Решение парадокса лжеца (+ парадокс Рассела)

[ArshakA]

Вступление

В рамках классической логики выражения вроде $ 0=1 ,\, 1 \wedge 1 = 0 ,\, 0 \Leftrightarrow 1 = 1 $ и т.п. парадоксами не считаются. Это просто не верные (ложные) утверждения. Если в ходе решения задачи мы получили нечто подобное это значит, что условия задачи противоречивы. Но это не означает, что система (в которой сформулирована эта задача) содержит какие-либо противоречия.


Построение формулы согласия

Далее по тексту "правдец" (да простят меня литераторы) - означает правдивый человек.

Прежде чем приступить к самому парадоксу необходимо выяснить: каким образом от истинности утверждения (истина/ложь) и типа человека (правдец/лжец) зависит его согласие с этим утверждением. Докажем что для данного утверждения $a$, типа человека $A$ ($A=1$ если человек правдец, и $A=0$ если он лжец. Таким образом $A$ эквивалентно утверждению : данный человек правдец ) и согласия $s$ ($s=1$ если человек соглашается с утверждением, а $s=0$ если он его отрицает. Таким образом s эквивалентно утверждению : данный человек согласился с данным утверждением ) выполняется следующая формула $a \Leftrightarrow A = s $ . Имеем четыре очевидных случая:
1)С истинным утверждением правдец соглашается (при $a=1$ и $A=1$ получаем $s=1$)
2)С истинным утверждением лжец не соглашается (при $a=1$ и $A=0$ получаем $s=0$)
3)С ложным утверждением правдец не соглашается (при $a=0$ и $A=1$ получаем $s=0$)
4)С ложным утверждением лжец соглашается (при $a=0$ и $A=0$ получаем $s=1$)
Записав результаты рассмотренных случаев в таблицу истинности видим, что она совпадает с таблицей истинности для эквиваленции. Итак $a \Leftrightarrow A = s $ , что и требовалось доказать.

Парадокс лжеца

По условию парадокса (точнее одной из его многочисленных интерпретаций) человек утверждает : я лжец. Необходимо определить кто он: правдец или лжец? Запишем условие задачи в вышеописанных обозначениях:
a=данный человек лжец (это само утверждение);
A=данный человек правдец (это утверждение эквивалентое типу человека как было показано выше);
s=1 (т.к. по условию он соглашается с данным утверждением (точнее сам его выдвигает , но это тоже самое ) ).
Теперь заметим что $a=\neg A$ (рассмотрев в уме два возможных случая и мысленно составив таблицу истинности) и подставим все данные в формулу согласия:
$ \neg A \Leftrightarrow A = 1 $
$ 0 = 1 $
Противоречие. В условии..
В условии было сказано, что человек назвал себя лжецом, но такого быть не может. Исходя из общих рассуждений можно определить, что и правдец, и лжец всегда называли бы себя правдецами. Это как $0 \times n=0$ не зависимо от $n$. А мы вдруг возьмем и объявим задачу-парадокс: $0 \times n=1$, чему равно $n$*?

* Только не надо ничего говорить про $\infty$ . Пример приведен в рамках классической арифметики. В противном случае отменяем классическую логику (хотя бы правило исключенного третьего) и парадокс решается моментально.

Вывод

Так как парадокс лжеца - одна из интерпретаций парадокса Рассела, то предложенное решение аналогичным образом устраняет и его. По аналогии как правдецом себя называют и правдец, и лжец, так и множество всех ненормальных множеств принадлежит и себе, и множеству всех нормальных. И как лжецом себя не называет никто ( и парадокс возникает когда мы пытаемся определить кто это мог сделать) так и множество всех нормальных множеств не принадлежит ни себе, ни множеству всех ненормальных множеств ( и парадокс возникает когда мы пытаемся определить кому оно может принадлежать)*. Вообщем я хочу сказать, что сама теория множеств (в своем первозданном виде) непротиворечива - но противоречивы некоторые задачи в ней возникающие. Это нормально т.к. в любой развитой теории можно составить неисчислимое кол-во различных противоречивых задач, что естественно никак не отражается на правильности теории.

*Если в аналогичности решения парадоксов кто-то находит какие-то сомнения. Я готов привести полное решение на подобие вышеописанного для парадокса Рассела.

[Someone]

ArshakA в сообщении #1137088 писал(а):

Если в аналогичности решения парадоксов кто-то находит какие-то сомнения. Я готов привести полное решение на подобие вышеописанного для парадокса Рассела.

Спасибо, лучше сохраните всё в тайне и никому не показывайте. Чтобы не смешить людей. Я сам, честно говоря, не смеюсь, поскольку уже устал смеяться.

Чтобы не писать глупости, изучайте математическую логику.

