Доска Гальтона

[arseniiv]

vamoroz в сообщении #1131626 писал(а):

Однако, цифры, которые приводит svv не совпали с моими.

Ну так вы наверняка не учли отражения в первой строке, где они появляются:

svv в сообщении #1130593 писал(а):

Если вариантов два, линии синие, если один — линия красная. <…> если из верхнего соседа идёт красная линия, значение этого соседа берём с коэффициентом $2$.

Ниже почему-то учли.

Не понимаю, как можно так долго с этим возиться, когда эволюция числа вариантов в столбце в зависимости от номера строки была описана уже явно: это циклическая свёртка с $(1,1)$ (или $(1,2,1)$ в зависимости от того, сдвигается каждая вторая строка или пропускается). Это работает и для домиков, и для треугольников, и для любого начального распределения подачи шаров.

[vamoroz]

Уважаемый arseniiv

arseniiv в сообщении #1130609 писал(а):

в $n$-м ряду $m$ гвоздей подписаны числами $a_i$

В четных и нечетных рядах доски Гальтона находятся разное количество гвоздей

На основании рисунка из Вашего сообщения #1130609 была составлена таблица.
Для удобства все значения данной таблицы имеют свои координаты.

arseniiv в сообщении #1131629 писал(а):

это циклическая свёртка с $(1,1)$ (или $(1,2,1)$ в зависимости от того, сдвигается каждая вторая строка или пропускается)

В виду некоторых затруднений получения нужных значений таблицы, используя алгоритм циклической свертки, прошу привести пример расчета.

[arseniiv]

vamoroz в сообщении #1136289 писал(а):

В четных и нечетных рядах доски Гальтона находятся разное количество гвоздей

Просто оставьте столбцы C…J (или B…I), и будет одинаковое. И проще выкинуть чётные/нечётные строки, как это выше предлагал tolstopuz.

vamoroz в сообщении #1136289 писал(а):

В виду некоторых затруднений получения нужных значений таблицы, используя алгоритм циклической свертки, прошу привести пример расчета.

А какие ещё затруднения? Я только одно вычитал.

[vamoroz]

Уважаемый arseniiv
Согласно единому для всей доски Гальтона рекуррентному отношению

$a(i,j) = a(i-1,j-1) + a(i+1,j-1)$

где j – номер строки , i – номер столбца.


Значение $B6=A5+C5 = 1+4 = 5$
Согласно Вашим расчетам $1+4 = 6$

[arseniiv]

Убийственный аргумент. Как я должен отсюда вывести, что именно вы реализовали неправильно? Вы ведь уже, надеюсь, читали определение циклической свёртки?

[svv]

vamoroz
Обратите внимание на слова, которые я подчеркнул.

arseniiv в сообщении #1130609 писал(а):

Если в $n$-м ряду $m$ гвоздей подписаны числами $a_i$, то в $(n+1)$-м ряду они будут подписаны числами $a'_i$ такими, что

$$a'_i = a_i + a_{i+1}$$

(или $a_{i-1}$ для любителей вычитания), где сложение берётся по модулю $m$.

Если это учесть, в клетках A5 и I5 будет $2$, а в клетках B6 и H6 будет $6$.

[vamoroz]

Уважаемый svv.
Привожу две таблицы, отражающие перемещение шарика по доске Гальтона, в том числе и Ваш вариант.

Значения во всех клетках обоих таблиц, за исключением двух «конфликтных»(отмечены желтым цветом) подчинены рекуррентному уравнению
$a(i,j) = a(i-1,j-1) + a(i+1,j-1)$
j – номер строки , i – номер столбца.
Сейчас Вы предлагаете, что в клетках A5 и I5 будут двойки.
С моей точки зрения, это ошибка, так как обе таблицы с первой строки по пятую представляют треугольник Паскаля.
Кроме того, строки с первой по пятую образуют доску Гальтона типа треугольник, которой соответствует биномиальное распределение.

[arseniiv]

Тут вообще столбец I лишний. Столбцов должно быть чётное число, иначе структуру нельзя периодически повторить.

-- Вт июл 12, 2016 00:57:01 --

Можно не считать этот столбец лишним, а просто повторять в его ячейках значения ячеек A. Собственно, я потому и спрашивал, освоены ли определения: если да, сразу видно как минимум два пути, как сделать это в экселе (вычислительно оптимальен только один, но если хочется сомнительной красоты, сгодится и второй). Первый — использовать лишь столько столбцов, сколько периодически повторяется, если «замкнуть» доску. Тогда формулы должны учитывать, что у ячеек по краям есть и второй сосед. Второй — использовать лишние столбец-два (тут два), которые, однако, повторяют за двумя другими. Тогда для вычислений можно использовать традиционные формулы.

Объяснения становятся всё подробнее и подробнее, а реакция остаётся одной и той же. Перехожу в этой теме на только чтение.

[svv]

vamoroz в сообщении #1137329 писал(а):

С моей точки зрения, это ошибка, так как обе таблицы с первой строки по пятую представляют треугольник Паскаля.

Здесь не будет в точности треугольника Паскаля из-за краевых эффектов. Совпадение с треугольником Паскаля будет лишь для тех клеток, в которые не могут попасть шарики, отскочившие от стенки.

arseniiv
Действительно, сказанного более чем достаточно.

vamoroz
Нарисуйте, пожалуйста, Вашу доску с вероятностями попадания шарика в каждую клетку (записанными в виде простых дробей).

[svv]

Привожу свой вариант:

Здесь в серых овалах написаны вероятности попадания в левую или правую «ветку», ведущую из одной клетки в другую, соседнюю.

