2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение11.07.2016, 23:28 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
irod в сообщении #1137165 писал(а):
12. Доказать, что все натуральные числа положительны.
Если умеете писать сокращённо, с помощью кванторов: (1) что надо доказать, (2) определение $\mathbb{N}$, тогда, смотря на записи, Вы сразу услышите у себя "Вот если бы ..., тогда бы".

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение17.07.2016, 16:54 


21/02/16
483
arseniiv в сообщении #1137208 писал(а):
12. Мне тоже не очень нравится, но по другой причине: как вы видите, принцип математической индукции доказывается в 13, так что если вы его используете здесь, эту теорему нельзя будет использовать в доказательстве 13. :-)

arseniiv в сообщении #1137238 писал(а):
Подсказка к 12. Нас просят доказать $\mathbb N\subset P$. Чтобы пересечение принадлежало $P$, достаточно, чтобы хотя бы одно из пересекаемых множеств принадлежало $P$.

А можно ли тут "схитрить" и не упоминать явно принцип мат.индукции? Вот что я имею в виду. Я по-прежнему хочу использовать индуктивное множество $A_0$ из своего предыдущего доказательства, но попробую доказать что все его элементы положительны по-другому (без мат.индукции).

Рассмотрим наименьшее индуктивное подмножество $A_0 \subset \mathbb{F}$, содержащее $1$.
По определению индуктивного подмножества, $x \in A_0 \Rightarrow x+1 \in A_0$. Взяв $x=1$, элемент $x+1=1+1 \in A_0$ будет положительным по аксиоме порядка 2 как сумма положительных элементов ($1 \in P$ согласно зад.8). Затем, взяв $x=1+1$, элемент $x+1=(1+1)+1 \in A_0$ также будет положительным по той же причине. И т.д., перебирая последовательно все элементы, принадлежащие $A_0$ по определению индуктивного подмножества, и обозначая каждый такой элемент за $x$, элемент $x+1 \in A_0$ будет положительным. Следовательно, все элементы в $A_0$ положительны, т.е. $A_0 \subset P$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение17.07.2016, 17:35 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
irod, таким способом Вы не обойдёте индукцию, а просто подумаете, что обошли мат. индукцию; то, что Вы хитрым способом переберете все элементы $A_0 -$ далеко не очевидный факт, который, на самом деле, и составляет содержание принципа мат. индукции.

Лучше последуйте этому совету:
gefest_md в сообщении #1137347 писал(а):
irod в сообщении #1137165 писал(а):
12. Доказать, что все натуральные числа положительны.
Если умеете писать сокращённо, с помощью кванторов: (1) что надо доказать, (2) определение $\mathbb{N}$, тогда, смотря на записи, Вы сразу услышите у себя "Вот если бы ..., тогда бы".


Предварительно вспомнив, что множества, состоящие только из натуральных чисел, всегда имеют наименьший элемент.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение17.07.2016, 20:38 


21/02/16
483
SomePupil
ок, схитрить не получилось, так что, действительно, последую совету gefest_md. Пока новый вариант доказательства в процессе, выложу его позже.
SomePupil в сообщении #1138459 писал(а):
Предварительно вспомнив, что множества, состоящие только из натуральных чисел, всегда имеют наименьший элемент.

А вот это, боюсь, невозможно, потому что это одна из следующих задач (номер 16) этого листка, и сейчас я не могу это использовать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение18.07.2016, 02:37 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
irod
Да, я как раз и предполагал, что «хорошее» доказательство 12 не будет пользоваться матиндукцией, и притом можно будет из него механической заменой получить доказательство 13, на которое тут уже намекают. (Кстати, сколько спойлеров вы уже открыли? Если ещё остались, откройте хоть один. А если все…)

-- Пн июл 18, 2016 04:41:02 --

SomePupil
Мне кажется, стоит руководствоваться определениями из источника ТС. Там и в определение индуктивного множества входит наличие 1 (ну, тут все друг друга всё равно поняли), и натуральные числа вводятся прямо-таки только что, и никакие замечательные свойства их до того не известны. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение19.07.2016, 13:48 


21/02/16
483
arseniiv в сообщении #1138554 писал(а):
(Кстати, сколько спойлеров вы уже открыли? Если ещё остались, откройте хоть один. А если все…)

Все открыл.
arseniiv в сообщении #1137238 писал(а):
Подсказка к 12. Нас просят доказать $\mathbb N\subset P$. Чтобы пересечение принадлежало $P$, достаточно, чтобы хотя бы одно из пересекаемых множеств принадлежало $P$.

