2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 22  След.
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???
Сообщение03.04.2008, 19:36 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые участники дискуссии!
shwedka писал(а):
Полистала я вашу книжку.
1. О математике. тот факт, что недостаточное согласование начальных и граничных данных у эволюционного уравнения влечет особенности решений и недостаточную сходимость рядов типа Фурье - обще- и давно известно. Даже в элементарном учебнике, 30-летней давности, по которому я учу своих шведских студентов сей вопрос разбирается и результаты считаются фольклорными. Так что никаких парадоксов, науке ранее не известных, Вы не открыли. Явление, интерпретация, борьба с особенностями- общее место


Посмотрите внимательно эту выдержку из учебного пособия (стр. 79-82), и Вы убедитесь, что моя позиция, если не обращать внимания на акценты, совпадает с Вашей. Но проблема эта имеет глубокие исторические корни и намного серьезнее, чем вытекает из Вашего комментария:

1.7. Исторические корни математических парадоксов
и физически бессмысленных точных решений классических задач

"Ключ к объяснению упомянутых выше математических недоразумений, по-видимому, следует искать прежде всего в особенности поведения рядов Фурье на границах области сходимости, где исходная функция и представляющий ее ряд иногда, особенно с учетом явления Гиббса [24, стр. 494–497], имеют различные значения. К сожалению, на это обстоятельство почему-то очень редко обращают внимание. В результате, как мы уже видели, решения многих задач, полученные методом Фурье, оказались фактически непригодными для практического применения. Несогласованные, т. е. фактически разрывные, краевые условия, привели в нашем случае к своеобразному динамическому решению, к которому, как почему-то оказалось, можно перейти и от статического решения (1.6.8). Этот переход выполнен общепринятым [6, стр. 95; 13, стр. 244], но, скорее всего, некорректным способом, без надлежащего анализа областей сходимости рядов и их производных, которые могут и не совпадать. С физической точки зрения подобный переход бессмысленный…. Примечательно, что именно такого рода физические абсурды присущи решениям тех классических задач, при постановке которых принимались или несогласованные, или разрывные, или недифференцируемые требуемое число раз начальные условия. В этом перечне находится большинство задач о колебаниях струны, стержня, мембраны.
Возникает законный вопрос: почему же все-таки в упомянутых задачах нарушено, а, может быть, и проигнорировано общепринятое с незапамятных времен правило о непрерывности и дифференцируемости требуемое число раз функций, используемых для описания начальных и граничных условий.Причем в некоторых современных учебных пособиях это правило считается необязательным [19, стр. 43], а решения, найденные в таких случаях, получили название обобщенных [6, стр. 63], хотя хорошо известно [6, стр. 63, 88], и это мы уже видели на примере (1.6.8), что решения в классическом смысле не существует. Что же касается обобщенных решений, а в рассмотренных в п. п. 1.6.1–1.6.4 примерах они действительно являются таковыми, то их наглядная физическая интерпретация с соответствующими комментариями уже продемонстрирована на рис. 1.4, 1.6, 1.8. Но, к сожалению, эта картина ранее никем не была замечена (а может быть, только не освещена в публикациях), и поэтому рассмотренные выше решения, причисленные к разряду точных, заняли первые места среди типовых учебных задач, как классические.
Причина создавшегося положения имеет глубокие исторические корни, уходящие к середине 18 века, и связана с фактически незавершенным длительным «спором о струне»между Даламбером и Эйлером [25, стр. 150–155]. К этой дискуссии в дальнейшем подключились Бернулли Д. и Лагранж. «Даламбер считал, что при произвольной начальной форме струны решать задачу нельзя: требуется гладкость струны, ввиду того что решение должно быть дважды дифференцируемым» [25, стр. 151]. Эйлер не соглашался с Даламбером относительно произвольных функций, входящих в решение уравнения (имеется в виду (1.4.7)). Он рассуждал так: начальная форма струны может быть любой, представлять кривую, начерченную «свободным влечением руки», поэтому можно задавать начальное положение не одним, а несколькими выражениями и даже разрывной функцией [25, стр. 150].
Такие взаимоисключающие точки зрения Даламбера и Эйлера в конечном итоге привели к тому, что в современной учебной литературе появились несовместимые выводы, процитированные ниже, а именно: «функция u(х, t)… только тогда будет решением уравнения, когда у нее существуют вторые производные по х и по t. Для этого функция u(х, 0) = f(х) должна иметь вторую производную, а функция du/dt(x,0)=F(x) – первую. Между тем часто приходится рассматривать задачи, в которых функции f(х) и F(х) не удовлетворяют указанным условиям… Во всех таких случаях функцию u(х, t)… мы все равно считаем решением задачи… Учитывая это замечание, мы в дальнейшем при рассмотрении примеров никогда не будем требовать, чтобы начальные условия обязательно удовлетворяли условиям непрерывности и дифференцируемости» [19, стр. 42–43]. Аналогичное, хотя и менее категоричное суждение по этому поводу имеется в работе [6, стр. 63]. Такого рода сомнительные выводы в авторитетных учебных пособиях нельзя, однако, относить исключительно на счет авторов этих пособий, поскольку они, вероятно, сформировались на протяжении столетий и отражают попытку нескольких поколений математиков объединить полярные точки зрения своих выдающихся предшественников – Даламбера и Эйлера. К чему такая попытка в конечном итоге привела, мы уже видели на наглядных примерах, представленных в п. п. 1.6.1–1.6.4.
С учетом изложенного, напрашивается очевидный вывод о необходимости пересмотра так называемых точных решений многочисленных классических задач, что в большинстве случаев означает иную, более корректную, их постановку, а фактически – и решение совершенно новых задач."

Итак, глубокоуважаемая Shwedka, как видите. фольклорные результаты, на которых Вы учите своих шведских студентов, все-таки базируются на позиции Даламбера- физика, а не на позиции Эйлера-математика. Но на практике получается ПАРАДОКС: при постановке конкретных задач о позиции Даламбера- физика или забывают, или сознательно ею (см. цитату в выдержке) пренебрегают, и становятся на позицию Эйлера-математика. Причем, это делают повсеместно и физики, и математики, а полученные абсурдные результаты «во всех таких случаях… мы все равно считаем решением задачи» и называем их обобщенными решениями. А делается это, скорее всего, по причине, которая, хотя и с юмором, но весьма удачно представлена в этой цитате:

bot писал(а):
Echo-Off писал(а):
А интеграл от неё - поди ж ты - равен 0!

