Глубокоуважаемые участники дискуссии!
shwedka писал(а):
Полистала я вашу книжку.
1. О математике. тот факт, что недостаточное согласование начальных и граничных данных у эволюционного уравнения влечет особенности решений и недостаточную сходимость рядов типа Фурье - обще- и давно известно. Даже в элементарном учебнике, 30-летней давности, по которому я учу своих шведских студентов сей вопрос разбирается и результаты считаются фольклорными. Так что никаких парадоксов, науке ранее не известных, Вы не открыли. Явление, интерпретация, борьба с особенностями- общее место
Посмотрите внимательно эту выдержку из учебного пособия (стр. 79-82), и Вы убедитесь, что моя позиция, если не обращать внимания на акценты, совпадает с Вашей. Но проблема эта имеет глубокие исторические корни и намного серьезнее, чем вытекает из Вашего комментария:
1.7. Исторические корни математических парадоксов
и физически бессмысленных точных решений классических задач"Ключ к объяснению упомянутых выше математических недоразумений, по-видимому, следует искать прежде всего в особенности поведения рядов Фурье на границах области сходимости, где исходная функция и представляющий ее ряд иногда, особенно с учетом явления Гиббса [24, стр. 494–497], имеют различные значения. К сожалению, на это обстоятельство почему-то очень редко обращают внимание. В результате, как мы уже видели, решения многих задач, полученные методом Фурье, оказались фактически непригодными для практического применения. Несогласованные, т. е. фактически разрывные, краевые условия, привели в нашем случае к своеобразному динамическому решению, к которому, как почему-то оказалось, можно перейти и от статического решения (1.6.8). Этот переход выполнен общепринятым [6, стр. 95; 13, стр. 244], но, скорее всего, некорректным способом, без надлежащего анализа областей сходимости рядов и их производных, которые могут и не совпадать. С физической точки зрения подобный переход бессмысленный…. Примечательно, что именно такого рода физические абсурды присущи решениям тех классических задач, при постановке которых принимались или несогласованные, или разрывные, или недифференцируемые требуемое число раз начальные условия. В этом перечне находится большинство задач о колебаниях струны, стержня, мембраны.
Возникает законный вопрос: почему же все-таки в упомянутых задачах нарушено, а, может быть, и проигнорировано общепринятое с незапамятных времен правило о непрерывности и дифференцируемости требуемое число раз функций, используемых для описания начальных и граничных условий.Причем в некоторых современных учебных пособиях это правило считается необязательным [19, стр. 43], а решения, найденные в таких случаях, получили название обобщенных [6, стр. 63], хотя хорошо известно [6, стр. 63, 88], и это мы уже видели на примере (1.6.8), что решения в классическом смысле не существует. Что же касается обобщенных решений, а в рассмотренных в п. п. 1.6.1–1.6.4 примерах они действительно являются таковыми, то их наглядная физическая интерпретация с соответствующими комментариями уже продемонстрирована на рис. 1.4, 1.6, 1.8. Но, к сожалению, эта картина ранее никем не была замечена (а может быть, только не освещена в публикациях), и поэтому рассмотренные выше решения, причисленные к разряду точных, заняли первые места среди типовых учебных задач, как классические.
Причина создавшегося положения имеет глубокие исторические корни, уходящие к середине 18 века, и связана с фактически незавершенным длительным «спором о струне»между Даламбером и Эйлером [25, стр. 150–155]. К этой дискуссии в дальнейшем подключились Бернулли Д. и Лагранж. «Даламбер считал, что при произвольной начальной форме струны решать задачу нельзя: требуется гладкость струны, ввиду того что решение должно быть дважды дифференцируемым» [25, стр. 151]. Эйлер не соглашался с Даламбером относительно произвольных функций, входящих в решение уравнения (имеется в виду (1.4.7)). Он рассуждал так: начальная форма струны может быть любой, представлять кривую, начерченную «свободным влечением руки», поэтому можно задавать начальное положение не одним, а несколькими выражениями и даже разрывной функцией [25, стр. 150].