Вопрос к автору темы остаётся: каковы Ваши значения?

[Евгений Машеров]

0. "Физическая" доска Гальтона не исследовательский прибор, а сугубо демонстрационный. Поэтому дальше буду говорить лишь о её модели, а модель требует допущений, чётко сформулированных.
1. Процесс перехода шариков с яруса на ярус описывается умножением вектора, сообщающего число шариков в ячейках яруса, на матрицу переходов.
2. В силу "закона сохранения шариков" матрица эта стохастическая.
3. Поэтому её старшее собственное значение равно единице.
4. Из этого следует, что распределение числа шариков по ячейкам стремится к некоторому пределу.
5. Предполагая, что для всех ячеек, кроме крайних, шарики попадают в соседние ячейки одинаково влево и вправо, видим, что для всех ячеек, кроме крайних, это предельное распределение равномерно. Действительно, пусть есть ячейка, в которой предельное число шариков выше соседних. Тогда на каждом шаге из неё уходит больше шариков, чем приходит. И это превышение уничтожается.
6. Картина в крайних ячейках различна, в зависимости от предположений о судьбе шариков, попавших в крайние ячейки. При разных допущениях ответ разный.
7. Если рассматривать "бесконечно широкую" доску без крайних точек, то такое выравнивание будет также иметь место. Но оно будет проявляться не приближением распределения к равномерному, а увеличением дисперсии приближённо (и чем далее, тем лучше приближение) нормального. Связано это с тем, что у нас нет краёв, от которых шары возвращаются в середину, так что, как бы ни уплощался "холмик", склоны слева и справа от центра будут оставаться.

[svv]

vamoroz
Хорошо, покажите на моей картинке одно неправильное, по-Вашему мнению, число, и назовите его правильное значение.

[vamoroz]

Уважаемый Евгений Машеров.
Сожалею, но Вы прикрепили к доске Гальтона «ненаучный» ярлык. Интересно, с Вашей точки зрения, такие простейшие модели, как монетка, игральный кубик, коробка с пронумерованными шариками относятся к «научным» ?
Не обратить внимание на демонстрационную составляющую доски Гальтона нельзя. Поэтому с помощью нее я пытаюсь продемонстрировать ошибочность равномерного распределения. Сделать это я пытаюсь теоретическим путем. Пока это у меня не получается. Меня не понимают или делают вид, что не понимают. Однако, всегда в запасе остается натурный эксперимент. Достаточно вбить гвоздики и бросить шарики. Функция распределения плотности случайной величины будет перед глазами.
Бросать шарики лучше не из одной точки(в модели это клетка Е1), а из-за всех возможных точек (клетки A1, C1, E1, G1, I1). Это позволит создать «на входе» доски Гальтона любое распределение. Зададим «на входе» равномерное распределение. В результате шарики «на выходе доски» расположатся «горкой», но это не будет биномиальное распределение (аналог нормального распределения в дискретном случае).
Математическая модель, используемая при моделировании доски Гальтона широко встречается в природе. Не нравится доска Гальтона, - возьмите шахматную доску, поставьте на ее первую горизонталь шашку, желательно ближе к краю, сделайте по правилам игры несколько ходов и рассчитайте вероятность нахождение шашки. Полученная функция распределения плотности вероятностей будет та же, что и у доски Гальтона. Только в случае с шашкой вероятности нужно будет считать. А с доской Гальтона проще, - бросил шарики и наблюдай результат. Отличить равномерное распределение от распределения типа «колокол» можно даже визуально.
Соглашусь с Вами, что процесс «перехода шариков с яруса на ярус» описывается умножением вектора состояния на матрицу переходов. Только матрица переходов не является стохастической.
В сообщении #1131626 приведен пример такой матрицы.

Уважаемый svv
Выполняю Вашу просьбу и публикую значения вероятностей.

Желтым цветом отмечены ошибочные, с моей точки зрения, значения в Вашей таблице.
Обращаю внимание на то, на клетку B6 таблицы можно попасть только 5-ю способами. Перечисляю их
1. E1-D2-C3-B4-A5-B6
2. E1-F2-E3-D4-C5-B6
3. E1-D2-E3-D4-C5-B6
4. E1-D2-C3-D4-C5-B6
5. E1-D2-C3-B4-C5-B6
Если Вы найдете 6-ой способ попадания на B6, то я вынужден согласиться с Вашим расчетом.

[Someone]

vamoroz в сообщении #1137884 писал(а):

такие простейшие модели, как монетка, игральный кубик, коробка с пронумерованными шариками относятся к «научным» ?

Что значит "научным"? Эти предметы могут использоваться в разных целях, но для решения научных задач они не применяются. Как и доска Гальтона. Никакие теоретические исследования посредством названных предметов не производятся.

[svv]

Спасибо. У меня ещё два вопроса. Взгляните на картинку.

Шарик, попавший в A5, затем попадёт в B6. На картинке путь от A5 в B6 отмечен розовым.
Шарик, попавший в C5, может повернуть влево и попасть в B6 (путь отмечен синим), а может повернуть вправо и попасть в D6 (путь отмечен зелёным).
Какова, по-Вашему, вероятность, что брошенный шарик попадёт
а) на розовый путь, соединяющий A5 и B6?
б) на синий путь, соединяющий C5 и B6?

Мои ответы:
розовый: $\frac 1{16}$, эта вероятность равна вероятности попадания в A5;
синий: $\frac 2{16}$, эта вероятность равна половине вероятности попадания в C5.
Вы согласны с этими значениями? Если нет, чему они равны, по-Вашему?