Сказал физик: - Хочу, да ещё и восклицательный знак поставил, а чтоб математикам этот знак в нужное место поставить - потрудиться пришлось. :D

Посмотрите WWW участника bot и Вы убедитесь, что комментарий с юмором для расслабления появился здесь не случайно.

Поскольку при дальнейшем цитировании по шаблону необходимо дробить Ваши комментарии на отдельные предложения, то с целью сохранения связности, компактности и облегчения чтения я буду вставлять свои ответы жирным шрифтом в требуемые места каждого из Ваших комментариев 2 и3:

shwedka писал(а):
(в скобках ответы)
2. О механике. Трудно спорить с приближенными моделями. Каждая имеет свою область применимости. - (Согласен). Ваше изложение скучно и ориентировано на конкретные задачи. – (Возможно). Вы не предлагаете общего метода вывода уравнений, годного для широкого класса систем, а сражаетесь с каждой отдельной системой. – (В обсуждаемом нами разделе учебного пособия за исключением вывода нового уравнения колебаний струны /стр. 44-47/ рассматривается только классическое волновое уравнение и некоторые, вошедшие в учебники, задачи для него). С моей , математика, точки зрения следует начинать с наиболее общего уравнения, а потом, в зависимости от размаха рассматриваемых величин чем-то пренебрегать, линеаризовывать и тп. Иначе говоря, нужно так рано, как только возможно, уходить от механики и заниматься только математическими манипуляциями. – (Вот давайте попробуем все вместе с учетом моего /в предыдущем сообщении/ предложения реализовать эту Вашу идею и создадим на этом форуме первый и очень нужный коллективный труд). В целом Ваше творение выглядит неубедительно, в частности, говоря о якобы парадоксах, возникающих в 'традиционном' подходе и отсутствующих в Вашем, Вы не смогли привести убедительных примеров, где расчеты по разным моделям сравниваются с экспериментом. – (А Вы обратите внимание на задачи, представленные на стр. 98-118. Их решения не содержат упомянутых физических и математических недоразумений-«парадоксов»).

shwedka писал(а):
(в скобках ответы)
3. Относительно Навье-Стокса. Математиков, знаете ли, не особенно волнует соответствие уравнения 'природе'. УНС оказались увлекательной математической задачей .- (Не спорю и даже пишу о том же во вводной части статьи – ссылка на WWW «Шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) разрешима классическими методами».). То, что Вы из каких-то своих соображений изменили УНС – (А разве предельно прозрачное математическое доказательство, причем, несколькими способами этих, основанных на очевидной аналогии, моих соображений некорректно?) и сделали математичекую задачу тривиальной,- (Вот это уже признание! Причем, первое и очень смелое!) математиков ни в малейшей степени не интересует.- (Вот здесь Вы ошибаетесь. Интересует и даже очень. Посмотрите по этому поводу http://terrytao.wordpress.com/2007/03/1 ... ment-26446 , дословно в начале страницы 1.Exact and explicit solutions (or at least an exact, explicit transformation to a significantly simpler PDE or ODE 2…). Хочется все же отметить многочисленные успехи УНС в расчетах, в частности, турбулентных течений. Можете ли Вы похвастаться такими расчетными успехами в своей измененной модели? – («Моя измененная модель» по своим возможностям описания реалий ничем не отличается от обычных уравнений Навье-Стокса, поскольку представляет собой всего лишь их корректное преобразование. А что касается реалий, то Вы, активная участница обсуждения http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=101756#101756 , должны о них вспомнить из сообщения Руста)


С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.04.2008, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Коллега Александр Козачок,
Тао, конечно, авторитет , но его нужно внимательно читать. Он призывает к поиску уравнений, возможно, и проще НС, но обладающими двумя характеристиками НС: отсутствием коэрцитивности и суперкритической нелинейностью. Ваши упрощения этими свойствами не обладают.
Как и все остальное в Ваших трудах, эта часть банальна. Не заманюсь я на с Вами сотрудничество. Своих дел хватает.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.04.2008, 00:21 
Модератор


16/01/07
1563
Северодвинск
 !  Jnrty:
Александр Козачок, наведите, пожалуйста, порядок с цитатами в Вашем сообщении и уберите те выделения жирным шрифтом, без которых можно обойтись. Если что-нибудь с цитатами непонятно, почитайте http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=11877

 Профиль  
                  
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???
Сообщение10.04.2008, 19:24 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):
Коллега Александр Козачок,
Тао, конечно, авторитет, но его нужно внимательно читать. Он призывает к поиску уравнений, возможно, и проще НС, но обладающими двумя характеристиками НС: отсутствием коэрцитивности и суперкритической нелинейностью. Ваши упрощения этими свойствами не обладают.

1. В предыдущем сообщении я уже подчеркнул, что по своим возможностям полученные мною уравнения ничем не отличаются от обычных уравнений Навье-Стокса (УНС), поскольку представляют собой, не «УПРОЩЕНИЯ», а точное преобразование УНС к более простым уравнениям. Поэтому, если Вы находите эти, традиционные и для наглядности предельно детализированные мною, преобразования УНС некорректными, то хотя бы укажите, где по - Вашему скрывается эта некорректность?

