irod, кажется, Вы достаточно поработали с различными абстракциями, аксиомами и тому подобными вещами из арсенала пуристов. Не пора ли перейти к взятию пределов, производных, интегралов, вычислению рядов, исследованию функций

то есть, ко всему тому, что, на самом деле, и составляет содержание математического анализа? Все, что вам потребуется

это аксиомы поля действительных чисел

аксиома полноты. При необходимости представляйте

в виде непрерывной вещественной оси

это естественное представление действительных чисел, и она выражает всю суть

.
Если же у Вас возникнет необходимость использовать свойства натуральных, целых и рациональных чисел, то используйте их без лишних формальностей

Вы своим упорным трудом заслужили полное право не заботиться о строгости проводимых Вами доказательств. Формальности не нужны, потому что стремление на высочайшем уровне обосновать все и вся отвлечет Вас от исходных целей, а Ваша цель, как я понял, состоит в овладении анализом.
С другой стороны, Вы можете продолжить работу с аксиомами

решать Вам.
P. S. Интересно, что скажут преподы?