Пространство Фока. Представление Фока-Баргмана

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1127648 писал(а):

Здесь важно, что надо тензорно умножать 1-частичные реализации? Причем до бесконечности?

Да. И еще симметрировать.

-- Ср июн 01, 2016 02:36:08 --

WolfAlone в сообщении #1127648 писал(а):

Т.е возьмем предстааление Фока-Баргмана с "одним" $z$. Это уже будет пр-во Фока?

Нет.

-- Ср июн 01, 2016 02:37:31 --

WolfAlone в сообщении #1127648 писал(а):

Или надо начать умножать тензорно такие копии и только этот потенуиально .бесконечный результат и будет собственно "Фоком".

Да. Точнее прямая сумма всех прямых степеней.

-- Ср июн 01, 2016 02:38:05 --

WolfAlone в сообщении #1127648 писал(а):

А первичное "маленькое" еще не есть "Фок"?

Да.

-- Ср июн 01, 2016 02:39:21 --

WolfAlone в сообщении #1127648 писал(а):

Или если я ограничюсь конечным произведений этих малых. Это еще не Фоковское пространство?

Да.

-- Ср июн 01, 2016 02:43:32 --

WolfAlone в сообщении #1127648 писал(а):

Я понимаю, что абстрактно они изоморфны, но поскольку, как выяснилось, суть именно в представлении-реализации, то бкдем считать их разными пространствами. Насколько я догадываюсь, там надо еще делать симметрическое умножение (бозонный Фок?) и антисимметрическое (фермионный Фок?). Кстати, а то, что мы сооружаем пр-во из тензорных произведений "малых гильбертовых" влечет, что мы получим тоже гильбертово? Теорема есть такая?

Да есть. Не помню фамильное название теоремы, но все сепарабельные гильбертовы пространства изоморфны. Поскольку в "маленьком пространстве", как Вы назвали, есть счетный базис (функции $z^n$), то в "большом" тоже есть счетный базис. Все остальное тоже да.

P.S. В построенном таким образом фоковском пространстве далее можно (и нужно) определить совсем другие операторы уничтожения, переводящие вектор из $H_1\otimes \dots\otimes H_n$ в вектор из $H_1\otimes\dots\otimes H_{n-1}$. И эрмитово сопряженные (операторы рождения). Собственно, операторы рождения/уничтожения, фигурирующие в представлении Баргмана-Фока, не являются опреторами рождения/уничтожения частиц (как было одночастичное пространство, так и остается после действия оператора). Это операторы рождения/уничтожения возбуждений.

-- Ср июн 01, 2016 03:32:46 --

Alex-Yu в сообщении #1127672 писал(а):

В построенном таким образом фоковском пространстве далее можно (и нужно) определить совсем другие операторы уничтожения, переводящие вектор из $H_1\otimes \dots\otimes H_n$ в вектор из $H_1\otimes\dots\otimes H_{n-1}$. И эрмитово сопряженные (операторы рождения). Собственно, операторы рождения/уничтожения, фигурирующие в представлении Баргмана-Фока, не являются опреторами рождения/уничтожения частиц (как было одночастичное пространство, так и остается после действия оператора). Это операторы рождения/уничтожения возбуждений.

Впрочем, это все неоправданно сложная (хотя и допустимая) конструкция. И, если начинать с представления Баргмана-Фока, неестетсвенная.


Дело здесь вот в чем. Есть два совершенно разных пути построения КТП (удивительный факт заключается в том, что в итоге получается одно и то же). Первый заключается в том, чтобы начать с частиц и затем перейти к теории произвольного числа частиц. Второй путь заключается в том, чтобы проквантовать поле.

В первом случае мы сначала строим пространство сотояний одной частицы, затем двух, трех .... и т.д. до бесконечности, а потом делаем прямую сумму этих $n$-частичных пространств. Это будет искомое пространство Фока. Симметрирование (или антисимметрирование) требуется делать толькко в этом, первом подходе.

Второй, "полевой" подход заключается в том, что (я ограничусь самой простой версией) мы берем бесконечный набор осцилляторов и возбуждения этих осцилляторов отождествляем с частицами. Здесь нужно просто взять бесконечный набор осцилляторов. И просто построить бесконечное произведение $H_1\otimes H_2 \otimes\dots$ Ничего симметрировать в этом подходе не надо. Пространство Фока получится проще, но потребуется другая физическая интерпретация векторов этого пространства. Если каждый осциллятор проквантовать в представлени Баргмана-Фока, то соответствующие операторы рождения/уничтожения сразу будут операторами рождения/уничтожения части. Правда, на таком пути (через банальные осцилляторы) нельзя построить фермионы, можно только бозоны.