2. А что касается толкования смысла цитаты из обзора Тао, то в связи с Вашим заявлением я вынужден привести ее в расширенном виде вместе с переводом, чтобы оценить его правильность

At present, all known methods for obtaining global smooth solutions to a (deterministic) nonlinear PDE Cauchy problem require either {В настоящее время, все известные методы получения глобальных гладких решений (детерминированных) нелинейных PDE (Cauchy проблема) требуют то или иное (также?)}
1. Exact and explicit solutions (or at least an exact, explicit transformation to a significantly simpler PDE or ODE); -{Точные и явные решения (или по крайней мере точное, явное преобразование к значительно более простому PDE или ОDЕ)}
2. ;Perturbative hypotheses (e.g. small data, data close to a special solution, or more generally a hypothesis which involves an somewhere); or
3. One or more globally controlled quantities (such as the total energy) which are both coercive and either critical or subcritica.- {Одно или более глобально управляемые количества, (типа полной энергии), которые являются принудительными и также критическими или подкритическими.}

Или, может быть, самого автора стоит об этом спросить, воспользовавшись окном для комментариев его блога по указанному в цитате адресу. Возможно, он, действительно, как и Вы, почему-то молчаливо подразумевает п. 1 в обязательном сочетании с п. 3, хотя из приведенной цитаты это, кажется, никак не вытекает. При этом заодно можно предложить Тао и его коллегам по обсуждению сформулировать свое отношение к высказываниям Л.Д. Ландау и М. Клайна, о чем мы здесь столько спорим.

shwedka писал(а):
Коллега Александр КозачокКак и все остальное в Ваших трудах, эта часть банальна.

1. По первой части мы с Вами уже, кажется по отсутствию Ваших возражений, договорились, что сейчас, после моих многолетних дискуссий с профессионалами, эта часть действительно кажется банальной (т.е., я так понимаю, неоригинальной), но с существенной оговоркой: все об этом давно знают, что так делать нельзя, но на практике проглядели и поэтому на протяжении столетия из учебника в учебник уверенно, как аксиому, переписывают и преподают студентам множество абсурдных задач, даже не подозревая, что их решение выполнено именно так, как делать нельзя!

2. Вторая часть, относящаяся к УНС, я с Вами согласен, тоже в чем-то банальна, поскольку шестая проблема тысячелетия, которую пытаются решить с помощью новейших достижений современной математики,

Котофеич http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=101756#101756 писал(а):
:evil: …при виде которых, простые математики падают в обморок. :lol:

похоже, может быть решена банальными (избитыми) методами математической физики. И не просто решена, а благодаря банальным математическим преобразованиям, как Вы уже отметили ранее, всеми признанная сложнейшей математическая задача сведена к тривиальной, т.е. получены результаты, полностью соответствующие формулировке п.1 цитаты Тао. Но я все-таки надеюсь, что мой глубокоуважаемый оппонент сочтет возможным отнести к небанальным результатам подмеченную, а затем корректно доказанную банальными методами аналогию: если известно, что divU=0 и divV=0 то, вероятно, что и divW=0 (U, V, W – векторы перемещения, скорости, ускорения соответственно). Именно благодаря этой, не попавшей в поле зрения предшественников аналогии, удалось показать, что оригинальнейшие, виртуозные построения выдающихся математиков, «…при виде которых, простые математики падают в обморок» и которыми так интересовались Вы, в данном случае, похоже, совершено излишни. Почему я снова повторяю «похоже»? Очевидно потому, что мне самому после полуторагодичных многочисленных проверок до сих пор трудно поверить в возможность такого простого доказательства, к получению которого привлечено столько внимания. Однако, отсутствие аргументированных возражений профессионалов по истечении почти двух месяцев после загрузки в Интернет подробнейших выкладок этого сравнительно простого и поэтому кажущегося «банальным» доказательства, вселяет надежду, что эти выкладки все-таки корректны. За многие годы на личном опыте я убедился, что наиболее простые доказательства почему-то всегда ускользают из поля зрения. Да вот и Вы, и Ваши многочисленные коллеги до сих пор не можете выйти на потерянное простое доказательство ВТФ. И если Вы его, после таких неимоверных мытарств, все-таки найдете, то оно, вероятно, многим тоже покажется «БАНАЛЬНЫМ».

shwedka писал(а):
…Не заманюсь я на с Вами сотрудничество. Своих дел хватает.

А что касается сотрудничества, то я пытаюсь Вас не «заманить», а убедить (мы все здесь друг друга в чем-то убеждаем!), что абсурдные задачи в учебниках надо срочно заменить, но пока это сделать практически нечем. О масштабах этой громадной работы можно судить хотя бы по количеству таких задач в учебном пособии «Сборник задач по математической физике», 687с., авторы: Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. И если не сделаете это Вы, Ваши коллеги, участники этого обсуждения, выпускники МГУ и других университетов СНГ, то это сделает кто-то, более дальновидный и понимающий, что от этого никуда теперь не уйти. Разумеется, тем, кто защитил свои диссертации, готовил учебные пособия, создал научные школы, основываясь на таких же ошибочных подходах, решиться на такое очень тяжело. Но теперь уже и Вы, и Ваши коллеги, я не сомневаюсь, даже если и будете продолжать излагать студентам уже известные Вам абсурдные решения классических задач, то с непременной оговоркой, что делаете это за неимением лучших решений. А эти лучшие решения, которые могли бы оказаться Вашими, со временем обязательно появятся из тех мест, куда мы привыкли смотреть с восхищением и завистью, и после перевода на русский и многие другие языки займут почетные места в университетских учебниках на многие десятилетия, а то и на века. Как видите, я Вам и в Вашем лице всем остальным предлагаю почетную роль законодателей на многие десятилетия, а не стараюсь «заманить» как обычных временных исполнителей, в сложнейшем вопросе наполнения надлежащим содержанием университетского образования без учета государственных границ.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.04.2008, 21:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок
Цитата:
вероятно, что и $div W=0$

Ваше упрощение НС основано на этом
Цитата:
вероятно
.
Если Вы это ДОКАЖЕТЕ, будет предмет для разговора.
то, что приводится в Вашем тексте, сомнительно, начиная с формулы (6).
Формула, следующая за (6) напоминает производную неявной функции (в знаке Вы наврали!!!),
но неявной функции не наблюдается.

 Профиль  
                  
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???
Сообщение14.04.2008, 06:57 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):
Александр Козачок
Цитата:
вероятно, что и $div W=0$

Ваше упрощение НС основано на этом
Цитата:
вероятно
.
Если Вы это ДОКАЖЕТЕ, будет предмет для разговора.