Такие взаимоисключающие точки зрения Даламбера и Эйлера в конечном итоге привели к тому, что в современной учебной литературе появились несовместимые выводы, процитированные ниже, а именно: «функция u(х, t)… только тогда будет решением уравнения, когда у нее существуют вторые производные по х и по t. Для этого функция u(х, 0) = f(х) должна иметь вторую производную, а функция du/dt(x,0)=F(x) – первую. Между тем часто приходится рассматривать задачи, в которых функции f(х) и F(х) не удовлетворяют указанным условиям… Во всех таких случаях функцию u(х, t)… мы все равно считаем решением задачи… Учитывая это замечание, мы в дальнейшем при рассмотрении примеров никогда не будем требовать, чтобы начальные условия обязательно удовлетворяли условиям непрерывности и дифференцируемости» [19, стр. 42–43]. Аналогичное, хотя и менее категоричное суждение по этому поводу имеется в работе [6, стр. 63]. Такого рода сомнительные выводы в авторитетных учебных пособиях нельзя, однако, относить исключительно на счет авторов этих пособий, поскольку они, вероятно, сформировались на протяжении столетий и отражают попытку нескольких поколений математиков объединить полярные точки зрения своих выдающихся предшественников – Даламбера и Эйлера. К чему такая попытка в конечном итоге привела, мы уже видели на наглядных примерах, представленных в п. п. 1.6.1–1.6.4.
С учетом изложенного, напрашивается очевидный вывод о необходимости пересмотра так называемых точных решений многочисленных классических задач, что в большинстве случаев означает иную, более корректную, их постановку, а фактически – и решение совершенно новых задач."
Итак, глубокоуважаемая Shwedka, как видите. фольклорные результаты, на которых Вы учите своих шведских студентов, все-таки базируются на позиции Даламбера- физика, а не на позиции Эйлера-математика. Но на практике получается ПАРАДОКС: при постановке конкретных задач о позиции Даламбера- физика или забывают, или сознательно ею (см. цитату в выдержке) пренебрегают, и становятся на позицию Эйлера-математика. Причем, это делают повсеместно и физики, и математики, а полученные абсурдные результаты «во всех таких случаях… мы все равно считаем решением задачи» и называем их обобщенными решениями. А делается это, скорее всего, по причине, которая, хотя и с юмором, но весьма удачно представлена в этой цитате:
bot писал(а):
Echo-Off писал(а):
А интеграл от неё - поди ж ты - равен 0!
Сказал физик: - Хочу, да ещё и восклицательный знак поставил, а чтоб математикам этот знак в нужное место поставить - потрудиться пришлось.
Посмотрите WWW участника bot и Вы убедитесь, что комментарий с юмором для расслабления появился здесь не случайно.
Поскольку при дальнейшем цитировании по шаблону необходимо дробить Ваши комментарии на отдельные предложения, то с целью сохранения связности, компактности и облегчения чтения я буду вставлять
свои ответы
жирным шрифтом в требуемые места каждого из Ваших комментариев 2 и3:
shwedka писал(а):
(в скобках ответы)
2. О механике. Трудно спорить с приближенными моделями. Каждая имеет свою область применимости. - (Согласен). Ваше изложение скучно и ориентировано на конкретные задачи. – (Возможно). Вы не предлагаете общего метода вывода уравнений, годного для широкого класса систем, а сражаетесь с каждой отдельной системой. – (В обсуждаемом нами разделе учебного пособия за исключением вывода нового уравнения колебаний струны /стр. 44-47/ рассматривается только классическое волновое уравнение и некоторые, вошедшие в учебники, задачи для него). С моей , математика, точки зрения следует начинать с наиболее общего уравнения, а потом, в зависимости от размаха рассматриваемых величин чем-то пренебрегать, линеаризовывать и тп. Иначе говоря, нужно так рано, как только возможно, уходить от механики и заниматься только математическими манипуляциями. – (Вот давайте попробуем все вместе с учетом моего /в предыдущем сообщении/ предложения реализовать эту Вашу идею и создадим на этом форуме первый и очень нужный коллективный труд). В целом Ваше творение выглядит неубедительно, в частности, говоря о якобы парадоксах, возникающих в 'традиционном' подходе и отсутствующих в Вашем, Вы не смогли привести убедительных примеров, где расчеты по разным моделям сравниваются с экспериментом. – (А Вы обратите внимание на задачи, представленные на стр. 98-118. Их решения не содержат упомянутых физических и математических недоразумений-«парадоксов»).
