Красное смещение и свет далёкой звезды

[Plotnik]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1129110 писал(а):

Plotnik, принимайте мужественное решение....

Это мы всегда успеем. Лучше подскажите, как принять мужественное решение взять обрезанный луч из другой ИСО и вставить его в треугольник на место другого луча в другой ИСО. Вас совсем не смущает такая геометрия? Или я излишне критичен?

[Munin]

Plotnik
Вот как бы вам объяснить? Стоят дяди, и обсуждают $(a+2b)(a-2b)=?$ Вы пытаетесь влезать в их разговор. Но оказывается, чтобы в нём участвовать, надо заучить таблицу умножения! Это очень трудно, вам не хочется. Вы всеми силами пытаетесь избежать этого, но в разговор, который выше вашего понимания, всё равно лезете.

Вы считаете, что вы при этом добиваетесь чего-то? Нет. Вы только обманываете самого себя.

Отличие только в том, что таблицу умножения вас всё-таки заставили выучить в младшей школе - через силу, розгами. А здесь - столь же несложные вещи - вас никто не может заставить сделать.

[Cos(x-pi/2)]

Plotnik в сообщении #1129179 писал(а):

Лучше подскажите, как принять мужественное решение взять обрезанный луч из другой ИСО и вставить его в треугольник на место другого луча в другой ИСО.

Я не понимаю смысла вашего набора слов, и поэтому не могу подсказать Вам, как решиться чего-то там куда-то вставить.

Могу предложить только простые советы. Сформулируйте себе интересующую Вас задачу, во-первых, в терминах наблюдаемых (локально) физических событий, а во-вторых, - количественно: чтобы любое "событие P" описывалось координатой $x_P$ того тела, с которым данное событие произошло, и временем $t_P,$ когда оно случилось.

Чтобы не запутаться, координаты и время событий отсчитывайте по линейкам и часам одной и той же ИСО; и для наглядности ставьте на чертеже "мировые точки" $x_P, \, t_P,$ - точно так, как когда-то Вас учили в школе откладывать точки для графиков функций $x(t).$ Например, в качестве первой тренировки изобразите, выбрав на своём чертеже подходящий масштаб, мировые точки вот с такими значениями мировых координат:

$x_{P0}=0, \quad t_{P0}=0 \,; $

$x_{P1}=0, \quad t_{P1}=0.1 \,; $

$x_{P2}=0, \quad t_{P2}=0.2 \,; $

$...\text{и так далее}...$

$x_{P9}=0, \quad t_{P9}=0.9 \,; $

Если Вы таким элементарным шагам не обучитесь самостоятельно, то никто на страницах этого форума не станет заниматься с Вами этим ликбезом уровня седьмого класса школы, и дальнейшие разговоры о физике с Вами потеряют смысл.

После того, как освоитесь с расстановкой мировых точек по заранее вычисленным мировым координатам, осваивайте "мировые линии". Например, изобразите мировую линию, на которой координаты мировых точек вычисляются по формуле $x(t)=0,$ и обязательно постарайтесь понять, что эта мировая линия служит модельным описанием (служит "графиком движения") для тела, покоящегося относительно данной ИСО. Аналогично, для тренировки изучите, например, такую мировую линию: $x(t)=1 \, \text{ед. длины}.$

Затем аналогично изобразите разные мировые линии по формуле $x(t)=x(0)+v\,t,$ где для примеров берите всякие разные значения параметров $x(0)$ и $v.$ И обязательно постарайтесь понять, что такие линии условно изображают тела, движущиеся относительно данной ИСО, каждое со своей скоростью $v$ - таков физический смысл параметра $v.$ Причём параметр $x(0)$ указывает положение тела в момент времени $t=0.$

После этого попробуйте освоить "преобразования Галилея" (пока всё в одномерной модели): изобразите мировые точки всех тех же событий и мировые линии всех тех же тел на новом чертеже, на котором мировые координаты $x'_P, \, t'_P$ любых событий (мировых точек Р) отсчитываются по часам и линейкам новой ИСО. Под "новой ИСО" понимайте такую, в которой вcё, что покоится относительно старой ИСО, движется относительно новой ИСО с одной и той же скоростью $V.$

Термин "преобразование Галилея" означает, что расчёт мировых координат любого события P в новой ИСО производится через координаты этого же события в старой ИСО по формулам:

$t'_P=t_P, \qquad x'_P=x_P+V\, t'_P \, ,$

(здесь для простоты считается, что начало отсчёта новых мировых координат выбрано так, что событие Р0 с нулевыми значениями старых мировых координат $t_{P0}=0, \, x_{P0}=0$ имеет относительно новой ИСО тоже нулевые значения координат: $t'_{P0}=0, \, x'_{P0}=0.$ Однако начало отсчёта можно выбрать совершенно произвольно; подумайте, что добавится в формулах преобразования Галилея при произвольном выборе начала отсчёта в разных ИСО.)