Во втором, полевом подходе мы как бы берем фиксированное (но бесконечное) число частиц (это не физические частицы), устраиваем из них осцилляторы. Реальные частицы --- это возбуждения этих осцилляторов (их число может меняться). Исходные нефизические "частицы" в этом подходе соответствуют напряженностям поля в разных точках пространства (обратного).

В первом подходе "стартовые" частицы --- это сразу реальные физические частицы. Конструкция при этом существенно сложнее. И никаких проблем с фермионами, лишь антисимметризацию вместо симметризации устроить. В принципе вв этом подходе начальное одночастичное квантование тоже можно устроить в представлении Баргмана-Фока. Но это крайне неестественно и "баргман-фоковские" операторы $a$ и $a^+$ при этом не будут операторами уничтожения/рождения реальных частиц. В этом, первом подходе естественнее первоначальное одночастичное пространство состояний построить в импульсном представлении. Операторы же рождения/уничтожения тогда появятся только при построении прямой суммы $n$-частичных пространств.

В общем операторы рождения и уничтожения тоже бывают разные. Быают операторы рождения/уничтожения частиц, они меняют число частиц. А бывают операторы рождения/уничтожения возбуждений частиц, они число частиц не меняют, просто переводят частицу из одного состояния в другое. Практически ничего общего физически, а математически эти разные операторы, напротив, ничем не отличаются! Чисто математически в физике мыслить невозможно! Два объекта, которые одно и то же с математической точки зрения, могут не иметь ничего общего между собой с физической точки зрения.

[WolfAlone]

Хорошо, уже проясняется. И, в частности, похоже, важная вещь. Во втором (полевом) способе описания мы серьезно 1) меняем смысл термина "частица". Если я правильно понял, то в этом подходе имеется следующая парадигма. Поле = набор "как бы нормальных" частиц-осцилляторов, но их кол-во бесконечно. Слово "нормальных" здесь, как я понимаю, соответствует тому, что 2) каждый осциллятор = де Бройлеровский "простой электрон" в пр-ве с 3) конфигурационной координатой $q_i$, а слово "как бы" важно потому, что каждое такое $q_i$ не имеет 4) ничего общего с пространством-временем и, плюс ко всему, их бесконечно много. НО, еще более важно, что я вынес из вашего объяснения, это то, что теперь еще 5) надо прежний смысл слова "частица" тоже отбросить и не просто потому, что $q_i$ бесконечно много и они не связаны с $x$-пространством, а потому, что 6) понятие "частица(ы)" меняется на новое: уровень возбуждения предыдущих осцилляторов. $N$-й уровень для $q_i$ теперь 7) трактуется как $N_i$ частиц сорта $q_i$. Последний штрих - это то, что 8) все $q_i$ соответствуют частицам одинакого сорта. Получается дышащая смесь меняющегося кол-ва бозонов. Я старался дотошнее описать свое понимание ваших объяснений и, во избежания пробелов, хотел бы знать, есть ли в каком месте рассуждений выше "неправильность". Я их пронумеровал. Не понятно, правда, почему говорят "представление чисел заполнения"? Тут слово представление - "по понятиям", а не по закону. Совершенно не то, что "представление в базисе сф некоторого оператора". Или все же "представление" здесь употребляется строго, как и типа $x$-представление?

Представление Фока-Баргмана $(z,\partial_z)$ - это, получается, всегда относится только к "одному маленькому" гильбертовому $H$, но не ко всему их тензорному произведению?

-- 01.06.2016, 14:40 --

Кстати, а можно в таком понимании сказать, что, скажем, электрон в электромагнитном поле это как электрон-бозон вместе со всеми (бесконечно много) "электрон-бозонами" самого поля в вышеописанной схеме. Т.е. он такой же равноправный, как и они? Наверно нет, мы же как то выделяем даже при квантовом описании этот электрон от "электронов поля"? Спины, я для простоты опускаю

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1127937 писал(а):

Представление Фока-Баргмана $(z,\partial_z)$ - это, получается, всегда относится только к "одному маленькому" гильбертовому $H$, но не ко всему их тензорному произведению?