shwedka писал(а):
(
в скобках ответы)
3. Относительно Навье-Стокса. Математиков, знаете ли, не особенно волнует соответствие уравнения 'природе'. УНС оказались увлекательной математической задачей .-
(Не спорю и даже пишу о том же во вводной части статьи – ссылка на WWW «Шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) разрешима классическими методами».). То, что Вы из каких-то своих соображений изменили УНС –
(А разве предельно прозрачное математическое доказательство, причем, несколькими способами этих, основанных на очевидной аналогии, моих соображений некорректно?) и сделали математичекую задачу тривиальной,- (
Вот это уже признание! Причем, первое и очень смелое!) математиков ни в малейшей степени не интересует.-
(Вот здесь Вы ошибаетесь. Интересует и даже очень. Посмотрите по этому поводу http://terrytao.wordpress.com/2007/03/1 ... ment-26446 , дословно в начале страницы 1.Exact and explicit solutions (or at least an exact, explicit transformation to a significantly simpler PDE or ODE 2…). Хочется все же отметить многочисленные успехи УНС в расчетах, в частности, турбулентных течений. Можете ли Вы похвастаться такими расчетными успехами в своей измененной модели? –
(«Моя измененная модель» по своим возможностям описания реалий ничем не отличается от обычных уравнений Навье-Стокса, поскольку представляет собой всего лишь их корректное преобразование. А что касается реалий, то Вы, активная участница обсуждения http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=101756#101756 , должны о них вспомнить из сообщения Руста) С уважением, Александр Козачок
![\[
\operatorname{div} \vec u
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/1/9d134f6c72071718473c1023b9656a4682.png "\[
\operatorname{div} \vec u
\]")
и ![\[
\operatorname{div} \dot \vec u
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/e/5de9a6c5fae6206c76465aa2a85a8edf82.png "\[
\operatorname{div} \dot \vec u
\]")
соответствуют величине и скорости относительного изменения элементарного объема, то выражение ![\[
\operatorname{div} \ddot \vec u
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/9/d997613d1ea99e32408d83c021bf8d3582.png "\[
\operatorname{div} \ddot \vec u
\]")
, вероятно, есть ускорение относительного изменения того же объема. ![\[
\begin{gathered}
\hfill \ddot u_x = \frac{{d\dot u_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}, \\
\hfill \ddot u_y = \frac{{d\dot u_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}, \\
\hfill \ddot u_z = \frac{{d\dot u_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/9/a/b9aafdff2a21eac4d832b92a66ddfa6e82.png "\[
\begin{gathered}
\hfill \ddot u_x = \frac{{d\dot u_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}, \\
\hfill \ddot u_y = \frac{{d\dot u_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}, \\
\hfill \ddot u_z = \frac{{d\dot u_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} \\
\end{gathered}
\]")
(2) ![\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right]. \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/d/0ad138fdef37d331b1eec8f304c23ed082.png "\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right]. \\
\end{gathered}
\]")
(3)![\[
\ddot \varepsilon _o = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}}
{{dt^2 }} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{\delta V}}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}}} \right) = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{d}
{{dt}}\left( {\delta Vdiv\dot \vec u} \right).
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/9/8a97cb569513682a9a91eb44f0f06c0182.png "\[
\ddot \varepsilon _o = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}}
{{dt^2 }} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{\delta V}}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}}} \right) = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{d}
{{dt}}\left( {\delta Vdiv\dot \vec u} \right).
\]")
, откуда следует![\[
\ddot \varepsilon _o = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + div\dot \vec u\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta Vdt}} = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/0/e3017eb7af9b48732e200e0f22129c7382.png "\[
\ddot \varepsilon _o = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + div\dot \vec u\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta Vdt}} = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2
\]")
(4) ![\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}.
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/d/28d1eced3cee93a911829f5a772d19ae82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}.
