\{x\mid x-1\in A\}\subset\mathbb{F}$.

Не очень хорошо выходит, т. к. ведь $A$ может быть много разных. А вот определить всё множество индуктивных подмножеств $\mathbb F$ как

$$\mathcal A = \{A\subset\mathbb F\mid A=\{1\}\cup\{x\mid x-1\in A\}\}$$

будет корректно, такое множество только одно. Заодно это поможет с пересечением. В вашем случае, я думаю, просто достаточно знать, что если для семейства множеств $\mathcal A\ne\varnothing$, существует пересечение всех множеств в $\mathcal A$, и его можно обозначать $\bigcap\mathcal A$. Ясно, что $\mathcal A\ne\varnothing$, т. к. туда входит… ой, чуть не проболтался. В любом случае, можно обойтись без явных определений, используя только некоторые истинные высказывания об $\mathbb N$ и индуктивных множествах.

-- Вт июл 19, 2016 17:24:42 --

P. S. Проще, правда, на мой взгляд (и более близко к определениям),

$$\mathcal A = \{A\subset\mathbb F\mid 1\in A\wedge\forall x(x\in A\Rightarrow x+1\in A)\},$$

но это действительно не важно.

[irod]

Что-то не дается мне эта задачка. Не могу догадаться как обойти перебор всех элементов в рассматриваемом индуктивном подмножестве.

arseniiv в сообщении #1138818 писал(а):

Ясно, что $\mathcal A\ne\varnothing$, т. к. туда входит… ой, чуть не проболтался.

Вы наверное имели в виду что $\bigcap\mathcal A\ne \varnothing$?
А входит в пересечение элемент 1, согласно зад.11.

arseniiv в сообщении #1138818 писал(а):

В любом случае, можно обойтись без явных определений, используя только некоторые истинные высказывания об $\mathbb N$ и индуктивных множествах.

Вот еще одна попытка. Тут я использую задачу 3 из этого листка.

Рассмотрим наименьшее индуктивное подмножество $A_0\subset\mathbb{F}$, содержащее $1$.
По определению индуктивного подмножества, $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$. При этом, согласно зад.8, $1>0$, следовательно, согласно зад.3, $\forall x\ (1+x>x)$. Таким образом, каждый "следующий" после $1$ элемент $x+1\in A_0$ больше предыдущего $x\in A_0$, и поэтому положителен. Следовательно, все элементы $A_0$ положительны. Это является достаточным условием для того чтобы пересечение всех индуктивных подмножеств (т.е. множество $\mathbb{N}$) было положительным.

-- 28.07.2016, 20:37 --

С кванторами тоже какая-то фигня получается.

arseniiv в сообщении #1138818 писал(а):

$$\mathcal A = \{A\subset\mathbb F\mid 1\in A\wedge\forall x(x\in A\Rightarrow x+1\in A)\},$$

Определение $\mathbb{N}$ как пересечения:

$$\mathbb{N}=\bigcap\mathcal A=\{a\mid\forall A\in\mathcal A\ (a\in A)\}.$$

Пока не понимаю что с этим дальше делать.

[gefest_md]

irod в сообщении #1140670 писал(а):

Вы наверное имели в виду что $\bigcap\mathcal A\ne \varnothing$?

$\mathcal A\ne \varnothing$. В теории множеств есть теорема, утверждающая, что если $\mathcal A\ne \varnothing$, то множество $\bigcap\mathcal A$ существует. У Давидовича $\mathbb{N}$, по определению, это $\bigcap\mathcal A$. Подразумевается, что это множество существует.

irod в сообщении #1140670 писал(а):

Рассмотрим наименьшее индуктивное подмножество $A_0\subset\mathbb{F}$, содержащее $1$.
По определению индуктивного подмножества, $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$. При этом, согласно зад.8, $1>0$, следовательно, согласно зад.3, $\forall x\ (1+x>x)$. Таким образом, каждый "следующий" после $1$ элемент $x+1\in A_0$ больше предыдущего $x\in A_0$, и поэтому положителен. Следовательно, все элементы $A_0$ положительны. Это является достаточным условием для того чтобы пересечение всех индуктивных подмножеств (т.е. множество $\mathbb{N}$) было положительным.

Неприятно было читать начало и конец: "наименьшее" и "является достаточным условием". По середине индукция.

irod в сообщении #1140670 писал(а):

Определение $\mathbb{N}$ как пересечения:

$$\mathbb{N}=\bigcap\mathcal A=\{a\mid\forall A\in\mathcal A\ (a\in A)\}.$$

Пока не понимаю что с этим дальше делать.

Если к сокращениям не привыкли, то выражайте словами, что дано и что надо доказать. Состав и того, и другого как-то меняется. В начале Вам надо доказать:

$\forall n(n\in\mathbb{N}\rightarrow n\in P)$

Далее Вы делаете допущение $n\in\mathbb{N}$, и тогда уже доказывать надо, что $n\in P$. Но теперь у Вас есть $n$. И ещё дано $\mathbb{N}=\bigcap\mathcal A$.

