Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[Mihr]

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

и исключена возможность формулировать высказывания о высказываниях

В логике первого порядка или вообще?

[Someone]

В логике первого порядка. Про "вообще" не знаю, но такая возможность является в высшей степени опасной.
Стандартно для высказываний о высказываниях используется метаязык.

[Mihr]

Someone, ОК, спасибо за ответ.

[whitefox]

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

Нет, высказывания определяются чисто синтаксически.

Имхо, полезно различать высказывания и формулы, и именно последние определять синтаксически. Высказыванием же формула становится только при её интерпретации. И в разных интерпретациях одна и та же формула будет представлять разные высказывания.

[Someone]

whitefox в сообщении #1138224 писал(а):

полезно различать высказывания и формулы

Не припомню, чтобы когда-нибудь встречал такое различение.

[whitefox]

Войшвилло "Символическая логика" стр. 18 писал(а):

замкнутый терм и замкнутая формула в результате применения операции $D\varphi$ должны превращаться соответственно в имя некоторого предмета из $D$ и высказывание

Здесь $D\varphi$ — интерпретация.

[ProPupil]

По Тарскому этот парадокс довольно легко разрешить.

высказывание,записанное на данной карточке, ложно.

Определим предложение 'P = "высказывание,записанное на данной карточке, ложно". (с кавычками). Тогда критерий истинности будет звучать так.
Предложение 'P истинно тогда и только тогда, когда высказывание,записанное на данной карточке, ложно.

Если предложение 'P истинно, то в силу критерия высказывание, записанное на данной карточке, ложно. Но тогда высказывание, записанное на данной карточке, должно быть истинным.

Следовательно, из истинности 'P следует истинность высказывания, записанного на данной карточке.

Наоборот, если высказывание, записанное на данной карточке истинно, то оно должно быть ложным, и в силу критерия 'P должно быть истинным.

Таким образом, у нас есть два высказывания: "Предложение 'P истинно тогда и только тогда, когда высказывание,записанное на данной карточке, ложно" и "Предложение 'P истинно тогда и только тогда, когда высказывание,записанное на данной карточке, истинно."

Пользуясь транзитивностью отношения "тогда и только тогда", мы получаем

высказывание,записанное на данной карточке, истинно тогда и только тогда, когда высказывание,записанное на данной карточке, ложно, т. е. мы получаем логический аналог a priori неверного утверждения 1=0.

Следовательно, предложение 'P не является истинным. С другой стороны, точно так же можно показать, что 'P не является ложным.

Поэтому правильный ответ таков: 'P не является ни истинным, ни ложным.

[whitefox]

ProPupil в сообщении #1138368 писал(а):

'P не является ни истинным, ни ложным.

Если согласиться с Аристотелем, что всякое высказывание либо истинно, либо ложно (tertium non datur), то из процитированного следует — 'P высказыванием не является.

[Someone]

whitefox в сообщении #1138236 писал(а):

Войшвилло "Символическая логика" стр. 18 писал(а):

замкнутый терм и замкнутая формула в результате применения операции $D\varphi$ должны превращаться соответственно в имя некоторого предмета из $D$ и высказывание

Здесь $D\varphi$ — интерпретация.

Войшвилло — философ, а у философов свой подход к логике.
В математике же формальная теория не зависит от интерпретации, поэтому надобности в упоминании интерпретации нет. Соответственно, термины "формула" и "высказывание" означают одно и то же.

[whitefox]

Someone в сообщении #1138375 писал(а):

Войшвилло — философ, а у философов свой подход к логике.

Знал, что Вы это скажите.

Тем не менее, большинство "математических логиков" предпочитают либо вообще не пользоваться термином высказывание (заменяя его формулой), либо последовательно разделяют использование терминов формула и высказывание (применяя последний только к интерпретированным формулам, даже если явно и не упоминают о таком различении).

Теперь Ваша очередь приводить пример обратного.

[epros]

whitefox в сообщении #1138224 писал(а):

Имхо, полезно различать высказывания и формулы, и именно последние определять синтаксически. Высказыванием же формула становится только при её интерпретации. И в разных интерпретациях одна и та же формула будет представлять разные высказывания

По-моему, это неудачная терминология. Обычно высказыванием именуется замкнутая формула (без свободных переменных). Иногда "высказывание" и "формулу" считают синонимами, потому что на свободных переменных можно по умолчанию подразумевать квантор всеобщности. Т.е. понятие высказывания - чисто синтаксическое и независимо не только от интерпретаций, но и от аксиоматики (включая логическую).