В физике обычно не бывает "жестких" определений. Но есть некое общепринятое понимание, в соответсвтвии с которым Вы сказали верно. Все, что выше, тоже, вроде, правильно. Сейчас повнимательней почитаю и, быть может, что-то прокомментирую.

-- Ср июн 01, 2016 19:48:41 --

WolfAlone в сообщении #1127937 писал(а):

2) каждый осциллятор = де Бройлеровский "простой электрон"

Только имейте в виду, что все это так просто проходит только для бозонов. Для фермионов должны быть "паталогические осцилляторы, грасмановы". Но не все сразу, хорошо осознайте сперва случай бозонов, он концептуально проще.

[WolfAlone]

И еще добавка. Можно ли в той схеме понимания, что я накатал выше, сделать формально для каждого "ненормального $q_i$-осциллятора" формальный переход Баргмана $z_i$ и не осложняться матрешко-образной структурой пространства Фока (ваш первый подход)? Она, кстати, такая или я не корректно понял? Точнее не матрешко-образная а прямая сумма размерности 1 (1-"Нормально"Частичное), размерности 2 (2-"Нормально"Частичных) и т.д. Т.е. $1 + 2 +3 + \cdots$, где каждая 1, 2, 3 ... соответствует $\infty$-мерному $H$-пространству, являющемся к тому же тензорным произведением "маленьких 1-мерных".

Я, выше, старался в некотором смысле написать "аккуратную и безошибочную трактовку навсегда". Так сказать вариант "своей печки", от которой я (важно) мог бы плясать или перетрактовывать других, если они написали (как везде пишут) коротко и с кучей условностей.

Конечно, пока имеем дело с бозонами, условно отождествляемых с "старых де Бройлеровских электронов". Фермионами потом займемся

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1127937 писал(а):

каждое такое $q_i$ не имеет 4) ничего общего с пространством-временем

В общем да. К пространству (причем обратному, пространству волновых векторов) имеют отношение "номера" этих $q_i$. Индекс $i$ --- обычно это просто точка этого пространства. Но движение "вдоль $q_i$" --- это никак не изменение положения в обычном пространстве. Это положение вообще не меняется.

Да, надо заметить, что $i$ это просто точка обратного пространства только для скалярного поля. Для всех остальных полей индекс $i$ --- это мультииндекс, дополнительно характеризующий поляризацию поля (уж какой смысл этой поляризации, векторный, тензорный --- зависит от того, какое именно поле).

-- Ср июн 01, 2016 20:00:44 --

WolfAlone в сообщении #1127937 писал(а):

6) понятие "частица(ы)" меняется на новое: уровень возбуждения предыдущих осцилляторов.

Точнее каждая частица --- это увеличение уровня возбуждения на единицу. Что Вы, впрочем, далее и пишите, $N$-ный уровень --- это $N$ , но скорее не "частиц $i$-того сорта", а частиц в $i$-том состоянии (обычно в состоянии с таким импульсом). Т.е. и получается, что состояние с номером $i$ заполнено $N$ частицами. Отсюда и слова "числа заполнения".

-- Ср июн 01, 2016 20:02:30 --

WolfAlone в сообщении #1127937 писал(а):

7) трактуется как $N_i$ частиц сорта $q_i$

Заметьте, что симметрия относительно перестановок таких частиц-возбуждений при этом получается автоматически! Они изначально неразличимы.

-- Ср июн 01, 2016 20:05:08 --

WolfAlone в сообщении #1127937 писал(а):

Совершенно не то, что "представление в базисе сф некоторого оператора"

О! У меня в молодости была та же самая проблема. Я тоже (ошибочно) пытался понимать это в смысле "представление в базисе сф некоторого оператора".

-- Ср июн 01, 2016 20:09:55 --

WolfAlone в сообщении #1127952 писал(а):

Можно ли в той схеме понимания, что я накатал выше, сделать формально для каждого "ненормального $q_i$-осциллятора" формальный переход Баргмана $z_i$ и не осложняться матрешко-образной структурой пространства Фока (ваш первый подход)?

Не только можно, но и нужно. Фок-баргмановские операторы $a$ и $a^+$ понижают/повышают уровень возбуждения, что в таком подходе есть число частиц. Они сразу являются операторами рождения/уничтожения частиц.