(Ещё)

Значит, стоит попробовать найти индуктивное множество, принадлежащее $P$.

(Ещё)

Взяв за основу любое индуктивное множество. Хотя бы одно должно существовать, раз мы говорим об уже существующем $\mathbb N$.

В своем последнем варианте доказательства я как раз и пытался следовать этим подсказкам. Я хотел показать что правила наполнения (определения) множества $P$ и индуктивного подмножества $A_0\subset\mathbb{F}$ совпадают (как-то коряво сказал, но надеюсь идея понятна): в одном случае $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$, в другом $x,1\in P \Rightarrow x+1\in P$.
Дело кончилось неявным использованием мат.индукции.

-- 19.07.2016, 13:51 --

Теперь что у меня получилось по совету gefest_md с кванторами.
Что надо доказать: $\forall a\in\mathbb{F}\ (a\in\mathbb{N}\Rightarrow a\in P)$.
Определение $\mathbb{N}$: тут проблема.
Для начала определение индуктивного подмножества: $A=\{1\}\cup\{x\mid x-1\in A\}\subset\mathbb{F}$.
Можно было бы написать определение $\mathbb{N}$ так: $\mathbb{N}=\bigcap\limits_{i=1}^{\infty}A_i$, где $A_i$ -- индуктивное подмножество поля $\mathbb{F}$. Но тогда мы предполагаем, что индуктивных подмножеств счетное число, а это не факт.
Еще вариант:
$\mathbb{N}=\{1\}\cup\{x\mid\forall A\subset\mathbb{F}\ (x\in A)\}$, где $A$ -- индуктивное подмножество.
Это правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение19.07.2016, 15:19 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
irod в сообщении #1138805 писал(а):
в одном случае $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$, в другом $x,1\in P \Rightarrow x+1\in P$.
Дело кончилось неявным использованием мат.индукции.
(Жалко, что кончилось. :-)) Это очень полезное в этой ситуации наблюдение. Кстати, мои подсказки оказались немного к более сложному пути решения — никаких пересечений не нужно…

irod в сообщении #1138805 писал(а):
Для начала определение индуктивного подмножества: $A=\{1\}\cup\{x\mid x-1\in A\}\subset\mathbb{F}$.
Не очень хорошо выходит, т. к. ведь $A$ может быть много разных. А вот определить всё множество индуктивных подмножеств $\mathbb F$ как$$\mathcal A = \{A\subset\mathbb F\mid A=\{1\}\cup\{x\mid x-1\in A\}\}$$будет корректно, такое множество только одно. Заодно это поможет с пересечением. В вашем случае, я думаю, просто достаточно знать, что если для семейства множеств $\mathcal A\ne\varnothing$, существует пересечение всех множеств в $\mathcal A$, и его можно обозначать $\bigcap\mathcal A$. Ясно, что $\mathcal A\ne\varnothing$, т. к. туда входит… ой, чуть не проболтался. В любом случае, можно обойтись без явных определений, используя только некоторые истинные высказывания об $\mathbb N$ и индуктивных множествах.

-- Вт июл 19, 2016 17:24:42 --

P. S. Проще, правда, на мой взгляд (и более близко к определениям),$$\mathcal A = \{A\subset\mathbb F\mid 1\in A\wedge\forall x(x\in A\Rightarrow x+1\in A)\},$$но это действительно не важно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение28.07.2016, 20:30 


21/02/16
483
Что-то не дается мне эта задачка. Не могу догадаться как обойти перебор всех элементов в рассматриваемом индуктивном подмножестве.

arseniiv в сообщении #1138818 писал(а):
Ясно, что $\mathcal A\ne\varnothing$, т. к. туда входит… ой, чуть не проболтался.

Вы наверное имели в виду что $\bigcap\mathcal A\ne \varnothing$?
А входит в пересечение элемент 1, согласно зад.11.
arseniiv в сообщении #1138818 писал(а):
В любом случае, можно обойтись без явных определений, используя только некоторые истинные высказывания об $\mathbb N$ и индуктивных множествах.