Что касается интерпретаций, то их необходимость, вообще-говоря, специфична для классической логики. Возможны логики, в которых ничего, кроме грамматики языка и выводимости из некоторой аксиоматики не рассматривается, а понятие интерпретации не используется. А чтобы интерпретация ещё и определяла является ли формула высказыванием, про такое я впервые слышу.

whitefox в сообщении #1138236 писал(а):

Войшвилло "Символическая логика" стр. 18 писал(а):

замкнутый терм и замкнутая формула в результате применения операции $D\varphi$ должны превращаться соответственно в имя некоторого предмета из $D$ и высказывание

Здесь $D\varphi$ — интерпретация.

Отсюда непонятно, может ли некая интерпретация "превратить" некую замкнутую формулу в НЕ высказывание. Если не может, то к чему эта эквилибристика с понятиями? Если нечто было высказыванием "синтаксически", то оно же является им и "семантически".

-- Вс июл 17, 2016 12:01:08 --

Кстати, вот это:

whitefox в сообщении #1138236 писал(а):

Войшвилло "Символическая логика" стр. 18 писал(а):

замкнутый терм ... в результате применения операции $D\varphi$ должныен превращаться ... в имя некоторого предмета ...

тоже звучит очень странно. Ибо интерпретация превращает терм не в "имя", а в сам предмет (элемент множества, именуемого "домен"). Причём:
А) Соответствие между термами и предметами не взаимно однозначно.
Б) Многие предметы могут не иметь никаких "имён", то бишь в качестве его имени и будет выступать тот самый терм, который, между прочим, может иметь очень сложную структуру, т.е. может вовсе не являться константой в языке теории.

[whitefox]

epros в сообщении #1138379 писал(а):

Если не может, то к чему эта эквилибристика с понятиями?

Имхо, смысл этой эквилибристики в том, что не интерпретированная формула не имеет ни смысла, ни истинностного значения (если это не тавтология либо её отрицание), как справедливо было замечено:

Someone в сообщении #1138193 писал(а):

высказывания определяются чисто синтаксически. Приплетать сюда какой-то смысл или значение истинности нельзя, потому что ни того, ни другого нет, пока нет интерпретации

В то время как интерпретированная формула всё это приобретает. И если считать формулу тождественной высказыванию, то это какое-то не правильное тождество. Во всяком случае, оно не обладает транзитивностью, так как одна и та же формула может иметь не тождественные интерпретации, например, формулу $P(a)$ можно интерпретировать как "Два чётное число" и как "Берлин столица Франции".

[Xey]

whitefox в сообщении #1138369 писал(а):

'P высказыванием не является.

Уже обращал внимание, что высказывания на карточке нет, есть высказывание о высказывании и есть ссылка на высказывание -"записанное на данной карточке", но эта ссылка пуста.
Если вместо этой пустой ссылки подставить какое-нибудь высказывание, то путаницы нет.
Например. Высказывание , мама мыла раму , ложно.

[epros]

Относительно же того, почему фраза "Данное высказывание ложно" не является высказыванием даже в чисто синтаксическом смысле, я могу сказать следующее. Грамматика естественного языка не позволяет однозначно интерпретировать словосочетание "Данное высказывание" именно как данное высказывание (т.е. нет правила, позволяющего подставить данное высказывание вместо данного словосочетания, например вот так: "Высказывание "Данное высказывание ложно" - ложно"). Поэтому в лучшем случае всё, что мы можем сделать, это подставить вместо этого словосочетания слова "Некоторое высказывание" , что не сделает данную фразу противоречивым высказыванием.

[Someone]

whitefox в сообщении #1138386 писал(а):

одна и та же формула может иметь не тождественные интерпретации

И пусть себе. Какое дело формальной теории до того, как её кто-то интерпретирует, и даже до того, является ли эта интерпретация моделью? Для теории важна только выводимость, а она от интерпретации не зависит.
Ну, самому математику, как правило, полезно иметь в виду какую-нибудь модель. Для наглядности.

Xey в сообщении #1138388 писал(а):

Уже обращал внимание, что высказывания на карточке нет

Там есть высказывание "Высказывание, записанное на данной карточке, ложно". А "Высказывание, записанное на данной карточке" — это терм, то есть, имя данного высказывания.

epros в сообщении #1138389 писал(а):

Грамматика естественного языка не позволяет однозначно

Ну, в естественном языке полно таких неоднозначностей, которые приходится разрешать по контексту.