Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[whitefox]

Someone в сообщении #1138622 писал(а):

В другой интерпретации значения истинности могут быть другими, но набор высказываний остаётся тем же самым.

Не могли бы Вы пояснить о чём здесь речь? На моём примере разных интерпретаций одной и той же формулы:

whitefox в сообщении #1138386 писал(а):

формулу $P(a)$ можно интерпретировать как "Два чётное число" и как "Берлин столица Франции"

Следует ли понимать так, что в первой интерпретации набор высказываний включает также и высказывание "Берлин столица Франции"? А во второй интерпретации в набор высказываний включено также и высказывание "Два чётное число"?

[Someone]

Ну нет.
В нашей теории есть одноместный предикат $P$ и константа $a$. В одной интерпретации предикат $P$ мы проинтерпретировали как "чётное число", а константу $a$ — как число $2$. В другой же интерпретации $P$ означает "столица Франции", а $a$ — "Берлин".
Таким образом, формула $P(a)$ в одной интерпретации является истинной, а в другой — ложной.

Когда математик работает с формальной теорией, ему не обязательно иметь в виду какую-либо интерпретацию (точнее, модель). Конкретная модель может быть полезна из эвристических соображений, но не более. При заданной интерпретации каждой формуле соответствует одно высказывание в вашем смысле, и никаких других высказываний нет. Поскольку интерпретация роли не играет, я спокойно могу считать, что высказывания и формулы — это одно и то же. При этом я не отказываю философам в праве различать формулы и то, что получается из них в результате интерпретации.

[whitefox]

Someone в сообщении #1138642 писал(а):

При этом я не отказываю философам в праве различать формулы и то, что получается из них в результате интерпретации.

Спасибо за разъяснение Вашей позиции. Я сниму своё возражение, если к своему утверждения:

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

высказывания определяются чисто синтаксически

Вы сделаете примечание: "при не философском понимании термина высказывание".

[Someone]

whitefox в сообщении #1138644 писал(а):

Someone в сообщении #1138642 писал(а):

При этом я не отказываю философам в праве различать формулы и то, что получается из них в результате интерпретации.

Спасибо за разъяснение Вашей позиции. Я сниму своё возражение, если к своему утверждения:

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

высказывания определяются чисто синтаксически

Вы сделаете примечание: "при не философском понимании термина высказывание".

Прошу прощения, но философию привлекли Вы сами. Когда я писал, я не имел в виду ничего, кроме математики. И не имею ни малейшего желания рассуждать на философские темы. А также не хотел бы, чтобы философы указывали мне, как я должен понимать математические определения.

[whitefox]

Someone в сообщении #1138651 писал(а):

но философию привлекли Вы сами

Отнюдь, Вы оспорили философское определение термина высказывание с якобы математических позиций.

Someone в сообщении #1138651 писал(а):

Когда я писал, я не имел в виду ничего, кроме математики.

Верю, поэтому и возразил. Философские определения нужно оспаривать с философских позиций, а математически — с математических. А если не понятно какого рода определение, то нужно было уточнить, что Вы предполагаете определение математическим, а потому и оспариваете его с математической позиции.

Someone в сообщении #1138651 писал(а):

как я должен понимать математические определения

Вы о математическом определении термина высказывание? А оно есть? Ведь цитату с таким определением Вы так и не привели.

[Someone]

whitefox в сообщении #1138655 писал(а):

Отнюдь, Вы оспорили философское определение термина высказывание с якобы математических позиций.

whitefox в сообщении #1138655 писал(а):

А если не понятно какого рода определение

Ещё раз извините, но здесь математический раздел, и философские определения здесь неуместны. По меньшей мере без явного предупреждения.
Я уже сказал, что философы могут пользоваться своими определениями, а вносить какие-либо изменения в предыдущие сообщения считаю не целесообразным.

[whitefox]

Someone в сообщении #1138658 писал(а):

Ещё раз извините, но здесь математический раздел, и философские определения здесь неуместны.

Это Вы меня извините. Раздел действительно математический, так что моё требование

whitefox в сообщении #1138655 писал(а):

А если не понятно какого рода определение, то нужно было уточнить, что Вы предполагаете определение математическим

было неуместно.

[Someone]

Будем считать инцидент исчерпанным.

Е. Расёва, Р. Сикорский. Математика метаматематики. "Наука", Москва, 1972.

Термин "высказывание" я в ней вообще не нашёл; есть термины "формула", "предложение" и "пропозициональная функция" (глава V). Второй термин обозначает формулу без свободных переменных и считается частным случаем третьего. "Пропозициональная функция" — в том смысле, что формула $\varphi$ определяет функцию из множества $J^n$ в множество значений истинности ($J$ — множество индивидов в области интерпретации, $n$ — количество свободных переменных в формуле).

С. К. Клини. Математическая логика. "Мир", Москва, 1973.

В параграфе 1 определяются формулы (чисто синтаксически). В параграфе 2 речь идёт о моделях. Здесь появляется термин "высказывание", но далее он употребляется вперемешку с термином "формула" и явно считается синонимом (отдельного определения нет).

В других книгах можно найти какую-нибудь другую терминологию.

[epros]

whitefox в сообщении #1138607 писал(а):

Someone в сообщении #1138596 писал(а):

То определение, которое Вы цитируете, не противоречит современному.

Именно это я и утверждаю:

whitefox в сообщении #1138573 писал(а):

Другие же дают определение аналогичное аристотелевскому, и используют его не как синоним формулы.