\]")
(6)![\[
x_i (x_j )
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/b/fbb4327dafa046abfbc1fbd3e9a25a4a82.png "\[
x_i (x_j )
\]")
, в каждой точке которых соблюдаются взаимосвязи между частными производными вектора в виде (6). Зависимости ![\[
x_k
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/0/230b3dea02b68985d1f19cd6dbbbcb0682.png "\[
x_k
\]")
и времени ![\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},_{} _{} (i = 1,2,3)
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/5/e/85ed6e9de3024de5974476ea708c456582.png "\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},_{} _{} (i = 1,2,3)
\]")
(6*)![\[
{{\dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\dot u_i } {\dot u_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\dot u_j }}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/d/2edf7a7893ec3deff5e1d8592f08d1a082.png "\[
{{\dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\dot u_i } {\dot u_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\dot u_j }}
\]")
. ![\[
\left( {{{\partial x_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}} \right)\left( {{{\partial x_j } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial x_j } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}} \right) = 1
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/7/2/372226a393b660e9b12bc5bc1d50537382.png "\[
\left( {{{\partial x_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}} \right)\left( {{{\partial x_j } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial x_j } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}} \right) = 1
\]")
, то ![\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}.
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/e/05eecd0b03ffd6fc42ebbe87a4fb339482.png "\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}.
\]")
(7) ![\[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \operatorname{div} \left( {\frac{{d\dot \vec u}}
{{dt}}} \right) = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + \left( {\operatorname{div} \dot \vec u} \right)^2
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/8/238a32afeb5d094324ad1b1b6728d6f382.png "\[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \operatorname{div} \left( {\frac{{d\dot \vec u}}
{{dt}}} \right) = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + \left( {\operatorname{div} \dot \vec u} \right)^2
\]")
, т.е.![\[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \ddot \varepsilon _o
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/f/f/aff3d16a14e6de72468a345f5c038f2d82.png "\[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \ddot \varepsilon _o
\]")
.(8) ![\[
x_i = x_i (x_j )
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/b/d/cbdc6f0154236f6511da69c295c92ddc82.png "\[
x_i = x_i (x_j )
\]")
в результате решения фактически обыкновенного дифференциального уравнения![\[
{{\partial x_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }} = F(x_i ,x_j )
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/e/36efdf13e0c2a17fa5f74d8c4f5920c482.png "\[
{{\partial x_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }} = F(x_i ,x_j )
\]")
. Для определенности правую часть этого уравнения найти из условия ![\[
F(x_i ,x_j ) = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},_{} _{} (i = 1,2,3).
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/d/0adcb0c23cf097f9abeb8b454fab7f8b82.png "\[
F(x_i ,x_j ) = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},_{} _{} (i = 1,2,3).
\]")
Для большей строгости доказательства это соотношение, возможно, следует представить в виде ![\[
F(x_i ,x_j ) = \frac{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/8/5081a41d1603778ec97fa1e32e8036bc82.png "\[
F(x_i ,x_j ) = \frac{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},
\]")
т.е. вместо компонент скорости записать вектор. И неважно, что мы не знаем выражения для этого вектора, но знаем, что выражение существует. Следовательно, и существует так необходимое нам дифференциальное уравнение (6*) . Так что теперь, если придать моему непрофессиональному доказательству принятый среди профессионалов формализм, то, кажется, появляется повод лишний раз упрекнуть Л.Д. Ландау и М. Клайна за их негативное отношение к теоремам существования. Однако на самом деле все не так просто. Сначала ведь и доказывать было нечего до тех пор, пока не удалось «угадать» вид соотношения (6), позволяющего (3) преобразовать в (8). Затем надо было найти аргументы для обоснования самой возможности записи такого соотношения. Вот здесь-то пригодилась аналогия с определением векторных линий (линий тока) 
при условии непрерывности 
. Она доказывается вполне себе конструктивно: строится последовательность функций, равномерно приближающихся к решению. И чем это физикам не угодило...![\[
du_i = \frac{{\partial u_i }}
{{\partial t}}dt + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial x}}dx + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial y}}dy + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial z}}dz,_{} _{} (i = x,y,z).
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/e/d6ee1eb0ccc282b82ae9337a096a7a0382.png "\[
du_i = \frac{{\partial u_i }}
{{\partial t}}dt + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial x}}dx + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial y}}dy + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial z}}dz,_{} _{} (i = x,y,z).
