Глубокоуважаемые участники дискуссии!
shwedka писал(а):
Полистала я вашу книжку.
1. О математике. тот факт, что недостаточное согласование начальных и граничных данных у эволюционного уравнения влечет особенности решений и недостаточную сходимость рядов типа Фурье - обще- и давно известно. Даже в элементарном учебнике, 30-летней давности, по которому я учу своих шведских студентов сей вопрос разбирается и результаты считаются фольклорными. Так что никаких парадоксов, науке ранее не известных, Вы не открыли. Явление, интерпретация, борьба с особенностями- общее место
Посмотрите внимательно эту выдержку из учебного пособия (стр. 79-82), и Вы убедитесь, что моя позиция, если не обращать внимания на акценты, совпадает с Вашей. Но проблема эта имеет глубокие исторические корни и намного серьезнее, чем вытекает из Вашего комментария:
1.7. Исторические корни математических парадоксов
и физически бессмысленных точных решений классических задач"Ключ к объяснению упомянутых выше математических недоразумений, по-видимому, следует искать прежде всего в особенности поведения рядов Фурье на границах области сходимости, где исходная функция и представляющий ее ряд иногда, особенно с учетом явления Гиббса [24, стр. 494–497], имеют различные значения. К сожалению, на это обстоятельство почему-то очень редко обращают внимание. В результате, как мы уже видели, решения многих задач, полученные методом Фурье, оказались фактически непригодными для практического применения. Несогласованные, т. е. фактически разрывные, краевые условия, привели в нашем случае к своеобразному динамическому решению, к которому, как почему-то оказалось, можно перейти и от статического решения (1.6.8). Этот переход выполнен общепринятым [6, стр. 95; 13, стр. 244], но, скорее всего, некорректным способом, без надлежащего анализа областей сходимости рядов и их производных, которые могут и не совпадать. С физической точки зрения подобный переход бессмысленный…. Примечательно, что именно такого рода физические абсурды присущи решениям тех классических задач, при постановке которых принимались или несогласованные, или разрывные, или недифференцируемые требуемое число раз начальные условия. В этом перечне находится большинство задач о колебаниях струны, стержня, мембраны.
Возникает законный вопрос: почему же все-таки в упомянутых задачах нарушено, а, может быть, и проигнорировано общепринятое с незапамятных времен правило о непрерывности и дифференцируемости требуемое число раз функций, используемых для описания начальных и граничных условий.Причем в некоторых современных учебных пособиях это правило считается необязательным [19, стр. 43], а решения, найденные в таких случаях, получили название обобщенных [6, стр. 63], хотя хорошо известно [6, стр. 63, 88], и это мы уже видели на примере (1.6.8), что решения в классическом смысле не существует. Что же касается обобщенных решений, а в рассмотренных в п. п. 1.6.1–1.6.4 примерах они действительно являются таковыми, то их наглядная физическая интерпретация с соответствующими комментариями уже продемонстрирована на рис. 1.4, 1.6, 1.8. Но, к сожалению, эта картина ранее никем не была замечена (а может быть, только не освещена в публикациях), и поэтому рассмотренные выше решения, причисленные к разряду точных, заняли первые места среди типовых учебных задач, как классические.
Причина создавшегося положения имеет глубокие исторические корни, уходящие к середине 18 века, и связана с фактически незавершенным длительным «спором о струне»между Даламбером и Эйлером [25, стр. 150–155]. К этой дискуссии в дальнейшем подключились Бернулли Д. и Лагранж. «Даламбер считал, что при произвольной начальной форме струны решать задачу нельзя: требуется гладкость струны, ввиду того что решение должно быть дважды дифференцируемым» [25, стр. 151]. Эйлер не соглашался с Даламбером относительно произвольных функций, входящих в решение уравнения (имеется в виду (1.4.7)). Он рассуждал так: начальная форма струны может быть любой, представлять кривую, начерченную «свободным влечением руки», поэтому можно задавать начальное положение не одним, а несколькими выражениями и даже разрывной функцией [25, стр. 150].
Такие взаимоисключающие точки зрения Даламбера и Эйлера в конечном итоге привели к тому, что в современной учебной литературе появились несовместимые выводы, процитированные ниже, а именно: «функция u(х, t)… только тогда будет решением уравнения, когда у нее существуют вторые производные по х и по t. Для этого функция u(х, 0) = f(х) должна иметь вторую производную, а функция du/dt(x,0)=F(x) – первую. Между тем часто приходится рассматривать задачи, в которых функции f(х) и F(х) не удовлетворяют указанным условиям… Во всех таких случаях функцию u(х, t)… мы все равно считаем решением задачи… Учитывая это замечание, мы в дальнейшем при рассмотрении примеров никогда не будем требовать, чтобы начальные условия обязательно удовлетворяли условиям непрерывности и дифференцируемости» [19, стр. 42–43]. Аналогичное, хотя и менее категоричное суждение по этому поводу имеется в работе [6, стр. 63]. Такого рода сомнительные выводы в авторитетных учебных пособиях нельзя, однако, относить исключительно на счет авторов этих пособий, поскольку они, вероятно, сформировались на протяжении столетий и отражают попытку нескольких поколений математиков объединить полярные точки зрения своих выдающихся предшественников – Даламбера и Эйлера. К чему такая попытка в конечном итоге привела, мы уже видели на наглядных примерах, представленных в п. п. 1.6.1–1.6.4.