Поскольку не существует современного определения, согласно которому высказывание было бы не синонимом формулы, получается, что Вы всё же утверждаете совсем не это.

Кстати, когда я просил Вас привести примеры таких траковок понятия высказывания, Вы привели несколько цитат, ни одну из которых невозможно трактовать как такое определение.

whitefox в сообщении #1138607 писал(а):

У меня же только одна претензия — против использования в синтаксисе термина высказывание, в семантике — ради бога.

Постараюсь ещё раз вкратце донести до Вас те мысли, которые безуспешно пытался донести предыдущим десятком постов:
1. Термин "высказывание" является достаточно широко употребляемым как минимум со времён Аристотеля (хотя тот говорил по гречески и, строго говоря, употреблял другие слова). И поскольку он имеет какой-то смысл, Вы не можете запретить его использование, в том числе и применительно к формальным теориям.
2. Применительно к формальным теориям ни одна из потыток траковать высказывание иначе, как синоним формулы, не удалась.

Все прочие рассуждения про разного рода "философские определения" или про "семантику" - просто неуместны.

[whitefox]

epros
Спасибо за Ваш комментарий, но он совершенно излишен.
Так как я уже согласился снять своё возражение в обмен всего лишь на одну цитату:

whitefox в сообщении #1138607 писал(а):

И эту претензию я сниму если Вы приведёте цитату хотя бы из одного автора о том, что высказывание является синонимом формулы.

Просто приведите её.

epros в сообщении #1138762 писал(а):

не существует современного определения, согласно которому высказывание было бы не синонимом формулы

Цитату с таким определением приведёте?

epros в сообщении #1138762 писал(а):

Вы привели несколько цитат, ни одну из которых невозможно трактовать как такое определение.

Именно поэтому я их привёл, что они опровергают Ваш тезис о "чисто синтаксическом определении термина высказывание". Теперь Ваша очередь привести цитату с таким "чисто синтаксическим определением".

Постараюсь ещё раз вкратце донести до Вас ту мысль, которую безуспешно пытался донести предыдущим десятком постов:
1. Термин "высказывание" является достаточно широко употребляемым как минимум со времён Аристотеля (хотя тот говорил по гречески и, строго говоря, употреблял другие слова). Вы можете дать ему другое определение ("чисто синтаксическое"), за что, по Вашем же словам, будете подвергнуты суровой и справедливой критике:

epros в сообщении #1138406 писал(а):

А вот примеры того, когда слову "высказывание" придумывается другое определение, по-моему как раз заслуживают хорошей трёпки критики.

2. Применительно к формальным теориям никакого "чисто синтаксического определения термина высказывание" не существует. Не согласны — приведите цитату с таким определением.

Повторюсь: я возражаю против следующего утверждения

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

высказывания определяются чисто синтаксически

Вот и приведите пример такого "чисто синтаксического определения". А все прочие рассуждения — неуместны.

[epros]

whitefox в сообщении #1138764 писал(а):

epros
Спасибо за Ваш комментарий, но он совершенно излишен.

Он не излишен, ибо он как раз про то, что Вы должны

whitefox в сообщении #1138764 писал(а):

снять своё возражение

(как необоснованное) без всяких условий.

whitefox в сообщении #1138764 писал(а):

epros в сообщении #1138762 писал(а):

не существует современного определения, согласно которому высказывание было бы не синонимом формулы

Цитату с таким определением приведёте?

Я не могу привести пример несуществующего определения. Если Вы намерены оспорить моё утверждение о несуществовании, то это Вы должны приводить пример определения.

whitefox в сообщении #1138764 писал(а):

epros в сообщении #1138762 писал(а):

Вы привели несколько цитат, ни одну из которых невозможно трактовать как такое определение.

Именно поэтому я их привёл, что они опровергают Ваш тезис о "чисто синтаксическом определении термина высказывание".

Не опровергают. И Вам было неоднократно об этом сказано, в том числе, и в только что процитированном Вами предложении.

whitefox в сообщении #1138764 писал(а):

Вы можете дать ему другое определение ("чисто синтаксическое"), за что, по Вашем же словам, будете подвергнуты суровой и справедливой критике:

Не буду я подвергнут за это никакой критике, потому что (ещё раз) никакого "того самого" определения не существует, так что "синтаксическое" определение не является "другим".

whitefox в сообщении #1138764 писал(а):

2. Применительно к формальным теориям никакого "чисто синтаксического определения термина высказывание" не существует. Не согласны — приведите цитату с таким определением.

Высказывание определяется как синоним замкнутой формулы. Такое определение существует (ибо только что предъявлено), независимо от того, нашли Вы его у каких-то авторов или нет.

[Someone]

Жил-был царь, у царя был двор, на дворе был кол, на колу мочало; не сказать ли с начала?

[whitefox]

Someone
Вторую серию начал не я.
epros
Цитату значит не нашли.

[Someone]

whitefox в сообщении #1138772 писал(а):

Вторую серию начал не я.

Вы. После того, как Вам всё разъяснили и привели примеры из литературы, Вы начинаете всё с самого начала.

[whitefox]

Someone в сообщении #1138774 писал(а):

привели примеры из литературы

подтверждающие мои слова (я зная, что Вы с этим не согласны, можете не комментировать).

Предлагаю всем остаться при своём мнении. Ибо переубедить друг друга нам не удастся.