-- Ср июн 01, 2016 20:12:38 --

WolfAlone в сообщении #1127952 писал(а):

Я, выше, старался в некотором смысле написать "аккуратную и безошибочную трактовку навсегда". Так сказать вариант "своей печки", от которой я (важно) мог бы плясать или перетрактовывать других, если они написали (как везде пишут) коротко и с кучей условностей.

Конечно, пока имеем дело с бозонами, условно отождествляемых с "старых де Бройлеровских электронов". Фермионами потом займемся

Я каких-либо принципиальных неточностей, вроде, не заметил. За "печку" можно принять Хотя конечно, тут все зависит от трактовки слов. Поэтому и говорю "не заметил" а не "нет". И поэтому же "вроде". Но очень похоже на то, что Вы правильно поняли.

-- Ср июн 01, 2016 20:16:18 --

WolfAlone в сообщении #1127937 писал(а):

Кстати, а можно в таком понимании сказать, что, скажем, электрон в электромагнитном поле это как электрон-бозон вместе со всеми (бесконечно много) "электрон-бозонами" самого поля в вышеописанной схеме. Т.е. он такой же равноправный, как и они? Наверно нет, мы же как то выделяем даже при квантовом описании этот электрон от "электронов поля"? Спины, я для простоты опускаю

Вот эта фраза звучит как-то подозрительно.... Нет там никакого электрона (двигающегося вдоль $q_i$), это вообще не электрон, а просто степень свободы поля. Ну условно, "какбыэлектрон".... Естественно этот какбыэлектрон не имеет НИКАКОГО отношения к настоящим электронам.

[amon]

WolfAlone в сообщении #1127937 писал(а):

Тут слово представление - "по понятиям", а не по закону.

Давайте Ваш пример с осцилляторами чуть изменим. У нас есть некоторый, для простоты счетный, набор осцилляторов. Кроме того эти осцилляторы могут исчезать и появляться (взаимодействие такое, детали пока не важны). Как на языке обычных волновых функций описать такую систему? Пока у нас есть только один осциллятор, то это будет $\Psi(x)$, если два - $\Psi(x_1,x_2)$ и т.д. Здесь $\Psi(x)$ - обычная волновая функция осциллятора (полином Эрмита умноженный на экспоненту), а $x$ - обычная пространственная координата. Тогда полная волновая функция всей системы осцилляторов будет

$$\begin{pmatrix} \Psi(x) \\ \Psi(x_1,x_2) \\ \cdots\\ \Psi(x_1,\dots,x_n) \\ \cdots\\ \end{pmatrix} $$

а гамильтониан - некой бесконечной матрицей. Это обычное представление. Представление чисел заполнения это такая штука. Расставим осцилляторы в порядке, например, возрастания частоты, и будем в соответствующую клеточку записывать номер уровня возбуждения нужного осциллятора. Тогда

$$ \begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \cdots\\ 0 \\ \cdots\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \Psi(x) \\ 0 \\ \cdots\\ 0 \\ \cdots\\ \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} n \\ m \\ \cdots\\ 0 \\ \cdots\\ \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} 0 \\ \Psi(x_1,x_2) \\ \cdots\\ 0 \\ \cdots\\ \end{pmatrix} $$

и т.д. (На самом деле я чутка смухлевал, но для понимания сути это пока не важно.) Т.е. представление чисел заполнения это действительно представление (почти в обычном смысле) для волновых функций системы с бесконечным числом степеней свободы.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1127952 писал(а):

Т.е. $1 + 2 +3 + \cdots$, где каждая 1, 2, 3 ... соответствует $\infty$-мерному $H$-пространству, являющемся к тому же тензорным произведением "маленьких 1-мерных".

Да, в подходе черех частицы так. С маленьким добавлением: еще в прямую сумму надо добавить ноль-частичное пространство ---- вакуум. Это даже не пространство, а просто один орт (одномерное пространство).

И еще дополнение. Подход через частицы к КТП применяется довольно редко. Но бывает, см., например, "Квантовую теорию поля" Вайнберга.

-- Ср июн 01, 2016 20:29:24 --

WolfAlone в сообщении #1127952 писал(а):

соответствует $\infty$-мерному $H$-пространству, являющемся к тому же тензорным произведением "маленьких 1-мерных".

Думаю, здесь все же опечатка, не "маленьких 1-мерных", а "маленьких 1-частичных" (которые все же бесконеномерные). Уже одна частица может быть в бесконечном числе состояний.