И обязательно постарайтесь понять, что такой переход к описанию тех же событий на новом чертеже в точности соответствует нашему обыденному представлению о наблюдении одних и тех же событий разными наблюдателями, которые движутся друг относительно друга со скоростью $V.$ Пример: мировые координаты $t_P, \, x_P,$ допустим, отсчитываются по часам и линейке в поезде, а $t'_P, \, x'_P$ - по часам и линейке на перроне, и поезд движется относительно перрона со скоростью $|V| \ll c.$

В качестве примера мировых линий изучите траекторию теннисного шарика, который движется между неподвижными (относительно вагона) ракетками вдоль вагона; и мировые линии самих ракеток изучите.

Затем желательно добавить в модель ещё одно измерение и изучить аналогичным образом картину движения теннисного шарика не только вдоль вагона, но и поперёк (в том числе, если шарик в вагоне скачет между ракетками вверх-вниз).

Под "изучением" разумею ваши самостоятельные упражнения: задавайте разумным образом координаты указанных тел, значения скорости, стройте графики, - пока не наступит полная ясность в том, как переводятся на язык чертежей наблюдаемые или воображаемые картины движения тел. (Думаю, если Вам в конце-концов удастся преодолеть путь к геометрии мировых линий, то не через абстрактные разговоры, а через конкретные чертежи).

И вот лишь после того, как Вы освоитесь с количественным описанием движения тел при малых скоростях (т.е. при условии, что все $|v|,\, |V| \ll c,)$ пробуйте в том же духе браться за СТО.

И когда самостоятельно выполните подобные упражнения уже с преобразованиями Лоренца вместо преобразований Галилея, и если вдруг всё-таки останутся какие-то непонятки после серьёзного самостоятельного изучения основ СТО, то возвращайтесь сюда - с осознанными вопросами. А пока ваше "излишне критичное" вставление каких-то обрезанных лучей в какие-то треугольники напоминает, извините, нанизывание очков на хвост.

[Munin]

Cos(x-pi/2)
Мне жаль, что вы продолжаете тратить силы на человека, который встречных усилий совершать не желает.

[Cos(x-pi/2)]

Munin, то же самое можно сказать и в Ваш адрес. Мы все здесь делаем то, что можем...

[rustot]

Plotnik в сообщении #1129078 писал(а):

Я хотел бы обратить Ваше внимание, что во всех трёх представленных ИСО(а,б и в) путь любого луча строится от точки опорной вспышки

это называется "событие", у него 4 координаты x,y,z,t

Plotnik в сообщении #1129078 писал(а):

которая покоится во всех бесчисленных ИСО того же ряда, что эти три

событие и не покоится и не двигается. это точка в пространстве-времени. при других $t$ его просто нет, оно никуда не переместилось и не осталось там же, его просто нет, не было до и нет после, единственные момент времени, без продолжительности

Plotnik в сообщении #1129078 писал(а):

Событие опорной вспышки предполагает совмещение точки x=0 всех трёх ИСО(в общем случае, всех возможных).

нет конечно, в каждой исо оно имеет свои уникальные координаты, вовсе необязательно нулевые. нули в задачах и примерах возникают исключительно чтобы меньше арифметических операций в решении было, никакого сакрального смысла в нулях нет

[Plotnik]

rustot в сообщении #1129278 писал(а):

1. ...событие и не покоится и не двигается. это точка в пространстве-времени. при других $t$ его просто нет, оно никуда не переместилось и не осталось там же, его просто нет, не было до и нет после, единственные момент времени, без продолжительности
2. ...нет конечно, в каждой исо оно имеет свои уникальные координаты, вовсе необязательно нулевые. нули в задачах и примерах возникают исключительно чтобы меньше арифметических операций в решении было, никакого сакрального смысла в нулях нет

1. Я не понимаю, что значит " при других $t$ его просто нет". Авторы книги сказали, что оно есть. От него идут лучи.
2. Я не ищу сакрального смысла в нулях. У авторов там нули(там же, стр.34, над рис.13).