[arseniiv]

irod в сообщении #1140670 писал(а):

Вы наверное имели в виду что $\bigcap\mathcal A\ne \varnothing$?

Не-не, именно первое. Надо ведь удостовериться, что индуктивные множества существуют, т. е. есть что пересекать и определение корректно.

gefest_md в сообщении #1140691 писал(а):

Подразумевается, что это множество существует.

Я сначала тоже так думал, но потом это оказалось доказуемым.

Я всё-таки выложу предполагаемое решение ниже в спойлере. Простите меня, irod и модераторы.

(При необходимости разбить стекло)

С определением упорядоченного поля нам поставляется интересное множество $P$. Мы уже знаем, что $1\in P$, и что если $x\in P$, то и $x+1\in P$. Т. е. $P$ индуктивно. Значит, являясь пересечением $P$ и ещё какой-то кучи множеств, $\mathbb N\subset P$.

Зато про 13-ю молчать буду!

[gefest_md]

irod в сообщении #1135672 писал(а):

Не могу понять, где и зачем тут нужна аксиома 2.

Достаточно доказать эти три предложения:
(а) $1\in P\Rightarrow 1\in P$
(б) $1=0\Rightarrow 1\in P$
(в) $-1\in P\Rightarrow 1\in P$
Если принять такой план, то в пункте (в) не знаю как быть без аксиомы 2 (листок 7).

[irod]

arseniiv в сообщении #1140772 писал(а):

С определением упорядоченного поля нам поставляется интересное множество $P$. Мы уже знаем, что $1\in P$, и что если $x\in P$, то и $x+1\in P$. Т. е. $P$ индуктивно. Значит, являясь пересечением $P$ и ещё какой-то кучи множеств, $\mathbb N\subset P$.

irod в сообщении #1138805 писал(а):

Я хотел показать что правила наполнения (определения) множества $P$ и индуктивного подмножества $A_0\subset\mathbb{F}$ совпадают (как-то коряво сказал, но надеюсь идея понятна): в одном случае $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$, в другом $x,1\in P \Rightarrow x+1\in P$.

Таким образом, моя ключевая недоработка в рассуждении выше - это то, что я прямо не назвал $P$ индуктивным подмножеством?
Если так, то у меня довольно странные ощущения, очень жалко было ходить вокруг да около и потратить на выяснение этого почти месяц. Обидно что я этого сам не заметил

[SomePupil]

irod, кажется, Вы достаточно поработали с различными абстракциями, аксиомами и тому подобными вещами из арсенала пуристов. Не пора ли перейти к взятию пределов, производных, интегралов, вычислению рядов, исследованию функций $-$ то есть, ко всему тому, что, на самом деле, и составляет содержание математического анализа? Все, что вам потребуется $-$ это аксиомы поля действительных чисел $+$ аксиома полноты. При необходимости представляйте $\mathbb R$ в виде непрерывной вещественной оси $-$ это естественное представление действительных чисел, и она выражает всю суть $\mathbb R$.

Если же у Вас возникнет необходимость использовать свойства натуральных, целых и рациональных чисел, то используйте их без лишних формальностей $-$ Вы своим упорным трудом заслужили полное право не заботиться о строгости проводимых Вами доказательств. Формальности не нужны, потому что стремление на высочайшем уровне обосновать все и вся отвлечет Вас от исходных целей, а Ваша цель, как я понял, состоит в овладении анализом.

С другой стороны, Вы можете продолжить работу с аксиомами $-$ решать Вам.

P. S. Интересно, что скажут преподы?

[irod]

SomePupil
Интересное предложение. Честно говоря, мне и самому хочется побыстрее перейти к собственно матану.
А то я потратил столько времени на эту последнюю задачу, но пока не понимаю, в чем ее польза для меня сейчас.
Короче я сейчас не уверен, стОит ли мне доделывать текущий листок до конца, и стОит ли тратить время на листки 9 (Десятичная запись действительного числа) и 10 (Возведение в степень). Может быть, лучше сейчас перейти к листку 8 (Действительные числа,ч.3 Точная верхняя грань -- думаю это мне точно пригодится), а после него перейти к пределу последовательности, и далее уже без пропусков (?).

SomePupil в сообщении #1142178 писал(а):

Интересно, что скажут преподы?

Да, дайте совет пожалуйста.

[arseniiv]

(Не препод.)

irod в сообщении #1142187 писал(а):

А то я потратил столько времени на эту последнюю задачу, но пока не понимаю, в чем ее польза для меня сейчас.

Не скажу за пользу вообще, но польза от неё для решения 13-й есть. В любом случае, мы принимаем принцип математической индукции верным, и он, в принципе, выводим и из других исходных положений (или его можно воспринимать как аксиому, когда единственные рассматриваемые вещи — это натуральные числа), так что вот только такой условный вердикт.

Чисто человечески, не вижу кошмара в том, чтобы пропустить доказательства некоторых утверждений и ниже считать их верными. Если покажется, что можно было что-то увидеть доказывая, всегда можно вернуться и проверить.