[WolfAlone]

Да, конечно. "Маленьких", имелось в виду "просто гильбертовых бесконечномерных" НЕ имеющих структуру тензорного произведения. А а бозон-электрон, я подумал, лучше назвать проще. Как есть: просто 1-мерная квантовая частица осциллятор. Про строение "нефоковской" версии я вроде понял, но тут предложили две кажись несовпадающие версии про слова"представление чисел заполнения" Все-таки, это строго представление или интерпретация? Представление я пока не могу увидеть (в том числе и в объяснении amon), потому что хочу увидеть его составляющие: базисные векторы в бесконечном кол-ве и, вообще, чем являются векторы для такого представления? Пытаюсь въехать в это на формулах amon'а со столбцами из функций с увеличивающимся кол-вом аргументов. Но такое каскадное увеличение кол-ва аргументов - вроде больше сходит на собственно фоковское пространство (первый способ по Alex-Yu)

[amon]

WolfAlone в сообщении #1128061 писал(а):

потому что хочу увидеть его составляющие: базисные векторы в бесконечном кол-ве и, вообще, чем являются векторы для такого представления

В этом месте я бы Вам порекомендовал на время поумерить любознательность, и разобраться как следует с тем, что Вы тут начали понимать. В отличии от квантовой механики, где с представлениями более-менее все хорошо - разные представления связаны неким унитарным преобразованием. Иногда это преобразование почти очевидно, как для $q$ и $p$, иногда поди его найди, как для $q$ и Фока-Баргмана, но оно есть. В теории поля (пространствах Фока) все гораздо хуже. Там существуют унитарно не эквивалентные представления, и само пространство несепарабельно. Боюсь, что в этом Вы сейчас только запутаетесь без всякой для себя пользы. Если уж очень неймется, можете почитать, например, параграф 2.2 книжки Х.Умэдзава, Х.Мацумото, М.Татики. ТЕРМОПОЛЕВАЯ ДИНАМИКА И КОНДЕНСИРОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ. (Правда, на этом форуме она пользуется дурной славой -все ее прочитавшие куда-то пропадают ;)

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1128061 писал(а):

Представление я пока не могу увидеть (в том числе и в объяснении amon), потому что хочу увидеть его составляющие: базисные векторы в бесконечном кол-ве и, вообще, чем являются векторы для такого представления? Пытаюсь въехать в это на формулах amon'а со столбцами из функций с увеличивающимся кол-вом аргументов. Но такое каскадное увеличение кол-ва аргументов - вроде больше сходит на собственно фоковское пространство (первый способ по Alex-Yu)

Я не вполне понял вопрос. Но попробую что-то сказать на тему того, что как увидеть пространство частиц ("первый способ"), из построенного квантования поля, набора осцилляторов ("второй способ").

Только давайте будем у операторов $a$ и $a^+$ писать индекс $k$ и ассоциировать его с волнвым вектором. Пусть поле в ящике, тогда набор волновых векторов дискретный (ряд вместо интеграла Фурье). Во-первых давайте построим "оператор уничтожения в пространственной точке" (оператор уничтожения $a_k$ --- это оператор уничтожающий квант возбуждения поля в виде плоской волны с волновым вектором $k$, именно таким возбуждениям поля соответствуют осцилляторы):

$$ \psi(x) \sim \sum_k e^{ikx}a_k $$

Тогда аналогичный оператор рождения

$$ \psi^+(x) \sim \sum_k e^{-ikx}a^+_k $$

Мне лениво думать, какой должен быть коэффициент перед суммой, поэтому написал пропорциональность, а не равенство. Как бы то ни было, этот коэффициент подбирается так, чтобы получился такой коммутатор:

$$ [\psi(x),\psi^+(x')]=\delta(x-x') $$

Теперь из вакуумного вектора $|0\rangle$ (все осцилляторы в основном состоянии) мы можем построить такие векторы:

$$ |\phi_1(x)\rangle = \int \phi_1(x) \psi^+(x)|0\rangle dx $$

Ясно, что такой вектор --- это суперпозиция состояний, где только один осциллятор (разный в разных слагаемых суперпозиции) однократно возбужден.