Да, действительно, преобразование УНС «основано на этом». А доказательство фактически имеется в тексте статьи, хотя, вероятно, и в непривычной для профессионального математика форме из-за недостаточной строгости изложения. Для того чтобы показать это, я вынужден в сокращенном виде привести выдержку из работы и выделить в ней те места, где формулируется доказательство:

подробнее стр.2-5 http://a-kozachok1.narod.ru/milprobl.pdf писал(а):
2. Об одной незамеченной предшественниками аналогии
Если \[
\operatorname{div} \vec u
\] и \[
\operatorname{div} \dot \vec u
\] соответствуют величине и скорости относительного изменения элементарного объема, то выражение \[
\operatorname{div} \ddot \vec u
\] , вероятно, есть ускорение относительного изменения того же объема.

Запишем выражения для компонент ускорений и выполним операцию div
\[
\begin{gathered}
  \hfill \ddot u_x  = \frac{{d\dot u_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}, \\
  \hfill \ddot u_y  = \frac{{d\dot u_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}, \\
  \hfill \ddot u_z  = \frac{{d\dot u_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} \\ 
\end{gathered} 
\] (2)

\[
\begin{gathered}
  \operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u +  \\ 
   + \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2  + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2  + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2  + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right]. \\ 
\end{gathered} 
\] (3)
А теперь преобразуем последнее выражение формулы (1)
\[
\ddot \varepsilon _o  = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d^2 (\delta V)}}
{{dt^2 }} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{\delta V}}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}}} \right) = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{d}
{{dt}}\left( {\delta Vdiv\dot \vec u} \right).
\] , откуда следует
\[
\ddot \varepsilon _o  = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + div\dot \vec u\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta Vdt}} = \frac{d}
{{dt}}div\dot \vec u + (div\dot \vec u)^2 
\] (4)
Для совпадения (3) и (4) предположим, что
\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}.
\] (6)
Геометрическая интерпретация этих соотношений может быть сформулирована так: для вектора скорости (как и для любого вектора) существуют такие плоские кривые, т.е. графические зависимости между каждой парой пространственных координат \[
x_i (x_j )
\] , в каждой точке которых соблюдаются взаимосвязи между частными производными вектора в виде (6). Зависимости \[
x_i (x_j )
\] могут быть найдены после решения фактически обыкновенного дифференциального уравнения при фиксированной третьей координате \[
x_k 
\]и времени
\[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},_{} _{} (i = 1,2,3)
\](6*)
Решение такого уравнения может быть найдено, если заданы выражения для компонент скорости или их частные производные по пространственным координатам. Эта ситуация аналогична другой известной ситуации, связанной с построением векторных линий (линий тока), когда в правой части этого дифференциального уравнения записывается отношение разноименных компонент скорости\[
{{\dot u_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\dot u_i } {\dot u_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\dot u_j }}
\] .

Если принять во внимание, что\[
\left( {{{\partial x_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}} \right)\left( {{{\partial x_j } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial x_j } {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}} \right) = 1
\] , то
\[
\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}.
\] (7)
С учетом соотношений (7) \[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \operatorname{div} \left( {\frac{{d\dot \vec u}}
{{dt}}} \right) = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \dot \vec u + \left( {\operatorname{div} \dot \vec u} \right)^2 
\] , т.е.\[
\operatorname{div} \ddot \vec u = \ddot \varepsilon _o 
\].(8)

А теперь давайте попытаемся этому доказательству придать более строгую форму и сформулируем такую математическую задачу: найти зависимости \[
x_i  = x_i (x_j )
\] в результате решения фактически обыкновенного дифференциального уравнения\[
{{\partial x_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }} = F(x_i ,x_j )
\] . Для определенности правую часть этого уравнения найти из условия \[
F(x_i ,x_j ) = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},_{} _{} (i = 1,2,3).
\] Для большей строгости доказательства это соотношение, возможно, следует представить в виде \[
F(x_i ,x_j ) = \frac{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},
\] т.е. вместо компонент скорости записать вектор. И неважно, что мы не знаем выражения для этого вектора, но знаем, что выражение существует. Следовательно, и существует так необходимое нам дифференциальное уравнение (6*) . Так что теперь, если придать моему непрофессиональному доказательству принятый среди профессионалов формализм, то, кажется, появляется повод лишний раз упрекнуть Л.Д. Ландау и М. Клайна за их негативное отношение к теоремам существования. Однако на самом деле все не так просто. Сначала ведь и доказывать было нечего до тех пор, пока не удалось «угадать» вид соотношения (6), позволяющего (3) преобразовать в (8). Затем надо было найти аргументы для обоснования самой возможности записи такого соотношения. Вот здесь-то пригодилась аналогия с определением векторных линий (линий тока) http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 965ru.djvu , (стр.103), благодаря чему возникла мысль преобразовать (6) в (6*) и придать ему смысл дифференциального уравнения. Затем, конечно же, полагаясь лишь на интуицию, пришлось констатировать, что решение такого дифуравнения должно существовать. А это, в свою очередь, дало основание утверждать о возможности записи соотношения (6). Здесь, я полагаю, пригодится и эта цитата:
Echo-Off писал(а):
А вообще, взять хотя бы самую первую теорему о существовании решения обыкновенного ДУ $y'=f(x,y)$ при условии непрерывности $f$. Она доказывается вполне себе конструктивно: строится последовательность функций, равномерно приближающихся к решению. И чем это физикам не угодило...

И, тем не менее, несмотря на отмеченное выше, поверить сразу в возможность такого простого решения проблемы, разумеется, нелегко. Поэтому были найдены дополнительные обоснования. В сжатом виде детали обоснования (краткая формулировка выделена) выглядят так:

подробнее стр. 5-8 http://a-kozachok1.narod.ru/milprobl.pdf писал(а):
3. Дополнительные обоснования полученных результатов
Запишем выражения для компонент скорости, исходя из записи полного дифференциала компонент перемещения, и выполним операцию div

\[
du_i  = \frac{{\partial u_i }}
{{\partial t}}dt + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial x}}dx + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial y}}dy + \frac{{\partial u_i }}
{{\partial z}}dz,_{} _{} (i = x,y,z).
\] (9)

\[
\begin{gathered}
  \dot u_x  = \frac{{dx}}
{{dt}} = \frac{{du_x }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_x }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}}, \\ 
  \dot u_y  = \frac{{dy}}
{{dt}} = \frac{{du_y }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_y }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}, \\ 
  \dot u_z  = \frac{{dz}}
{{dt}} = \frac{{du_z }}
{{dt}} = \frac{{\partial u_z }}
{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}}. \\ 
\end{gathered} 
\] (10)
\[
\begin{gathered}
  \operatorname{div} \dot \vec u = \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \vec u +  \hfill \\
   + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial z}} + } \right. \hfill \\
   + \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}
{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}
{{\partial z}}} \right). \hfill \\ 
\end{gathered} 
\] (11)