Вот еще одна попытка. Тут я использую задачу 3 из этого листка.

Рассмотрим наименьшее индуктивное подмножество $A_0\subset\mathbb{F}$, содержащее $1$.
По определению индуктивного подмножества, $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$. При этом, согласно зад.8, $1>0$, следовательно, согласно зад.3, $\forall x\ (1+x>x)$. Таким образом, каждый "следующий" после $1$ элемент $x+1\in A_0$ больше предыдущего $x\in A_0$, и поэтому положителен. Следовательно, все элементы $A_0$ положительны. Это является достаточным условием для того чтобы пересечение всех индуктивных подмножеств (т.е. множество $\mathbb{N}$) было положительным.

-- 28.07.2016, 20:37 --

С кванторами тоже какая-то фигня получается.
arseniiv в сообщении #1138818 писал(а):
$$\mathcal A = \{A\subset\mathbb F\mid 1\in A\wedge\forall x(x\in A\Rightarrow x+1\in A)\},$$

Определение $\mathbb{N}$ как пересечения:
$$\mathbb{N}=\bigcap\mathcal A=\{a\mid\forall A\in\mathcal A\ (a\in A)\}.$$
Пока не понимаю что с этим дальше делать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение28.07.2016, 22:29 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
irod в сообщении #1140670 писал(а):
Вы наверное имели в виду что $\bigcap\mathcal A\ne \varnothing$?
$\mathcal A\ne \varnothing$. В теории множеств есть теорема, утверждающая, что если $\mathcal A\ne \varnothing$, то множество $\bigcap\mathcal A$ существует. У Давидовича $\mathbb{N}$, по определению, это $\bigcap\mathcal A$. Подразумевается, что это множество существует.

irod в сообщении #1140670 писал(а):
Рассмотрим наименьшее индуктивное подмножество $A_0\subset\mathbb{F}$, содержащее $1$.
По определению индуктивного подмножества, $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$. При этом, согласно зад.8, $1>0$, следовательно, согласно зад.3, $\forall x\ (1+x>x)$. Таким образом, каждый "следующий" после $1$ элемент $x+1\in A_0$ больше предыдущего $x\in A_0$, и поэтому положителен. Следовательно, все элементы $A_0$ положительны. Это является достаточным условием для того чтобы пересечение всех индуктивных подмножеств (т.е. множество $\mathbb{N}$) было положительным.
Неприятно было читать начало и конец: "наименьшее" и "является достаточным условием". По середине индукция.

irod в сообщении #1140670 писал(а):
Определение $\mathbb{N}$ как пересечения:
$$\mathbb{N}=\bigcap\mathcal A=\{a\mid\forall A\in\mathcal A\ (a\in A)\}.$$
Пока не понимаю что с этим дальше делать.
Если к сокращениям не привыкли, то выражайте словами, что дано и что надо доказать. Состав и того, и другого как-то меняется. В начале Вам надо доказать:

$\forall n(n\in\mathbb{N}\rightarrow n\in P)$

Далее Вы делаете допущение $n\in\mathbb{N}$, и тогда уже доказывать надо, что $n\in P$. Но теперь у Вас есть $n$. И ещё дано $\mathbb{N}=\bigcap\mathcal A$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение29.07.2016, 12:13 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
irod в сообщении #1140670 писал(а):
Вы наверное имели в виду что $\bigcap\mathcal A\ne \varnothing$?
Не-не, именно первое. Надо ведь удостовериться, что индуктивные множества существуют, т. е. есть что пересекать и определение корректно.

gefest_md в сообщении #1140691 писал(а):
Подразумевается, что это множество существует.
Я сначала тоже так думал, но потом это оказалось доказуемым. :-)

Я всё-таки выложу предполагаемое решение ниже в спойлере. Простите меня, irod и модераторы.

(При необходимости разбить стекло)

С определением упорядоченного поля нам поставляется интересное множество $P$. Мы уже знаем, что $1\in P$, и что если $x\in P$, то и $x+1\in P$. Т. е. $P$ индуктивно. Значит, являясь пересечением $P$ и ещё какой-то кучи множеств, $\mathbb N\subset P$.
Зато про 13-ю молчать буду! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение01.08.2016, 18:12 
Аватара пользователя


01/12/06
697
рм
irod в сообщении #1135672 писал(а):
Не могу понять, где и зачем тут нужна аксиома 2.
Достаточно доказать эти три предложения:
(а) $1\in P\Rightarrow 1\in P$
(б) $1=0\Rightarrow 1\in P$
(в) $-1\in P\Rightarrow 1\in P$
Если принять такой план, то в пункте (в) не знаю как быть без аксиомы 2 (листок 7).

