гипотеза гольдбаха

[Батороев]

Gordmit писал(а):

Выше уже написали, что тернарная проблема почти решена И.М. Виноградовым (в 1936 году с помощью его метода тригонометрических сумм): он доказал, что любое нечетное число, начиная с некоторого $N_0$ представимо суммой трех простых. Казалось бы, что дело за малым: проверить все числа до $N_0$, и дело с концом. Но сам Виноградов не занимался оценкой этого числа; лишь позднее это сделал кто-то из его учеников, и оказалось, что такое $N_0$ весьма и весьма велико, и проверить все числа до него не представляется возможным.

Потом с помощью теоретических рассуждений $N_0$ уменьшали, в последнее время вроде в этом преуспели китайские математики, но тем не менее оно до сих пор остается недостижимым для непосредственной проверки всех чисел до него, даже с помощью компьютеров. Если мне не изменяет память, последние оценки дают $N_0$ порядка $e^{2000}$, что-то вроде этого.

Gordmit писал(а):

Специально посмотрел: Liu и Wang в 2002 снизили $N_0$ до $e^{3100}$: M. C. Liu and T. Z. Wang, "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture", Acta Arithmetica 105 (2002), 133-175.
Вроде это последний результат.

Интересно, а можно ли рассчитать, какое максимальное расстояние между простыми числами может существовать в пределах указанного Вами числа?

[ddn]

Можно ли простым способом доказать, что если верна гипотеза Гольдбаха, то четное число, большее 6, можно представить не просто суммой двух простых, а двух разных простых? - ослабленный вариант: двух разных простых или суммой простого и единицы?

Тогда для любого нечетного $n=2\cdot k+1>7$ существут простые $p$ и $q$, что $s(pq)=p+q+1=n$;
ослабленный вариант: для любого $n=2\cdot k+1>5$ существует простые $p$ и $q$, что $s(pq)=p+q+1=n$ или $s(p)=p+1=n$.
(также $s(p)=1$, $s(2^2)=3$, но для любого $m$ имеем $s(m)\not=5$)
Здесь $s(n)=\sum\limits_{d|n,d<n}d$ - сумма делителей числа $n$, меньших $n$.

Это связано с изучением свойств отображения $s(*):\mathbb{N}_0\to\mathbb{N}_0$ и последовательностей $s^{(k)}(n)$.
http://mathworld.wolfram.com/AliquotSequence.html

Gordmit писал(а):

А вот, кажется, та самая статья, в которой $N_0$ уменьшается до 7 ( ) в предположении расширенной гипотезы Римана (то, о чем сказал RIP): J.-M. Deshouillers; G. Effinger; H. te Riele; D. Zinoviev, A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 3 (1997), 99–104.(link)

Можно все-таки узнать: это серьезный результат и нет? (что означал смайлик?)

[RIP]

ddn писал(а):

Можно все-таки узнать: это серьезный результат и нет? (что означал смайлик?)

Это серьёзный результат. Правда 100%-й гарантии я дать не могу (тем более что я не специалист), но лично я уверен в его верности процентов эдак на 99 (только не спрашивайте, исходя из чего я их считаю ). А что означал смайлик - это пусть Вам лучше Gordmit сам расскажет. Я вроде бы понимаю, что он означал, но словами это описАть не могу.

[Gordmit]

Зря я поставил этот злосчастный смайлик У меня, конечно, нет никаких оснований сомневаться в серьезности результата. Смайлик просто означал, что (насколько я понял) в статье просто снижается $N_0$ до видимых пределов, хотя непосредственной проверки всех чисел от 7 до него не приводится, т.к. это не представляет собой принципиальной трудности. Кажется, у меня тоже не вполне получилось удовлетворительно описать назначение смайлика словами, так что впредь буду со смайликами поосторожнее

[Батороев]

Батороев писал(а):

Gordmit писал(а):

Специально посмотрел: Liu и Wang в 2002 снизили $N_0$ до $e^{3100}$: M. C. Liu and T. Z. Wang, "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture", Acta Arithmetica 105 (2002), 133-175.
Вроде это последний результат.

Интересно, а можно ли рассчитать, какое максимальное расстояние между простыми числами может существовать в пределах указанного Вами числа?

Слышал, что на справедливость гипотезы Гольдбаха проверено порядка $ 10^{15} $ первых чисел. Контр-примеров нет.