Cos(x-pi/2) в сообщении #1129273 писал(а):

Я не понимаю смысла вашего набора слов, и поэтому не могу подсказать Вам, как решиться чего-то там куда-то вставить...

Я имел ввиду формулу из книги http://www.enu.kz/repository/repository ... anstva.pdf. Об этом я ранее написал:" Во-первых, слагаемые в подкоренном выражении квадраты проекций пути луча в формуле (4) на стр.35 взяты из разных систем отсчёта.", но реакции не получил. Может, Вы объясните?

[Munin]

Plotnik в сообщении #1129329 писал(а):

1. Я не понимаю, что значит " при других $t$ его просто нет". Авторы книги сказали, что оно есть. От него идут лучи.

Значит, вы не поняли, что сказали авторы книги.

Если свечка погасла, то где её пламя? Вот там же и событие при других $t.$

[Cos(x-pi/2)]

Plotnik в сообщении #1129329 писал(а):

Во-первых, слагаемые в подкоренном выражении квадраты проекций пути луча в формуле (4) на стр.35 взяты из разных систем отсчёта.", но реакции не получил. Может, Вы объясните?

Объясняю: Вы заблуждаетесь. В формуле (4) на стр. 35 оба слагаемых в подкоренном выражении относятся к одной и той же системе отсчёта - к лабораторной системе отсчёта. Это ясно из самой рассматриваемой там физической ситуации, ясно из объяснения авторов прямо перед формулой (4), и кроме того этот факт явно указан в левом столбце таблицы 5 в конце той же стр. 35. Разности координат тех же событий, относящиеся к другой системе отсчёта (относительно которой ракета покоится), обозначены буквами со штрихами и приведены в правом столбце таблицы.

-- 06.06.2016, 00:30 --

Plotnik в сообщении #1129329 писал(а):

1. Я не понимаю, что значит " при других $t$ его просто нет".

Ещё пример: событие это как услышанный вами хлопок в ладоши; была тишина, затем "хлоп!", и опять тишина. Событию можно в конкретной системе отсчёта приписать четыре конкретных числа - значения пространственных координат $x,y,z$ и момента времени $t,$ но длительности (во времени или в пространстве) у события нет по определению. Хлопок, услышанный другим человеком (т.е. в другом месте и / или в другой момент времени) это другое событие.

Всё аналогично и для события "вспышка" (разумеется, идеализированного): лампочка зажглась и сразу же погасла, вот что такое "вспышка". Полёт образовавшегося света (волнового пакета) - это уже не событие, а длительный процесс; можете считать, что полёт это непрерывная цепочка разных событий. Акт отражения волнового пакета от зеркала - событие. Полёт отражённого светового пакета к приёмнику это снова не одно событие, а целый процесс. Практически же мгновенный акт поглощения светового пакета приёмником - событие "приём".

Конечно, с тем же успехом можно следить не за волновым пакетом, а за "фронтом" (т.е. за "началом") протяжённой световой волны, если лампочка зажглась и продолжает гореть. Тогда под событием "прием" понимается акт попадания фронта волны в приёмник.

[rustot]

Plotnik в сообщении #1129329 писал(а):

Я не ищу сакрального смысла в нулях. У авторов там нули(там же, стр.34, над рис.13).

Вы написали "требует совмещения исо". Нет, не требует. Так же как задаче про бросок камня с башни не требует присваивания подножию башни высоты именно "0", так же и задача в которой используется несколько исо не требует какого-либо численного совпадения координат события в разных исо. Это исключительно вопрос удобства со стороны постановщика задачи, присвоив как можно большему количеству величин нулевого значения исключить связанные с ними арифметические операции из решения. Задача в которой в одной исо событие произошло по координатам 7,4,0,3 а в другой 15,-3, 6,-1 решается точно так же

[Plotnik]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1129342 писал(а):

Объясняю: Вы заблуждаетесь. В формуле (4) на стр. 35 оба слагаемых в подкоренном выражении относятся к одной и той же системе отсчёта - к лабораторной системе отсчёта. Это ясно из самой рассматриваемой там физической ситуации, ясно из объяснения авторов прямо перед формулой (4), и кроме того этот факт явно указан в левом столбце таблицы 5 в конце той же стр. 35. Разности координат тех же событий, относящиеся к другой системе отсчёта (относительно которой ракета покоится), обозначены буквами со штрихами и приведены в правом столбце таблицы.