А теперь запишем в другом виде вторую формулу (1), имея в виду независимость от времени начального элементарного объема \[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{dt}} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V - \delta V_0 )}}
{{dt}} = \frac{1}
{{\delta V}}\frac{{d\left( {\delta V\frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}} \right)}}
{{dt}}.
\]
, откуда

\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{d}
{{dt}}\left( {\frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}} \right) + \frac{{\delta V - \delta V_0 }}
{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}
{{\delta Vdt}}.
\] (12)
Выражение \[
{{(\delta V - \delta V_0 )} \mathord{\left/
 {\vphantom {{(\delta V - \delta V_0 )} {\delta V}}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\delta V}}
\] можно рассматривать как относительное изменение элементарного объема за б.м. время, т.е. приравнять \[
\operatorname{div} \vec u
\]
\[
\operatorname{div} \dot \vec u = \operatorname{div} \left( {\frac{{d\vec u}}
{{dt}}} \right) = \frac{d}
{{dt}}\operatorname{div} \vec u + \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u.
\](12,а)
Оказывается, что совпадения (11) и (12,а) можно достичь, если по аналогии с (6,а) применить выражения для частных производных
\[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }},_{} _{} \frac{{\partial u_j }}
{{\partial x_i }} = \frac{{\partial u_j }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial x_j }}
{{\partial x_i }}
\] (6,б)
а формулы (11) можно преобразовать так \[
\operatorname{div} \dot \vec u = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \vec u + \operatorname{div} \dot \vec u\operatorname{div} \vec u.
\] (14)
Первые четыре члена правой части (14) представляют собой развернутую запись полной производной от дивергенции перемещения \[
\operatorname{div} \vec u
\]
Поэтому (14) можно записать в форме, совпадающей с (12,а), что и подтверждает обоснованность зависимостей (6,б) и, следовательно, (6,а). Отрицая справедливость формул (6,б), мы бы не имели права утверждать о справедливости и второго соотношения (1), а также (12) и (12,а). Формулы (6,а) и (6,б), очевидно, можно было бы записать и без таких подробных дополнительных пояснений, используя общеизвестное правило дифференцирования сложной функции при поочередном фиксировании пространственных координат. Однако, ввиду особой важности этих формул, такой подробный анализ выполнен преднамеренно.
]

Итак, из этих результатов, глубокоуважаемый мой оппонент, Вы отчетливо должны видеть, что отрицание справедливости формулы (6) не позволяет нам корректно воспользоваться и условием \[
\operatorname{div} \dot \vec u
\] равно нулю.

shwedka писал(а):
то, что приводится в Вашем тексте, сомнительно, начиная с формулы (6). Формула, следующая за (6) напоминает производную неявной функции (в знаке Вы наврали!!!), но неявной функции не аблюдается.

Формула, следующая за (6), это та же формула (6), но только записанная в явном виде относительно \[
{{\partial x_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}
\] (в выдержке она обозначена (6*)). Поэтому со знаком здесь все в порядке. А напоминает формула (6) больше всего известную формулу преобразования производной вектора ( http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/boo ... 965ru.djvu , стр. 384) или же формулу для частной производной сложной функции при поочередном фиксировании пространственных координат (там же, стр. 353).

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение14.04.2008, 15:32 
Заслуженный участник


08/04/08
8462
:shock: :shock: :shock:
Шопенгауэр отдыхает, Ницше в гробу страдает эпилепсией.
Я в дифурах особенно не смыслю, но тоже, как и Azog попробую присосаться к дискуссии - авось за умного примут.
Я попробую резюмировать, хотя бы чисто для себя.
Здесь, кажется, даже без абстракций все очевидно. Вы же сами писали, что обычных средств решения дифуров недостаточно - требуется использование качественных методов и доказательство теорем существования. Следовательно, им надо обучать. Другое дело, что чисто по вероятностным причинам в естественной науке было и останется разделение труда и эту технику осилит не всякий. Поэтому умение обращаться с этой сложной техникой должно достаться специалистам, то есть - математикам, а не физикам. В этом, видимо, отражается высказывание Ландау. А высказывание Дьедонне вообще лишено смысла. Если человеку (чистому математику) лень решать задачу, то отсюда никоим образом не следует, что методы чистой математики не имеют смысла в физике. Вообще, я считаю, что существует тенденция, проявляющаяся в истории открытий, по которой серьезные открытия основываются на математических конструкциях, считающимися чистыми или не имеющими физического смысла. С другой стороны, слова "математик" и "физик" здесь должны обозначать именно то, что от них требуется в контексте. То есть реально "математик" представляется человеком, изучающим и развивающим матаппарат любого типа, только непротиворечивый, а "физик" как человек, использующий как можно более простой аппарат для познания природы. Но здесь сходство с реальностью сразу теряется: будет ли "физиком" тот, который учится на специальность физика? Нет, то же самое в отношении "математика". А почему? Это уже вопрос другого рода, не имеющий отношения к решению дифуров. Большинство может учится ради диплома, ради рабочего места, ради карьеры и т. п..
Есть еще один аспект проблемы. Человеческое сознание не может существовать без знакового аппарата. Поэтому каждая новая математическая конструкция - это новое слово. Только научившись оперировать этим словом, мы поймем его смысл. Наиболее яркий пример - число $i$ - мнимая единица. Она не имеет физического смысла? Но ведь с ней все теории проще. Она сама - новый смысл!
Хотя это все банально а дискуссия уже давно ушла в другое русло...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение16.04.2008, 08:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок
Раз Вы настаиваете, укажу на конкретную ошибку в рассуждении.
В формуле (6), или (6*),
присутствует $u_i$, и по этой компоненте строятся кривые. Для другой компоненты $u_l$ и кривые будут, вообще говоря, другие, и производные одного икса по другому другие. Эта зависимость проигнорирована в формуле (7). Если ее учесть, то Ваше\[ \left( {{{\partial x_i } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}} \right)\left( {{{\partial x_j } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_j } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}} \right) = 1 \]
провисает, если одна производная взята вдоль одной кривой, а другая- вдоль другой--а именно такова ситуация в (7). Если настаиваете на том, что это верно, попробуйте ввести номер компоненты в обозначения и доказать последнее утверждение строго.