Допустим, имеется простое число $p_i$, чуть меньшее $10^{15}$.
Если к $p_i$ последовательно добавлять последовательные четные числа, то это означает то, что на интервале от $p_{i}$ до $p_{i+1} $ все нечетные числа могут быть представлены в виде суммы трех простых чисел.
После чего, в аналогичное рассмотрение включить уже $ p_{i+1} $ и т.д.

Если до числа $e^{3100}$ максимальное расстояние между соседними простыми числами не превысит $ 10^{15} $, то можно было бы утверждать, что любое нечетное число может быть представлено в виде суммы не более, чем трех простых чисел, на всей числовой оси.

[Бодигрим]

Цитата:

...то можно было бы утверждать, что любое нечетное число на всей числовой оси может быть представлено в виде суммы не более, чем четырех простых чисел.

Вы не путаете тернарную и бинарную гипотезы? Указанные вами оценки были найдены именно для тернарной.

[Батороев]

Да, вроде бы, не путаю, смотрел здесь. Число проверенных чисел, правда, занизил.

Я, кстати, немного подправил свое предыдущее сообщение.

[AndAll]

Число представлений четных чисел $6k - 2,\,\,6k,\,\,6k + 2$ в виде суммы двух простых, начиная с некоторого числа (впрочем, совсем небольшого, порядка несколько десятков), больше числа чисел, меньших $k$ и имеющих вид $2^m 3^n $ где $m,n = 0,1,2, \ldots $
Это утверждение не является фактом простого наблюдения, но имеет строгое доказательство. К сожалению, поля форума…

[Руст]

AndAll писал(а):

Число представлений четных чисел $6k - 2,\,\,6k,\,\,6k + 2$ в виде суммы двух простых, начиная с некоторого числа (впрочем, совсем небольшого, порядка несколько десятков), больше числа чисел, меньших $k$ и имеющих вид $2^m 3^n $ где $m,n = 0,1,2, \ldots $
Это утверждение не является фактом простого наблюдения, но имеет строгое доказательство. К сожалению, поля форума…

Поздравляю, вы доказали гипотезу Эйлера-Гольдбаха, который ещё не доказан даже в предположении ОГР. Возможно найдут его доказательство только лет через 300, какой нибудь Уайлс.

[AndAll]

Руст писал(а):

Поздравляю, вы доказали гипотезу Эйлера-Гольдбаха, ... .

Ну Вам то я это говорил уже давно.

Цитата:

Возможно найдут его доказательство только лет через 300, ...

А зачем столько ждать? Ведь мы рискуем тогда его (доказательства) не увидеть

[Руст]

AndAll писал(а):

А зачем столько ждать? Ведь мы рискуем тогда его (доказательства) не увидеть

Тогда вперёд, выкладывайте доказательство. Мы рассмотрим.

[AndAll]

Руст писал(а):

AndAll писал(а):

А зачем столько ждать? Ведь мы рискуем тогда его (доказательства) не увидеть

Тогда вперёд, выкладывайте доказательство. Мы рассмотрим.

Доказательство хотя и короткое, но не настолько, чтобы его здесь выложить.

[Руст]

AndAll писал(а):

Доказательство хотя и короткое, но не настолько, чтобы его здесь выложить.

А вы выкладывайте первые 1-2 страниц. Надеюсь, мы уже здесь найдём ваши ошибки.

[AndAll]

Руст писал(а):

А вы выкладывайте первые 1-2 страниц. Надеюсь, мы уже здесь найдём ваши ошибки.

Не надейтесь, там их нет. Уже смотрели, но не нашли. Смотревшие просто не понимают ключевые неравенства, которые Вы, кстати, косвенно здесь уже подтверждали. Приходиться писать доказательства очевидных вещей, а это и есть самое трудное.
Если хотите вспомнить, посмотрите темы "Просто решето" и "Давайте выясним!"

[Руст]

AndAll писал(а):

Руст писал(а):

А вы выкладывайте первые 1-2 страниц. Надеюсь, мы уже здесь найдём ваши ошибки.

Не надейтесь, там их нет. Уже смотрели, но не нашли.

Тогда публикуйте.
А я не надеюсь, я уверен. А в указанных темах насколько помнится мы убедились, что там написана всякая чушь.