В лабораторной ИСО рассматриваемый луч распространяется по гипотенузе треугольника. Согласно процедуре перехода в другую ИСО, тот же луч в ИСО ракеты распространяется вертикально. Авторы строят треугольник, на котором основана формула(4)стр.35, в лабораторной ИСО. В нём гипотенуза, представляющая путь луча, и катет, представляющий путь ракеты, явно относятся к этой(лабораторной) ИСО. А что же второй катет? Авторы берут длину этого катета из ИСО ракеты, и, не применяя обратной процедуры перехода из одной ИСО в другую, механически(или, если угодно, геометрически) переносят эту длину на направление совсем другого луча в лабораторной ИСО. На направление, по которому рассматриваемый луч не распространялся. Вот, что я имел ввиду.

rustot в сообщении #1129351 писал(а):

Вы написали "требует совмещения исо". Нет, не требует. Так же как задаче про бросок камня с башни не требует присваивания подножию башни высоты именно "0", так же и задача в которой используется несколько исо не требует какого-либо численного совпадения координат события в разных исо. Это исключительно вопрос удобства со стороны постановщика задачи, присвоив как можно большему количеству величин нулевого значения исключить связанные с ними арифметические операции из решения. Задача в которой в одной исо событие произошло по координатам 7,4,0,3 а в другой 15,-3, 6,-1 решается точно так же

На мой взгляд, Вы чрезмерно формализуете события в виде координат. Но авторы всё же различают лабораторию, ракету и сверхракету. И даже привязывают к ним ИСО. Для них важно, что все три различаемых объекта в момент "вспышка" находились в одном месте. А вот дальше уже смотря вдоль какого луча в момент этой вспышки какой объект летел. И как пишут авторы, приём вспышки часами ракеты в лабораторной ИСО происходил уже в другом месте. И в этом месте был уже только один из объектов, а это событие отличается от события, сопровождавшего вспышку.

[rustot]

Plotnik в сообщении #1129908 писал(а):

На мой взгляд, Вы чрезмерно формализуете события в виде координат. Но авторы всё же различают лабораторию, ракету и сверхракету. И даже привязывают к ним ИСО.

я уже объяснил, чтобы максимально упростить изложение, больше ни для чего

Plotnik в сообщении #1129908 писал(а):

Для них важно, что все три различаемых объекта в момент "вспышка" находились в одном месте.

совершенно неважно

Plotnik в сообщении #1129908 писал(а):

А вот дальше уже смотря вдоль какого луча в момент этой вспышки какой объект летел. И как пишут авторы, приём вспышки часами ракеты в лабораторной ИСО происходил уже в другом месте. И в этом месте был уже только один из объектов, а это событие отличается от события, сопровождавшего вспышку.

Просто два события. Событие излучения и событие приемам. В КАЖДОЙ исо у каждого из них свои уникальные координаты, и численное совпадение каких либо координат из разных исо чисто случайное, не имеет никакого особенного значения, это все равно что совпадение "3 метров" и "3 футов", никакого смысла в этом совпадении нет. И ни для одной из исо ни одно событие не является "своим", "особенным", имеющим именно для этой исо какое то особое значение, оно совершенно равноправно принаждлежит всем исо. Даже если событие произошло на каком то теле, покоящемся относительно именно этой исо, все равно в нем нет никакой особенной привязки именно к этой исо

Есть такая распространенная ошибка, точнее две ошибки - то тела покоящиеся относительно какой либо системы отсчета начинают считать для нее какими то особенными, "ее" телами, то наоборот системы отсчета относительно которых какое то тело покоится начинают считать собственностью этого тела, "ее" системами отсчета. И то и другое неверно. Есть объективная реальность, все тела, все их состояния, все события и так далее. И есть разные параллельные способы описания этой объективной реальности - системы отсчета. В каждой системе отсчета равноправно описывается ВСЕ происходящее во вселенной, а не какие то особые "свои" тела и события. Одна на всех реальность, вся целиком, и множество альтернативных способов ее описания всей целиком. Фразы типа "исо ракеты" подталкивают именно к таком неверному пониманию, но означают они на самом деле совсем другое.

[Munin]

Plotnik в сообщении #1129908 писал(а):

На мой взгляд

Вы на "ваш взгляд" права пока что не имеете. Ваши собеседники умеют рассчитывать задачи по СТО, а вы - нет. Поэтому ваше дело сейчас - "молчать и конспектировать".

