Выше уже написали, что тернарная проблема
почти решена И.М. Виноградовым (в 1936 году с помощью его метода тригонометрических сумм): он доказал, что любое нечетное число, начиная с некоторого

представимо суммой трех простых. Казалось бы, что дело за малым: проверить все числа до

, и дело с концом. Но сам Виноградов не занимался оценкой этого числа; лишь позднее это сделал кто-то из его учеников, и оказалось, что такое

весьма и весьма велико, и проверить все числа до него не представляется возможным.
Потом с помощью теоретических рассуждений

уменьшали, в последнее время вроде в этом преуспели китайские математики, но тем не менее оно до сих пор остается недостижимым для непосредственной проверки всех чисел до него, даже с помощью компьютеров. Если мне не изменяет память, последние оценки дают

порядка

, что-то вроде этого.
Специально посмотрел: Liu и Wang в 2002 снизили

до

: M. C. Liu and T. Z. Wang, "On the Vinogradov bound in the three primes Goldbach conjecture", Acta Arithmetica 105 (2002), 133-175.
Вроде это последний результат.
Интересно, а можно ли рассчитать, какое максимальное расстояние между простыми числами может существовать в пределах указанного Вами числа?