 Профиль  
                  
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???
Сообщение18.04.2008, 05:46 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):
Александр Козачок
Раз Вы настаиваете, укажу на конкретную ошибку в рассуждении.
В формуле (6), или (6*),
присутствует $u_i$, и по этой компоненте строятся кривые. Для другой компоненты $u_l$ и кривые будут, вообще говоря, другие, и производные одного икса по другому другие. Эта зависимость проигнорирована в формуле (7). Если ее учесть, то Ваше\[ \left( {{{\partial x_i } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}} \right)\left( {{{\partial x_j } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_j } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}} \right) = 1 \]
провисает, если одна производная взята вдоль одной кривой, а другая- вдоль другой--а именно такова ситуация в (7).

В Ваших абсолютно корректных рассуждениях Вы опустили одну существенную деталь. Все было бы именно так, как Вы утверждаете, но только в том случае, когда $u_i$ и $u_l$ произвольные не взаимосвязанные между собой функции. Возможно, не придав этому значения, Вы не обратили внимания на важную оговорку во второй цитате:

Александр Козачок писал(а):
Для большей строгости доказательства это соотношение, возможно, следует представить в виде \[
F(x_i ,x_j ) = \frac{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}},
\] т.е. вместо компонент скорости записать вектор. И неважно, что мы не знаем выражения для этого вектора, но знаем, что выражение существует. Следовательно, и существует так необходимое нам дифференциальное уравнение (6*) .

Так вот, именно потому, что $u_i$ и $u_l$ являются компонентами вектора, Ваши безупречные рассуждения применительно к рассматриваемой ситуации лишены оснований.

shwedka писал(а):
Если настаиваете на том, что это верно, попробуйте ввести номер компоненты в обозначения и доказать последнее утверждение строго.

Для элементарного доказательства, что это верно, уравнение (6*) лучше всего записать в векторной форме \[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u} \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u} {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\], откуда после перехода к скалярной записи получим два равноправных уравнения: \[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_i } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u_i } {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\] , \[
\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{{{\partial \dot u_j } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u_j } {\partial x_j }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}}}
{{{{\partial \dot u_j } \mathord{\left/
 {\vphantom {{\partial \dot u_j } {\partial x_i }}} \right.
 \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}}}
\]. В результате такого перехода к скалярной записи, поскольку левые части одинаковы, как видите, отпадает необходимость в доказательстве подвергнутого Вами сомнению (провисает) выражения \[ \left( {{{\partial x_i } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_i } {\partial x_j }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_j }}} \right)\left( {{{\partial x_j } \mathord{\left/ {\vphantom {{\partial x_j } {\partial x_i }}} \right. \kern-\nulldelimiterspace} {\partial x_i }}} \right) = 1 \]. Приравняв правые части этих скалярных дифуравнений, сразу же получим неразвернутую запись формул (7) \[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }}\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_i }}
\] , что и подтверждает отсутствие ошибки в моих рассуждениях. Однако следует заметить, что из векторного уравнения фактически вытекает не два, а три скалярных уравнения с одинаковой левой частью. Но третье уравнение, содержащее компоненту с отсутствующим слева индексом, нам здесь не требуется. Оно понадобится далее.
Эта дискуссия лишний раз подтверждает, что мои, казалось бы, предельно детализированные выкладки вполне уместны и даже требуют еще больших подробностей, но все же нуждаются в некоторой перестройке процедуры доказательства. Хотя, я это давно заметил, результаты, в которые сразу трудно поверить, всегда нуждаются в подробнейшем и в более строгом, чем обычно, изложении.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение18.04.2008, 06:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок
Цитата:
уравнение (6*) лучше всего записать в векторной форме

Не пойдет, коллега!!!
Векторы друг на друга делить нельзя!!!
Вы что, не знали???

Попробуйте поделить вектор (1,2,3) на вектор (3,4,5).
Или на (0,1,7).
За такое первокурсников с экзамена выгоняют.


С каким-то натягом, если векtоры коллинеарны, то делить можно,
Вы станете утверждать здесь что векtоры в (6*) коллинеарны????
Тогда надо это доказать.

И, если можно, обойдемся до прояснения этого места без долгих общих рассуждений и взаимных комплиментов.

 Профиль  
                  
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???
Сообщение19.04.2008, 08:25 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):
Александр Козачок
Цитата:
уравнение (6*) лучше всего записать в векторной форме

Не пойдет, коллега!!!
Векторы друга на друга делить нельзя!!!
Вы что, не знали???

Знал. Об этом очень хорошо написано в учебном пособии стр. 23 (см. п.5 списка литературы): «Решение уравнений обычно связано с действием деления, которое в векторном исчислении определяется неоднозначно». Знаю и то, что если очень надо, то находят способ, как в таком случае все-таки получить правильный результат. Примеров таких много. Но обойдемся «без долгих общих рассуждений» по этому поводу.

shwedka писал(а):
Попробуйте поделить вектор (1,2,3) на вектор (3,4,5).
Или на (0,1,7). За такое первокурсников с экзамена выгоняют.

Если кто-то из первокурсников, зная, что нельзя, но все-таки пробует, пытаясь получить правильный результат, то за такое нестандартное мышление, мне кажется, надо ставить пятерку и готовить его в аспирантуру.

shwedka писал(а):
С каким-то натягом, если векtоры коллинеарны, то делить можно,
Вы станете утверждать здесь что векtоры в (6*) коллинеарны????
Тогда надо это доказать..