Далее

$$ |\phi_2(x_1,x_2)\rangle = \int \phi_2(x_1,x_2) \psi^+(x_1)\psi^+(x_2)|0\rangle dx_1dx_2 $$

Тут в суперпозиция состоит из дважды возбужденных состояний (как двух разных осцилляторов , возбужденных однократно, так и дважды возбужденного одного и того же осциллятора).

Ну и т.д., думаю понятно. Здесь $\phi$ с разным числом аргументов ---- обычные числовые функции.

А теперь ответ Построенные состояния $|\phi_n(x_1\dots x_n)\rangle$ --- это в точности $n$-частичные состояния, составляющие (вместе с вакуумом) пространство Фока в первом подходе (через частицы). Естественно, весе пространство Фока --- это бесконечная "башня" из $|\phi_n(x_1\dots x_n)\rangle$ с какими угодно $n$. Симметричная относительно перестановки аргументов числовая функция $\phi_n(x_1\dots x_n)$ ---- обычная $n$-частичная волновая функция в координатном представлении.

Заметьте, что даже если $\phi_2(x_1,x_2)$ и несимметрична относительно перестановки аргументов, то $|\phi_2(x_1,x_2)\rangle$ получается все равно симметрично относительно такой перестановки (ибо это есть свертка этой функции с симметричным относительно такой перестановки оператором $\psi^+(x_1)\psi^+(x_2)$). Так что асимметричная часть $\phi_2(x_1,x_2)$ выпадает, не имеет смысла (и может быть выкинута; иначе, если не выкинуть, придется специально озаботиться тем, чтобы при работе в обычном координатном представлении асимметричная часть не давала вклада ни в какую физическую величину, никто такой "геморой" себе устраивать не будет, естественно). Очевидно, что то же самое получается и для высших функций, с бОльшим числом аргументов.

Таким образом, мы получили замечательный результат: если начать с (бозонного) поля и отождествить с частицами кванты возбуждения этого поля, то $n$-частичные состояния таких частиц описываются координатными волновыми функциями, симметричными относительно перестановки аргументов.

N.B. Заметьте, что базисные векторы $|\phi_n(x_1\dots x_n)\rangle$ --- это базисные векторы В ТОМ ЖЕ САМОМ пространстве, что было получено при квантовании поля, как набора осцилляторов. И в этой "полевой" версии такой структуры (в виде "башни") вроде как не было: все осцилляторы различимы (им соответствуют разные длины волн), число этих осцилляторов фиксировано (хотя и бесконечно) --- получается (в осцилляторной, полевой картине) просто бесконечное прямое произведение без какой-либо симметризации и "башенной" структуры. Но, тем не менее, это то же самое пространство!

P.S. И еще на счет так называемого корпускулярно-волнового дуализма. По историческим причинам с "волной материи" обычно связывают обычную одночастиную волновую функцию в координатном представлении. Вообще-то это очень наивно (и я даже сказал бы неправильно). Но нынче (увы, только после существенного продвижения в изучении теории) правильней с этими волнами связывать не "волновую функцию" из начальной КМ, а полевую функцию (своего рода "напряженность поля", которая после разложения по Фурье оказывается набором координат осцилляторов $q_k$), которая, после квантования, оказывается операторнозначной. Увы, в литературе до сих пор полная неразбериха: часто полевую функцию некорректно называют волновой функцией.

[Munin]

Оператор, конечно, никакой волной вообще не является. Вот если в него подставить вектор состояния квантового поля, то побежит волна - побежит так, как будет гласить этот оператор.

[WolfAlone]

amon в сообщении #1127965 писал(а):

Тогда полная волновая функция всей системы осцилляторов будет

$$\begin{pmatrix} \Psi(x) \\ \Psi(x_1,x_2) \\ \cdots\\ \Psi(x_1,\dots,x_n) \\ \cdots\\ \end{pmatrix} $$

Здесь мне не понятно. Это вопрос пока в отношении пр-ва Фока. Может здесь надо понимать так

$$\begin{pmatrix} \Psi^{(1)}(x_1) \\ \Psi^{(2)}(x_1,x_2) \\ \cdots\\ \Psi^{(n)}(x_1,\dots,x_n) \\ \cdots\\ \end{pmatrix} $$

где верхний индекс $\Psi^{(1)}$, $\Psi^{(2)}$ различает функции и каждая из них симметрична по своим аргументам? Могу я тогда понимать, что элементами пр-ва Фока $F$ являются именно вот такие бесконечные столбцы функций? Если так, то теперь хотел бы увидеть (в такой реализации) базисные элементы из $F$; например собственные функции гамильтониана. Можно назвать такую конструкцию как пр-во Фока в координатном ("нормальные, физические" координаты). Потом можно уже задумываться о переходе с этого "нормального, корректного" представления в другие представления