[Cos(x-pi/2)]

Plotnik

Plotnik в сообщении #1129908 писал(а):

А что же второй катет? Авторы берут длину этого катета из ИСО ракеты

Откуда Вы берёте это неверное утверждение? Ведь на предыдущих страницах авторы чётко объяснили, что значение координаты $y$ для любого события одинаково в обеих ИСО; на стр. 33 об этом сказано яснее ясного:



Здесь считается, что выбраны нулевые значения координат начала отсчёта в обеих ИСО. При произвольном выборе начала отсчёта в обеих ИСО в рассматриваемом сюжете одинаковыми являются разности $y$-координат между парой событий: $\Delta y=\Delta y'.$ Аналогично и $\Delta z= \Delta z',$ но для краткости $z$-координату событий не выписываем, она не играет роли в данном сюжете. Конкретно, речь сейчас идёт вот о какой паре событий: событие А это вспышка источника света на полу ракеты (для наглядности считайте, что в ракете на мгновение включалась красная лазерная указка, направленная от пола в потолок), событие R это появление на мгновение маленького красного пятнышка на потолке (в это мгновение волновой пакет достиг гладкого потолка и, отразившись, собрался лететь вниз). В системе отсчёта, относительно которой ракета покоится, имеем:

$y'_R-y'_A=1$ метр.

B лабораторной системе отсчёта (относительно которой ракета движется) имеем:

$y_R-y_A=1$ метр.

Вот этот 1 метр и играет далее роль "второго катета" в расчёте "гипотенузы", который Вы не сумели понять.



При этом для разности $x$-координат событий A и R имеем в системе отсчёта, относительно которой ракета покоится:

$x'_R-x'_A=0$ .

B лабораторной системе отсчёта, относительно которой ракета движется, имеем:

$x_R-x_A=\frac{1}{2} \Delta x$ , так авторы обозначили эту разность координат.

Аналогичным образом рассматривается пара событий R и B, где B это приём светового пакета приёмником, расположенным на полу ракеты рядом с источником (практически в том же месте). Имеем для $y$-координат событий.

$y'_B-y'_R = -1$ метр,

$y_B-y_R=-1$ метр.

Имеем для $x$-координат событий:

$x'_B-x'_R = 0$ ,

$x_B-x_R = \frac{1}{2} \Delta x $ .

Одна из двух равных "гипотенуз" в расчёте у авторов это путь светового пакета от события А к событию R, вторая гипотенуза - путь светового пакета от события R к событию B. В обеих системах отсчёта квадрат длины гипотенузы вычисляется по классической школьной формуле. А именно: в системе отсчёта, относительно которой ракета покоится, квадрат длины расстояния, пройденного светом (волновым пакетом) между событиями A и R, есть

$(y'_R-y'_A)^2+(x'_R-x'_A)^2=1+0=1$ .

B лабораторной системе отсчёта имеем по той же геометрической формуле большее значение квадрата расстояния, пройденного световым пакетом между событиями A и R:

$(y_R-y_A)^2+(x_R-x_A)^2=1+(\frac{1}{2}\Delta x )^2$

Такие же два ответа получаются в двух системах отсчёта и для квадратов расстояний, пройденных волновым пакетом между событиями R и B. Следовательно, расстояние, пройденное световым пакетом от А до B в системе отсчёта, относительно которой ракета покоится, есть

$2 \, \sqrt{(y'_R-y'_A)^2+(x'_R-x'_A)^2}=2 \, \sqrt{1+0}=2$ метра,

а в лабораторной системе расстояние, пройденное световым пакетом от А до B, есть:

$2 \, \sqrt{(y_R-y_A)^2+(x_R-x_A)^2}=2 \, \sqrt{1+(\frac{1}{2}\Delta x)^2}$ .

Наверное, ваши непонятки обусловлены отсутствием элементарного навыка геометрических расчётов длин отрезков по координатам точек на чертежах, и отсутствием понимания термина "две ИСО, движущиеся относительно друг друга". Поэтому ещё раз настоятельно советую проделать упражнения на эту тему.

UPD. Добавляю пояснение:

Начните с задачек про обычные преобразования Галилея, с теннисным шариком вместо светового пакета. Пусть в вагоне мчащегося поезда шарик подскочил от пола к потолку на высоту 1 метр и упал обратно - тут очевидно, что шарик пролетел путь "вверх-вниз" длиной 2 метра в системе отсчёта, движущейся вместе с вагоном. А поезд при этом пусть мчится так быстро, что за время полёта шарика вагон успевает доехать от одного села до другого. Расстояние между этими сёлами, например, 1 км - в системе отсчёта, покоящейся вместе с сёлами и железной дорогой; получается, что в этой системе отсчёта шарик за время своего полёта совершает путь от одного села до другого села, т.е. приблизительно 1 км.