\]")
(9)![\[
\begin{gathered}
\dot u_x = \frac{{dx}}
{{dt}} = \frac{{du_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}}, \\
\dot u_y = \frac{{dy}}
{{dt}} = \frac{{du_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}, \\
\dot u_z = \frac{{dz}}
{{dt}} = \frac{{du_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}. \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/a/c6a564849a223f4921836e3d8211709982.png "\[
\begin{gathered}
\dot u_x = \frac{{dx}}
{{dt}} = \frac{{du_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}}, \\
\dot u_y = \frac{{dy}}
{{dt}} = \frac{{du_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}, \\
\dot u_z = \frac{{dz}}
{{dt}} = \frac{{du_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}. \\
\end{gathered}
\]")
(10)![\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \vec u + \hfill \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}} + } \right. \hfill \\
+ \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}} \right). \hfill \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/9/cf918f0a9bc985bd277b23d9853834f782.png "\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \vec u + \hfill \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}} + } \right. \hfill \\
+ \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}} \right). \hfill \\
\end{gathered}
\]")
(11)![\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V - \delta V_0 )}}
{{dt}} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d\left( {\delta V\frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}} \right)}}
{{dt}}.
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/e/95e49815490d40a4e2dfc58b9fbba80082.png "\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V - \delta V_0 )}}
{{dt}} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d\left( {\delta V\frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}} \right)}}
{{dt}}.
\]")
![\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}} \right) + \frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta Vdt}}.
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/3/683d33579abfa8409d0eb893e0cfdb1082.png "\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}} \right) + \frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta Vdt}}.
\]")
(12)![\[
{{(\delta V - \delta V_0 )} \mathord{\left/
{\vphantom {{(\delta V - \delta V_0 )} {\delta V}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\delta V}}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/d/f2d2013b50e8919efc6beff9d746c4a982.png "\[
{{(\delta V - \delta V_0 )} \mathord{\left/
{\vphantom {{(\delta V - \delta V_0 )} {\delta V}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\delta V}}
\]")
можно рассматривать как относительное изменение элементарного объема за б.м. время, т.е. приравнять ![\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \operatorname{div} \left( {\frac{{d\vec u}}
{{dt}}} \right) = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \vec u + \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u.
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/b/8fbd8fd6f0d0e972bb5e311e43163ad782.png "\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \operatorname{div} \left( {\frac{{d\vec u}}
{{dt}}} \right) = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \vec u + \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u.
\]")
(12,а)![\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }},_{} _{} \frac{{\partial u_j }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial u_j }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial x_j }}
{{\partial x_i }}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/2/982b92a080b746ed32f11f65bd3863fb82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }},_{} _{} \frac{{\partial u_j }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial u_j }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial x_j }}
{{\partial x_i }}
\]")
(6,б) ![\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \vec u + \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u.
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/0/6/c0657e65b0be80d6121bbcdfe393cd0682.png "\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \vec u + \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u.
\]")
(14)![\[
{{\partial x_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/b/9ab82f661c69b3e0a7ed48e1a1430e1682.png "\[
{{\partial x_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}
\]")
(в выдержке она обозначена (6*)). 
- мнимая единица. Она не имеет физического смысла? Но ведь с ней все теории проще. Она сама - новый смысл!
, и по этой компоненте строятся кривые. Для другой компоненты 
и кривые будут, вообще говоря, другие, и производные одного икса по другому другие. Эта зависимость проигнорирована в формуле (7). Если ее учесть, то Ваше![\[ \left( {{{\partial x_i } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}} \right)\left( {{{\partial x_j } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_j } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}} \right) = 1 \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/8/d988b0147962ca5acf3fdf1bec8fcf5b82.png "\[ \left( {{{\partial x_i } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}} \right)\left( {{{\partial x_j } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_j } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}} \right) = 1 \]")
![\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/a/acae3a91ed0dc7e084779dd7d0ec4d8c82.png "\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\]")
, откуда после перехода к скалярной записи получим два равноправных уравнения: ![\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/1/8c156ff17e01ae944f574c6cd75f35a682.png "\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\]")
, ![\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_j } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_j } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_j } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_j } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/5/7/c5701e3ccf7517ced8f460f19e2d4be482.png "\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_j } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_j } {\partial x_j }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_j } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial \dot u_j } {\partial x_i }}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\]")
. В результате такого перехода к скалярной записи, поскольку левые части одинаковы, как видите, отпадает необходимость в доказательстве подвергнутого Вами сомнению (![\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_i }}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/1/561a51181a2084eab9ef100a838f0eab82.png "\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_i }}
\]")
, что и подтверждает отсутствие ошибки в моих рассуждениях. Однако следует заметить, что из векторного уравнения фактически вытекает не два, а три скалярных уравнения с одинаковой левой частью. Но третье уравнение, содержащее компоненту с отсутствующим слева индексом, нам здесь не требуется. Оно понадобится далее.