С учетом изложенного, напрашивается очевидный вывод о необходимости пересмотра так называемых точных решений многочисленных классических задач, что в большинстве случаев означает иную, более корректную, их постановку, а фактически – и решение совершенно новых задач."
Итак, глубокоуважаемая Shwedka, как видите. фольклорные результаты, на которых Вы учите своих шведских студентов, все-таки базируются на позиции Даламбера- физика, а не на позиции Эйлера-математика. Но на практике получается ПАРАДОКС: при постановке конкретных задач о позиции Даламбера- физика или забывают, или сознательно ею (см. цитату в выдержке) пренебрегают, и становятся на позицию Эйлера-математика. Причем, это делают повсеместно и физики, и математики, а полученные абсурдные результаты «во всех таких случаях… мы все равно считаем решением задачи» и называем их обобщенными решениями. А делается это, скорее всего, по причине, которая, хотя и с юмором, но весьма удачно представлена в этой цитате:
bot писал(а):
Echo-Off писал(а):
А интеграл от неё - поди ж ты - равен 0!
Сказал физик: - Хочу, да ещё и восклицательный знак поставил, а чтоб математикам этот знак в нужное место поставить - потрудиться пришлось.
Посмотрите WWW участника bot и Вы убедитесь, что комментарий с юмором для расслабления появился здесь не случайно.
Поскольку при дальнейшем цитировании по шаблону необходимо дробить Ваши комментарии на отдельные предложения, то с целью сохранения связности, компактности и облегчения чтения я буду вставлять
свои ответы
жирным шрифтом в требуемые места каждого из Ваших комментариев 2 и3:
shwedka писал(а):
(в скобках ответы)
2. О механике. Трудно спорить с приближенными моделями. Каждая имеет свою область применимости. - (Согласен). Ваше изложение скучно и ориентировано на конкретные задачи. – (Возможно). Вы не предлагаете общего метода вывода уравнений, годного для широкого класса систем, а сражаетесь с каждой отдельной системой. – (В обсуждаемом нами разделе учебного пособия за исключением вывода нового уравнения колебаний струны /стр. 44-47/ рассматривается только классическое волновое уравнение и некоторые, вошедшие в учебники, задачи для него). С моей , математика, точки зрения следует начинать с наиболее общего уравнения, а потом, в зависимости от размаха рассматриваемых величин чем-то пренебрегать, линеаризовывать и тп. Иначе говоря, нужно так рано, как только возможно, уходить от механики и заниматься только математическими манипуляциями. – (Вот давайте попробуем все вместе с учетом моего /в предыдущем сообщении/ предложения реализовать эту Вашу идею и создадим на этом форуме первый и очень нужный коллективный труд). В целом Ваше творение выглядит неубедительно, в частности, говоря о якобы парадоксах, возникающих в 'традиционном' подходе и отсутствующих в Вашем, Вы не смогли привести убедительных примеров, где расчеты по разным моделям сравниваются с экспериментом. – (А Вы обратите внимание на задачи, представленные на стр. 98-118. Их решения не содержат упомянутых физических и математических недоразумений-«парадоксов»).
shwedka писал(а):
(
в скобках ответы)
3. Относительно Навье-Стокса. Математиков, знаете ли, не особенно волнует соответствие уравнения 'природе'. УНС оказались увлекательной математической задачей .-
(Не спорю и даже пишу о том же во вводной части статьи – ссылка на WWW «Шестая проблема тысячелетия (Millennium Problems) разрешима классическими методами».). То, что Вы из каких-то своих соображений изменили УНС –
(А разве предельно прозрачное математическое доказательство, причем, несколькими способами этих, основанных на очевидной аналогии, моих соображений некорректно?) и сделали математичекую задачу тривиальной,- (
Вот это уже признание! Причем, первое и очень смелое!) математиков ни в малейшей степени не интересует.-
(Вот здесь Вы ошибаетесь. Интересует и даже очень. Посмотрите по этому поводу http://terrytao.wordpress.com/2007/03/1 ... ment-26446 , дословно в начале страницы 1.Exact and explicit solutions (or at least an exact, explicit transformation to a significantly simpler PDE or ODE 2…). Хочется все же отметить многочисленные успехи УНС в расчетах, в частности, турбулентных течений. Можете ли Вы похвастаться такими расчетными успехами в своей измененной модели? –
(«Моя измененная модель» по своим возможностям описания реалий ничем не отличается от обычных уравнений Навье-Стокса, поскольку представляет собой всего лишь их корректное преобразование. А что касается реалий, то Вы, активная участница обсуждения http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=101756#101756 , должны о них вспомнить из сообщения Руста)
С уважением, Александр Козачок