P.S. А парадокса Рассела в современной математике просто нет, поэтому разрешать его не требуется.

[ArshakA]

Извините за невежество. Я и сам чувствую дерзость своих слов. Но как насчет аналогичности. Вы не согласны, что парадокс лжеца лишь интерпретация парадокса Рассела. Если согласны укажите пожалуйста на ошибку в решении лжеца.

[Someone]

Мне не интересно. Я уже столько времени потратил на дискуссии с профанами…

[ArshakA]

А если всё правильно? Если там нет никаких ошибок? Вы считаете, что эта идея неверна только потому что я не глубоко знаю предмет и иду вразрез с общепринятой математикой?

-- 11.07.2016, 01:39 --

На самом деле там всё очень коротко и просто. Я старался по подробней расписать поэтому вышло слегка объемно.

[Someone]

Ну, я Вам полезный совет дал, а разбирайтесь уж Вы сами. Проверка доказательств и поиск ошибок — это забота автора, а не рецензента.

[ArshakA]

С моей точки зрения всё правильно. Я честно говорю не меньше 6-7 раз всё с самого начала проверял. Идея-то старая. Постепенно росла, медленно обдумывалась..

-- 11.07.2016, 01:47 --

Пока не убедился в правильности я даже не думал сюда писать.

[arseniiv]

ArshakA в сообщении #1137088 писал(а):

Противоречие. В условии..
В условии было сказано, что человек назвал себя лжецом, но такого быть не может. Исходя из общих рассуждений можно определить, что и правдец, и лжец всегда называли бы себя правдецами.

Я лжец.

[ArshakA]

arseniiv
Потому что вы не правдец и не лжец. Вы свободный мыслящий человек, а не часть логической системы.

-- 11.07.2016, 02:05 --

Поэтому вы легко можете назвать себя лжецом

[arseniiv]

А вообще смешивать $=$ и $\Leftrightarrow$ не нужно — у вас тут все выражения одного и того же типа.

ArshakA в сообщении #1137113 писал(а):

Поэтому вы легко можете назвать себя лжецом

Давайте тогда по-другому. Следующее предложение ложно. Предыдущее предложение истинно. Два предыдущих предложения — корректные высказывания. Сейчас я лгу.

[ArshakA]

Цитата:

Сейчас я лгу.

Это говорит обычный человек или некий правдец/лжец

[arseniiv]

Нда, мне следовало не зачёркивать первоначальную версию

arseniiv в сообщении #1137114 с изменением писал(а):

Следующее предложение ложно. Предыдущее предложение истинно. Каждое из этих предложений истинно либо ложно.

которая совершенно не зависит от людей.

Вообще, непонятно, что тут можно пытаться изменить. Парадокс лжеца — это констатация противоречивости некоторых логических систем с самоссыланием. Это никак нельзя исправить.

[Someone]

ArshakA в сообщении #1137106 писал(а):

С моей точки зрения всё правильно.

Ну и радуйтесь себе потихоньку. Зачем же обязательно это на весь мир объявлять?

А если уж очень славы хочется, попробуйте опубликовать свои рассуждения в серьёзном математическом журнале. Зачем на форум-то их вываливать? Форум не для этого предназначен.

ArshakA в сообщении #1137088 писал(а):

И как лжецом себя не называет никто ( и парадокс возникает когда мы пытаемся определить кто это мог сделать) так и множество всех нормальных множеств не принадлежит ни себе, ни множеству всех ненормальных множеств ( и парадокс возникает когда мы пытаемся определить кому оно может принадлежать)*. Вообщем я хочу сказать, что сама теория множеств (в своем первозданном виде) непротиворечива - но противоречивы некоторые задачи в ней возникающие. Это нормально т.к. в любой развитой теории можно составить неисчислимое кол-во различных противоречивых задач, что естественно никак не отражается на правильности теории.

Это безграмотный бред. Впрочем, ерунда у Вас начинается прямо с введения.
Я же говорю: изучайте математическую логику и метаматематику. Там Вы узнаете, что такое парадокс, что такое противоречивая теория, и поймёте, что Вы пишете глупости.

[ArshakA]

(поправьте пожалуйста если я смешиваю равенство, эквиваленцию и прочее)
$ a=\neg b $
$ b=a $
подставляем второе уравнение в первое получаем
$ a=\neg a $ это ложно => эти условия противоречивы.
Но так как $c$ - утверждало, что $a$ и $b$ корректны => просто $c=0$ ($c$ ложно)
(если по условию c - истинно то тогда целиком всё условие противоречиво)

[arseniiv]

ArshakA
Короче, мне вообще не стоило пытаться сделать контрпример, я только ерунды в этой теме написал. Но плохой контрпример не означает, что утверждение о том, что парадокс лжеца — не парадокс, верно.