Вот по аналогии с этим примером и у светового сигнала (волнового пакета) длина его пути за время между актом испускания сигнала источником и актом поглощения приёмником получается разной в разных ИСО. Отличие от шарика только в том, что у шарика кроме длины его пути ещё и скорость разная относительно обеих ИСО, причём скорость шарика в обеих упомянутых ИСО маленькая по сравнению со скоростью света; поэтому время полёта шарика получается приблизительно одинаковым в обеих ИСО. А у света скорость по величине одинаковая относительно всех ИСО - она оказалась равной мировой постоянной $c,$ поэтому время полёта светового сигнала получается разным в обеих ИСО. Наличие мировой постоянной $c$ - вот нетривиальный экспериментальный факт в рассматриваемой ситуации (а вовсе не то, как там гипотенузы вычисляются, они там вычисляются по формуле обычной, евклидовой геометрии).

И далее авторы показывают, что при всём при том обнаруживается некая формула для инвариантного интервала между событиями, причём инвариантный интервал характеризует расположение событий друг относительно друга не отдельно в пространстве (как упомянутые выше длины пути - они зависят от выбора ИСО) и не отдельно во времени (как упомянутое время полёта по часам ИСО - оно тоже зависит от выбора ИСО), а в пространстве-времени - это понятие возникает в СТО как нечто новое по отношению к понятиям "пространство" и "время" в обычной, нерелятивистской физике.

Plotnik в сообщении #1129908 писал(а):

Авторы берут длину этого катета из ИСО ракеты, и, не применяя обратной процедуры перехода из одной ИСО в другую, механически(или, если угодно, геометрически) переносят эту длину на направление совсем другого луча в лабораторной ИСО. На направление, по которому рассматриваемый луч не распространялся

Вы не поняли текст и вычисления авторов. У авторов нет никакого "переноса длины на направление другого луча", а есть элементарный расчёт длины пути светового сигнала по формулам обычной школьной геометрии, причём расчёт этот выполнен и в одной ИСО, и в другой ИСО; а затем оба ответа делятся на одинаковую во всех ИСО скорость света и сравниваются получившиеся времена - они оказываются разными. (Всё это авторы делают для того, чтобы на следующей странице пояснить читателю инвариантность интервала, который в данном примере вычисляется по формуле (5)).

[Plotnik]

rustot в сообщении #1129910 писал(а):

...Есть такая распространенная ошибка, точнее две ошибки - то тела покоящиеся относительно какой либо системы отсчета начинают считать для нее какими то особенными, "ее" телами, то наоборот системы отсчета относительно которых какое то тело покоится начинают считать собственностью этого тела, "ее" системами отсчета. И то и другое неверно...

В любом случае системы отсчёта координируются с телами или событиями, покоятся ли они относительно систем отсчёта или движутся. Я не вижу здесь какой-то серьёзной ошибки. В 4-х-мерьи так вообще ничто не движется, а есть только точки и линии, то есть, только описательные феномены. Как может быть тело в 4-х мерном пространстве?

Cos(xpi/2)всообщении #1129939 писал(а):

...Одна из двух равных "гипотенуз" в расчёте у авторов это путь светового пакета от события А к событию R, вторая гипотенуза - путь светового пакета от события R к событию B. В обеих системах отсчёта квадрат длины гипотенузы вычисляется по классической школьной формуле. А именно: в системе отсчёта, относительно которой ракета покоится, квадрат длины расстояния, пройденного светом (волновым пакетом) между событиями A и R, есть

$(y'_R-y'_A)^2+(x'_R-x'_A)^2=1+0=1$ .

B лабораторной системе отсчёта имеем по той же геометрической формуле большее значение квадрата расстояния, пройденного световым пакетом между событиями A и R:

$(y_R-y_A)^2+(x_R-x_A)^2=1+(\frac{1}{2}\Delta x )^2$...

Расчёт замечательный! И там, и там - путь луча! Только вот незадача: путь луча в двух ИСО имеет разное направление! И авторы переносят путь луча в метрах времени не на то направление, которое имеет луч в ИСО лаборатории(то есть, по гипотенузе), а на вертикальное направление, по которому распространяется другой луч в лабораторной ИСО. И этот луч в лабораторной ИСО вполне себе движется с целой скоростью света, а не с той урезанной, которую диктует применяемый авторами перенос, не учитывающий процедуры перехода из одной ИСО в другую.