![\[
\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/d/f4d7c18a9a79e269e79ab1710a0b518f82.png "\[
\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\]")
, то сразу снимаются все вопросы: и формулы (7) получаются после операции деления этих двух скалярных выражений ![\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/c/8ace8abf7a1d67b974f4c5653a167dd882.png "\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\]")
, ![\[
\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/c/15cd088b47e7b3099c695cad62bc08e182.png "\[
\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\]")
, и проблема с делением векторов исчезает, и, похоже, становится отчетливо видно, что векторы ![\[
\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_j }},\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_i }}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/7/1e7ababfe0ca20c59d241a53cd2fa51482.png "\[
\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_j }},\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_i }}
\]")
коллинеарные.
![\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }}. (6)\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/5/a/15ad324f8b6510af3b0dfdcbede2600f82.png "\[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }}. (6)\]")
![\[ \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2}} = \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1 }}\frac{{\partial x_1 }} {{\partial x_2 }}.(a) \]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/e/cfe0128cdf34c813c07c2b9ba26d4fdd82.png "\[ \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2}} = \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1 }}\frac{{\partial x_1 }} {{\partial x_2 }}.(a) \]")
![\[ \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }} \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/8/8/188d629ef948ad8027ad7941bb0fa84c82.png "\[ \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }} \]")
вдоль кривой, связанной с 
. С
![\[ \frac{{\partial \dot u_2 }} {{\partial x_2}} = \frac{{\partial \dot u_2 }} {{\partial x_1 }}\frac{{\partial x_1 }} {{\partial x_2 }}.(b) \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/c/dfc7f0937c422746d2315c3d50ce01bd82.png "\[ \frac{{\partial \dot u_2 }} {{\partial x_2}} = \frac{{\partial \dot u_2 }} {{\partial x_1 }}\frac{{\partial x_1 }} {{\partial x_2 }}.(b) \]")
вы определяете с помощью 
, как в (б), получится то же значение??![\[
a \cdot x = m_{} (a \ne 0)
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/1/5d1b4ba422b7a78164c6a98b47f51b7182.png "\[
a \cdot x = m_{} (a \ne 0)
\]")
имеет бесчисленное множество решений. Аналитически это уравнение определяет лишь одну проекцию неизвестного вектора ![\[
a \times x = m_{} (a \ne 0)
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/7/96715b287c43a4c2af6008eee03f0a6782.png "\[
a \times x = m_{} (a \ne 0)
\]")
, т.е. не следует забывать, что знак векторного произведения – это множитель, означающий синус угла между векторами. Для более сложных случаев, например, для векторно-скалярного произведения следует поступать по аналогии рассмотренным ситуациям, т.е. помнить, что на самом деле представляют собой знаки векторного и скалярного произведений. Если же стоит задача обычного деления неколлинеарных векторов, то для доопределения этой операции необходимо иметь полную информацию об их происхождении и лишь после этого разыскивать необходимый результат. Ну, скажем, примерно так, как с помощью дополнительной информации исследуют ситуацию с раскрытием неопределенности при делении ноль на ноль, не находя в этом ничего запретного. Эта идея, как оказалось, многими обсуждается и в чем-то уже как-то реализована. Насколько корректно, судите сами: ![\[ \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }}. \]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/e/0ae7d1043eb173091addfe4923c7aa1e82.png "\[ \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }}. \]")