[amon]

WolfAlone в сообщении #1128225 писал(а):

Здесь мне не понятно. Это вопрос пока в отношении пр-ва Фока. Может здесь надо понимать так

$$\begin{pmatrix} \Psi^{(1)}(x_1) \\ \Psi^{(2)}(x_1,x_2) \\ \cdots\\ \Psi^{(n)}(x_1,\dots,x_n) \\ \cdots\\ \end{pmatrix} $$

Я писал в конце, что это только схема. Аккуратно это написано у Феликса Березина в "Методе вторичного квантования", но, ей богу, лучше пока почитать какой-нибудь стандартный учебник по КТП, где такой вид (слова "представление" я избегаю сознательно) фоковского столбца, скорее всего, даже не упоминается. Потом, когда разберетесь с стандартным квантованием через операторы рождения-уничтожения, вернетесь к этим тонкостям.

[Alex-Yu]

WolfAlone в сообщении #1128225 писал(а):

Может здесь надо понимать так

$$\begin{pmatrix} \Psi^{(1)}(x_1) \\ \Psi^{(2)}(x_1,x_2) \\ \cdots\\ \Psi^{(n)}(x_1,\dots,x_n) \\ \cdots\\ \end{pmatrix} $$

где верхний индекс $\Psi^{(1)}$, $\Psi^{(2)}$ различает функции и каждая из них симметрична по своим аргументам?

Да. Но это довольно общепринятое сокращение: ясно же, что пси с двумя аргументами это другая функция, отличная от пси с одним аргументом. Ну и т.д.

Вот другая неточность есть: сверху должна быть еще амплитуда вакуума, $\Psi^{(0)}$. Ясно, что это просто число (функция нуля аргументов число и есть).

-- Чт июн 02, 2016 18:29:53 --

WolfAlone в сообщении #1128225 писал(а):

Могу я тогда понимать, что элементами пр-ва Фока $F$ являются именно вот такие бесконечные столбцы функций?

Да (с той коррекцией, что нужно добавить $\Psi^{(0)}$). В картине частиц. Но, естественно, можно представлять и в картине осциллятров. Там (в фок-берговском представлении) , базисными функциями будут просто $z_1^{n_1}z_2^{n_2}\dots$ а общее состояние --- линейная комбинация таких функций. Отсюда ясно, что каждый базисный элемент характеризуется бесконечным набором целых чисел $n_i$. Удобно, кстати, выбирать в качестве базисных специфические наборы: в каждом из них только конечный набор этих чисел не нули, остальные --- нули. Тогда появляется довольно очевидная аналогия с картиной частиц.

-- Чт июн 02, 2016 18:36:13 --

WolfAlone в сообщении #1128225 писал(а):

Если так, то теперь хотел бы увидеть (в такой реализации) базисные элементы из $F$;

Ну дык разложите все $\Psi^{(n)}(x_1 \dots x_n)$ по каждому аргументу по любому полному набору функций, и будут Вам базисные элементы.

Удобенее сделать переход в два этапа: сначала устраиваем "базисные подпространства" вида

$$ \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ \dots \\ \Psi^{(n)}(x_1 \dots x_n) \\ 0 \\ \dots \end{array} \right) $$

Потом уже делаем разложение по системе функций.

-- Чт июн 02, 2016 18:48:28 --

amon в сообщении #1128233 писал(а):

Аккуратно это написано у Феликса Березина в "Методе вторичного квантования",

Вот уж что бы я НИКОМУ не рекомендовал, так это ЛЮБЫЕ писания Березина. Все там правильно, но уж больно непонятно написано. Математик, что с него взять Но это, конечно, лишь частное мнение.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1128237 писал(а):

Вот уж что бы я НИКОМУ не рекомендовал, так это ЛЮБЫЕ писания Березина.

А я, вроде и не рекомендовал, а скорее наоборот. Просто это единственное известное мне место, где аккуратно прослежен переход от обычных волновых функций к КТП.

Alex-Yu в сообщении #1128237 писал(а):

нужно добавить $\Psi^{(0)}$

Угу, пропустил, и чуть было не начал настаивать.