Yarkin писал(а):
Почему существование решения д. у. доказывают, а алгебраических уравнений - нет и т. д.?
См. теорему Гильберта о нулях. Она, правда, доказывается только для алгебраически замкнутых полей, а вас, судя по приведённому Вами примеру

интересуют решения уравнений над кольцом

. Этим занимается теория чисел, и много умных дяденек написали много умных книжечек на эту тему.
Кстати, доказано, что не существует алгоритма, который устанавливал бы, имеет ли данное уравнение решения в целых числах, так что имейте это ввиду.