Давайте сначала вспомним, откуда и почему появилось (6*)? Разумеется, из (6) с целью большей наглядности при попытке придать уравнению (6) смысл обыкновенного дифференциального уравнения. А теперь ситуацию, кажется, осмыслили и можно все возвратить на прежние места, т.е. обыкновенное дифференциальное уравнение записать в исходной, но нетрадиционной и плохо воспринимаемой форме (6). Если к тому же его записать еще и в векторной форме \[
\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\] , то сразу снимаются все вопросы: и формулы (7) получаются после операции деления этих двух скалярных выражений \[
\frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\] , \[
\frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_j }}
{{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }}
{{\partial x_j }}
\] , и проблема с делением векторов исчезает, и, похоже, становится отчетливо видно, что векторы \[
\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_j }},\frac{{\partial \dot u}}
{{\partial x_i }}
\] коллинеарные.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.04.2008, 09:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Цитата:
Если кто-то из первокурсников, зная, что нельзя, но все-таки пробует, пытаясь получить правильный результат, то за такое нестандартное мышление, мне кажется, надо ставить пятерку и готовить его в аспирантуру.

Очень удачно, что Вы (пока) не распоряжаетесь приемом в аспирантуру. Будь Вы медиком, возможно, стали бы награждать студентов, которые, в поисках новых путей, станут искать аппендикс подмышкой.

Вы, между прочим, так и не ответили мне на мой вопрос о делении .
Попробуйте поделить вектор (1,2,3) на вектор (3,4,5).
Или на (0,1,7).

Цитата:
«Решение уравнений обычно связано с действием деления, которое в векторном исчислении определяется неоднозначно».

Полная чепуха. Деление неколлинеарных векторов НИКАК не определено.
Цитата:
А теперь ситуацию, кажется, осмыслили

посмотрим.
Рассмотрим Ваше (6), \[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }}. (6)\]

Обратите внимание, что для определения производной {{\partial x_i }}/ {{\partial x_j }}
используется компонента $u_i$.
Например,
\[ \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2}} = \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1 }}\frac{{\partial x_1 }} {{\partial x_2 }}.(a) \]

Записывая векторную форму
\[ \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }} \]
Вы имеете (а) в качестве первой компоненты этого векторного равенства.
Еще подрдобнее, (а) служит определением производной {{\partial x_1 }} /{{\partial x_2}} вдоль кривой, связанной с $u_1$. С
Посмотрим теперь на вторую компоненту

\[ \frac{{\partial \dot u_2 }} {{\partial x_2}} = \frac{{\partial \dot u_2 }} {{\partial x_1 }}\frac{{\partial x_1 }} {{\partial x_2 }}.(b) \]

Вы утверждаете. что это тоже верно и потом занимаетесь преобразованиями. Но почему (б) верно?? Пока этого не докажете, дальше двигаться нельзя.

По-другому. Производную {{\partial x_1 }} /{{\partial x_2 }} вы определяете с помощью $u_1$, как в (a) . Почему при определении с помощью $u_2$, как в (б), получится то же значение??

 Профиль  
                  
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???
Сообщение24.04.2008, 05:53 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники обсуждения!

shwedka писал(а):
Цитата:
Если кто-то из первокурсников, зная, что нельзя, но все-таки пробует, пытаясь получить правильный результат, то за такое нестандартное мышление, мне кажется, надо ставить пятерку и готовить его в аспирантуру.

Очень удачно, что Вы (пока) не распоряжаетесь приемом в аспирантуру. Будь Вы медиком, возможно, стали бы награждать студентов, которые, в поисках новых путей, станут искать аппендикс подмышкой.

Последнее Ваше сравнение не совсем удачное, поскольку Вы не учли фразу зная, что нельзя. Оно бы подошло, если бы этой фразы не было. И еще. Стать на Вашу позицию означает губить в зародыше потребность постоянно сомневаться и подавить извечную навязчивую мысль будущего исследователя «почему должно быть так, а не иначе?» В конечном итоге это значит при благих намерениях помогать (я Вам настоятельно советую почитатать эту книгу) "плодить так называемых “грамотеев”, т. е. людей, лишенных творческих задатков, но обладающих хорошей памятью и эрудицией. Эти люди в университете получают высокие ученые степени, но потом приносят очень мало пользы…” (Образованный ученый. Пер. с англ.– М.: Наука, 1979 – с. 16, 17, 37–41). Вы же в себе эту характерную черту пытливого исследователя во всем сомневаться, мне кажется, не только не погубили, но и с завидной настойчивостью постоянно проявляете.

Цитата:
Вы, между прочим, так и не ответили мне на мой вопрос о делении .
Попробуйте поделить вектор (1,2,3) на вектор (3,4,5).
Или на (0,1,7).
Цитата:
«Решение уравнений обычно связано с действием деления, которое в векторном исчислении определяется неоднозначно».

Полная чепуха. Деление неколлинеарных векторов НИКАК не определено НИКАК не определено.