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение05.08.2016, 11:26 


21/02/16
483
arseniiv в сообщении #1140772 писал(а):
С определением упорядоченного поля нам поставляется интересное множество $P$. Мы уже знаем, что $1\in P$, и что если $x\in P$, то и $x+1\in P$. Т. е. $P$ индуктивно. Значит, являясь пересечением $P$ и ещё какой-то кучи множеств, $\mathbb N\subset P$.

irod в сообщении #1138805 писал(а):
Я хотел показать что правила наполнения (определения) множества $P$ и индуктивного подмножества $A_0\subset\mathbb{F}$ совпадают (как-то коряво сказал, но надеюсь идея понятна): в одном случае $x\in A_0\Rightarrow x+1\in A_0$, в другом $x,1\in P \Rightarrow x+1\in P$.

Таким образом, моя ключевая недоработка в рассуждении выше - это то, что я прямо не назвал $P$ индуктивным подмножеством?
Если так, то у меня довольно странные ощущения, очень жалко было ходить вокруг да около и потратить на выяснение этого почти месяц. Обидно что я этого сам не заметил :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение05.08.2016, 12:30 
Аватара пользователя


07/01/15
1145
irod, кажется, Вы достаточно поработали с различными абстракциями, аксиомами и тому подобными вещами из арсенала пуристов. Не пора ли перейти к взятию пределов, производных, интегралов, вычислению рядов, исследованию функций $-$ то есть, ко всему тому, что, на самом деле, и составляет содержание математического анализа? Все, что вам потребуется $-$ это аксиомы поля действительных чисел $+$ аксиома полноты. При необходимости представляйте $\mathbb R$ в виде непрерывной вещественной оси $-$ это естественное представление действительных чисел, и она выражает всю суть $\mathbb R$.

Если же у Вас возникнет необходимость использовать свойства натуральных, целых и рациональных чисел, то используйте их без лишних формальностей $-$ Вы своим упорным трудом заслужили полное право не заботиться о строгости проводимых Вами доказательств. Формальности не нужны, потому что стремление на высочайшем уровне обосновать все и вся отвлечет Вас от исходных целей, а Ваша цель, как я понял, состоит в овладении анализом.

С другой стороны, Вы можете продолжить работу с аксиомами $-$ решать Вам.

P. S. Интересно, что скажут преподы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение05.08.2016, 13:16 


21/02/16
483
SomePupil
Интересное предложение. Честно говоря, мне и самому хочется побыстрее перейти к собственно матану.
А то я потратил столько времени на эту последнюю задачу, но пока не понимаю, в чем ее польза для меня сейчас.
Короче я сейчас не уверен, стОит ли мне доделывать текущий листок до конца, и стОит ли тратить время на листки 9 (Десятичная запись действительного числа) и 10 (Возведение в степень). Может быть, лучше сейчас перейти к листку 8 (Действительные числа,ч.3 Точная верхняя грань -- думаю это мне точно пригодится), а после него перейти к пределу последовательности, и далее уже без пропусков (?).
SomePupil в сообщении #1142178 писал(а):
Интересно, что скажут преподы?

Да, дайте совет пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Действительные числа (задачи из Давидовича)
Сообщение05.08.2016, 23:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
(Не препод.)
irod в сообщении #1142187 писал(а):
А то я потратил столько времени на эту последнюю задачу, но пока не понимаю, в чем ее польза для меня сейчас.
Не скажу за пользу вообще, но польза от неё для решения 13-й есть. В любом случае, мы принимаем принцип математической индукции верным, и он, в принципе, выводим и из других исходных положений (или его можно воспринимать как аксиому, когда единственные рассматриваемые вещи — это натуральные числа), так что вот только такой условный вердикт.

Чисто человечески, не вижу кошмара в том, чтобы пропустить доказательства некоторых утверждений и ниже считать их верными. Если покажется, что можно было что-то увидеть доказывая, всегда можно вернуться и проверить.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 94 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Vladimir Pliassov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group