Свой ответ я начну с анализа последнего Вашего утверждения и скажу такое: обычное умножение (друг на друга) неколлинеарных векторов тоже НИКАК не определено! Что же касается скалярного и векторного прозведений, то определения удалось достигнуть лишь по соглашению путем использования дополнительной информации о взаиморасположении этих векторов. Эта дополнительная информация хотя и достаточная для доопределения скалярного и векторного прозведений, но далеко не полная, поскольку имеются в виду произвольно ориентированные векторы при заданном угле между ними. Так что же нам мешает использовать какую-то дополнительную информацию с целью доопределить процедуру деления неколлинеарных векторов? Причем доопределить так, чтобы результат сооветствовал каким-то парамерам объектов окружающей действительности. А то, что же получается? В том же учебном пособии написано: «… определяя деление, как действие, обратное умножению, прежде всего нужно рассматривать его отдельно для каждого из приведенных типов произведений. Но даже в простейшем случае скалярного произведения уравнение, определяющее неизвестный вектор x, \[
a \cdot x = m_{} (a \ne 0)
\] имеет бесчисленное множество решений. Аналитически это уравнение определяет лишь одну проекцию неизвестного вектора x на направление вектора a». Утверждая такое, автор пособия почему-то потерял из виду еще один множитель в этом уравнении, обозначенный точкой и означающий косинус угла между векторами. Если исправить эту ошибку, то решение будет единственным, а операцию деления для такого случая, очевидно, можно узаконить. Таким же образом можно доопределить операцию деления, вытекающую из векторного произведения \[
a \times x = m_{} (a \ne 0)
\] , т.е. не следует забывать, что знак векторного произведения – это множитель, означающий синус угла между векторами. Для более сложных случаев, например, для векторно-скалярного произведения следует поступать по аналогии рассмотренным ситуациям, т.е. помнить, что на самом деле представляют собой знаки векторного и скалярного произведений. Если же стоит задача обычного деления неколлинеарных векторов, то для доопределения этой операции необходимо иметь полную информацию об их происхождении и лишь после этого разыскивать необходимый результат. Ну, скажем, примерно так, как с помощью дополнительной информации исследуют ситуацию с раскрытием неопределенности при делении ноль на ноль, не находя в этом ничего запретного. Эта идея, как оказалось, многими обсуждается и в чем-то уже как-то реализована. Насколько корректно, судите сами: http://otvet.mail.ru/question/6913401/
http://people.ulstu.ru/~tll/d_Math3d.htm
http://www.prr.ru/Papers/analyze.doc
http://window.edu.ru/window_catalog/fil ... majkin.pdf
http://www.ssc.smr.ru/ftp/odud/data/dyn_doc.htm
http://granitnauki.narod.ru/forum.html_id5page178.htm
http://cityref.ru/prosmotr/11520-1480.htm
http://forum.fizteh.ru/phystech/m_1kv/m ... _3mnu.html Полагаю, что после этого разъяснения вряд ли следует, если Вы не настаиваете, обсуждать первый вопрос о делении.

Цитата:
Рассмотрим Ваше (6), \[ \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u_i }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }}. (6)\]

Обратите внимание, что для определения производной {{\partial x_i }}/ {{\partial x_j }}
используется компонента $u_i$.
Например,
\[ \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_2}} = \frac{{\partial \dot u_1 }} {{\partial x_1 }}\frac{{\partial x_1 }} {{\partial x_2 }}.(a) \]

Записывая векторную форму
\[ \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }} \]
Вы имеете (а) в качестве первой компоненты этого векторного равенства.
Еще подрдобнее, (а) служит определением производной {{\partial x_1 }} /{{\partial x_2}} вдоль кривой, связанной с $u_1$. С
Посмотрим теперь на вторую компоненту
\[ \frac{{\partial \dot u_2 }} {{\partial x_2}} = \frac{{\partial \dot u_2 }} {{\partial x_1 }}\frac{{\partial x_1 }} {{\partial x_2 }}.(b) \]
Вы утверждаете. что это тоже верно и потом занимаетесь преобразованиями. Но почему (б) верно?? Пока этого не докажете, дальше двигаться нельзя. По-другому. Производную {{\partial x_1 }} /{{\partial x_2 }} вы определяете с помощью $u_1$, как в (a) . Почему при определении с помощью $u_2$, как в (б), получится то же значение??

Это тоже верно и вот почему. Из векторной записи уравнения следует, что оба вектора линейно зависимые и поэтому коллинеарные. Скаляр в качестве коэффициента при векторе справа останется одним и тем же скаляром при переходе к покомпонентной записи, т.е. и в (a), и (b). Таковы общепринятые нормы векторного анализа. Или может быть по-Вашему эти нормы ошибочны? Если да, то в таком случае следует поставить под сомнение сохранение неизменными коэффициентов- скаляров при переходе к покомпонентной записи любого векторного уравнения. Однако второй вариант доказательства (в п.3), построенный на убедительной аналогии, свидетельствует только в пользу упомянутых норм. Поэтому такие сомнения нельзя признать достаточно весомыми.

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение24.04.2008, 08:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3536
Швеция
Александр Козачок
Цитата:
Из векторной записи уравнения следует, что оба вектора линейно зависимые и поэтому коллинеарные. Скаляр в качестве коэффициента при векторе справа останется одним и тем же скаляром при переходе к покомпонентной записи, т.е. и в (a), и (b).

Ровно наоборот!!!
Из записи уравнения в какой-либо форме ничего не следует, пока не доказано, что уравнение верно. То есть, ПОСЛЕ того, как вы докажете равенство в каждой компоненте, можно писать уравнение в векторной форме.
Так что опять, в который раз, я призываю Вас ДОКАЗАТЬ, что уравнение
\[ \frac{{\partial \dot u}} {{\partial x_j }} = \frac{{\partial \dot u }} {{\partial x_i }}\frac{{\partial x_i }} {{\partial x_j }}. \]
выполнено. В каждой компоненте!!
Если Вы ссылаете к п.3, то так и признайтесь, что исходное рассуждение недостаточно, зафиксируем это, и пойдем в п.3. Будем разбираться с ним отдельно.

 Профиль  
                  
 
 MILLENNIUM PRIZE PROBLEM или бесплодная игра разума???
Сообщение27.04.2008, 06:49 


04/04/06
324
Киев, Украина
Глубокоуважаемые Участники обсуждения, ХРИСТОС ВОСКРЕС!

Я надеюсь, что это Святое Имя для всех живущих на земле будет на протяжении всей жизни вдохновлять Вас на то, чем Вы с таким энтузиазмом занимаетесь на этом форуме, приобщая к новым знаниям всех желающих их приобрести. От всей души желаю Вам крепкого здоровья и творческого вдохновения! А теперь по существу:

shwedka писал(а):
Если Вы ссылаете к п.3, то так и признайтесь, что исходное рассуждение недостаточно, зафиксируем это, и пойдем в п.3. Будем разбираться с ним отдельно.

А здесь и признаваться не в чем. И так все видно! Если бы я с самого начала не сомневался в бесспорности этого доказательства, то, вероятно, не занимался бы изнурительными поисками дополнительного обоснования для формул (6), которое изложено в п.3. Так что, действительно, давайте посмотрим, насколько убедительно это обоснование. Что касается остального в Вашем послании, то я обязан заметить, что Вы затронули необычайно важный вопрос, который мы вскоре обсудим. Успехов Вам и творческого задора в дискуссиях!

С уважением, Александр Козачок

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 330 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 22  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group